Borel-Cantelli teoremi
Adını matematikçi Emile Borel ve Francesco Paolo Cantelli'den alan Borel-Cantelli veya Borel-Cantelli'nin lemması , olasılık teorisinde yaygın olarak kullanılan ölçüm teorisinin bir sonucudur .
Giriş
Olasılık teorisinde, bu teorem bir dizi olayla ilgilidir ve şunları belirtir:
Borel-Cantelli Lemma - Bir olasılık uzayındaki bir olaylar dizisinin olasılıklarının toplamı sonluysa, o zaman sonsuz sayıda olayın aynı anda meydana gelme olasılığı sıfırdır.
(ATdeğil)değil≥0{\ görüntü stili (A_ {n}) _ {n \ geq 0}} (Ω,AT,P){\ displaystyle \ sol (\ Omega, {\ mathcal {A}}, \ mathbb {P} \ sağ)}
Bağımsızlık olaylarının gerekli değildir. Örneğin, bir dizi dikkate bir rastgele değişken , örneğin, hepsi için ,
(Xdeğil)değil≥1{\ görüntü stili (X_ {n}) _ {n \ geq 1}}değil≥1{\ displaystyle n \ geq 1}
P(Xdeğil=0)=1değil2.{\ displaystyle \ mathbb {P} (X_ {n} = 0) = {\ frac {1} {n ^ {2}}}.}
Toplamı sonludur, dolayısıyla Borel-Cantelli lemmasına göre, sonsuz sayıda indeks için ortaya çıkma olasılığı 0'dır. Başka bir deyişle, 1 olasılığı ile, belirli bir (rastgele) sıradan sıfırdan farklıdır. tarafından tanımlanan
olaylar dizisine Borel-Cantelli lemmasıP(Xdeğil=0){\ displaystyle \ matematik {P} (X_ {n} = 0)}Xdeğil=0{\ görüntü stili X_ {n} = 0}değil{\ görüntü stili n}Xdeğil{\ displaystyle X_ {n}}değil0.{\ görüntü stili n_ {0}.}(ATdeğil)değil≥0{\ görüntü stili (A_ {n}) _ {n \ geq 0}}
ATdeğil={Xdeğil+1=0}={ω∈Ω | Xdeğil+1(ω)=0}{\ displaystyle A_ {n} = \ {X_ {n + 1} = 0 \} = \ {\ omega \ in \ Omega \ | \ X_ {n + 1} (\ omega) = 0 \}}.
Setlerin üst limiti
Tanım - bir sekansı (üst sınırı bir n ) n, ≥0 parçaları bir dizi dizi elemanlarının bir onaylama böyle endeksleri sonsuz için de geçerlidir .
Ω{\ görüntü stili \ Omega}limit supdeğilATdeğil{\ displaystyle \ textstyle \ limsup _ {n} \, A_ {n}}ω{\ görüntü stili \ omega}Ω{\ görüntü stili \ Omega}{ω∈ATk}{\ displaystyle \ {\ omega \ içinde A_ {k} \}}k≥0{\ displaystyle k \ geq 0}
Başka bir deyişle, diyebiliriz kümesi ancak ve ancak olduğu sonsuz , ya da başka sınırsız . Eşdeğer bir formülasyon şu şekildedir: her şey için öyle bulabiliriz ki . Bu son formülasyon, temel küme işlemlerini kullanarak kümelerin üst sınırının uygun bir şekilde yazılmasını sağlar:
ω∈limit supdeğilATdeğil{\ displaystyle \ textstyle \ omega \ in \ limsup _ {n} \, A_ {n}}{k≥0 | ω∈ATk}{\ displaystyle \ {k \ geq 0 \ \ vert \ \ omega \ içinde A_ {k} \}}değil≥0{\ displaystyle n \ geq 0}k≥değil{\ displaystyle k \ geq n}ω∈ATk{\ displaystyle \ omega \ A_ {k}}
limit supdeğilATdeğil=⋂değil≥0(⋃k≥değilATk).{\ displaystyle \ limsup _ {n} A_ {n} = \ bigcap _ {n \ geq 0} \, \ sol (\ bigcup _ {k \ geq n} A_ {k} \ sağ).}
Anglo-Sakson terminolojisinin etkisi altında, bazen ve ancak “ sonsuz sıklıkta ” veya “ sonsuz sıklıkta ” ise, bazı eserlerde karşılaşılan gösterimin bu nedenle olduğunu da söyleyeceğiz :
ω∈limit supdeğilATdeğil{\ displaystyle \ textstyle \ omega \ in \ limsup _ {n} \, A_ {n}}{ω∈ATk}{\ displaystyle \ {\ omega \ içinde A_ {k} \}}
P(limit supdeğilATdeğil)=P(ATdeğilio).{\ displaystyle \ mathbb {P} \ sol (\ limsup _ {n} A_ {n} \ sağ) = \ mathbb {P} \ sol (A_ {n} \ dörtlü {\ metin {io}} \ sağ). }
"Son olarak, not tanımı bu ise, ancak ve ancak bir sonsuz ait " yanıltıcı olabilir: örneğin tüm parçalar halinde eşittir, bu olabilir ait endeksleri sonsuz için ve bu nedenle olabilir ait bir sonsuzluğa ait olduğu kadar olmadan (çünkü altta sadece bir tane vardır ).
ω∈limit supdeğilATdeğil{\ displaystyle \ omega \ in \ limsup _ {n} \, A_ {n}} ω{\ görüntü stili \ omega} ATk{\ görüntü stili A_ {k}}ATk{\ görüntü stili A_ {k}}ω{\ görüntü stili \ omega}ATk{\ görüntü stili A_ {k}}k{\ görüntü stili k}ω{\ görüntü stili \ omega}limit supdeğilATdeğil,{\ displaystyle \ textstyle \ limsup _ {n} \, A_ {n},}ω{\ görüntü stili \ omega}ATk{\ görüntü stili A_ {k}}ATk{\ görüntü stili A_ {k}}
Borel-Cantelli teoremi (ölçüm teorisi)
Bir için genel ölçülen alanı , Borel Cantelli lemması aşağıdaki biçimi alır:
(X,AT,μ){\ görüntü stili (X, {\ matematik {A}}, \ mu)}
Borel-Cantelli teoremi - İçinde bir dizi olsun . Evet
(ATdeğil)değil≥0{\ görüntü stili (A_ {n}) _ {n \ geq 0}}AT{\ görüntü stili {\ matematik {A}}}
∑değil≥0μ(ATdeğil)<+∞,{\ displaystyle \ toplam _ {n \ geq 0} \ mu (A_ {n}) <+ \ infty,}
yani
μ(limit supdeğilATdeğil)=0.{\ displaystyle \ mu (\ limsup _ {n} A_ {n}) = 0.}
gösteri
O değiştirilmesi anlamına gelse bile X birliği ile A n , biz varsayabiliriz genelliği kaybetmeden bu tedbir μ olan sonlu . poz verelim
Bdeğil=⋃k≥değilATk,{\ displaystyle B_ {n} = \ bigcup _ {k \ geq n} A_ {k},}ve fark bu oda n elemanlarının (dahil edilmesi için), azalan bir sekansıdır , çünkü bu nedenle de (sonlu oluşuna göre u )
AT,{\ görüntü stili {\ matematik {A}},}Bdeğil=ATdeğil∪Bdeğil+1{\ displaystyle B_ {n} = A_ {n} \ fincan B_ {n + 1}}
μ(⋂değil≥0Bdeğil)=limdeğil μ(Bdeğil).{\ displaystyle \ mu \ sol (\ bigcap _ {n \ geq 0} B_ {n} \ sağ) = \ lim _ {n} \ \ mu (B_ {n}).}Ayrıca μ ( B n ) artar
rdeğil=∑k≥değilμ(ATk),{\ displaystyle r_ {n} = \ toplam _ {k \ geq n} \ mu (A_ {k}),}yakınsak bir serinin geri kalanı , yani
limdeğil μ(Bdeğil)=0.{\ displaystyle \ lim _ {n} \ \ mu (B_ {n}) = 0.}Gibi
limit supdeğilATdeğil=⋂değil≥0Bdeğil,{\ displaystyle \ limsup _ {n} A_ {n} = \ bigcap _ {n \ geq 0} B_ {n},}Şu sonuca varıyoruz ki
μ(limit supdeğilATdeğil)=0.{\ displaystyle \ mu \ sol (\ limsup _ {n} A_ {n} \ sağ) = 0.}
Borel-Cantelli lemması (olasılıklar)
Bir probabilized alanı ayrıca varsayılır ki, ölçülmüş bir alan özel bir durumdur genel teoremi (pozitif) ölçülmesi sırasında, μ sonlu olarak kabul edilmez önsel . Özellikle, girişte verilen Borel-Cantelli lemması, önceki bölümde verilen Borel-Cantelli teoreminin zayıflatılmış bir şeklidir. Belki Borel Cantelli lemması bunun çok önemlidir olasılık, daha popüler olan Kolmogorov kanıtı ait çok sayıda güçlü yasa (verilecek tek örnek ise). Olasılık çerçevesinde, girişte sezgisel dilde verilen lemmanın daha resmi bir formülasyonu bu nedenle yazılabilir:
(Ω,AT,P){\ displaystyle \ sol (\ Omega, {\ mathcal {A}}, \ mathbb {P} \ sağ)}P(Ω)=1{\ displaystyle \ mathbb {P} \ sol (\ Omega \ sağ) = 1}
Borel-Cantelli lemması - Bir olasılık uzayında 'nin bir dizi elemanını düşünelim . Evet
(Ω,AT,P),{\ displaystyle \ sol (\ Omega, {\ mathcal {A}}, \ mathbb {P} \ sağ),}(ATdeğil)değil≥0{\ görüntü stili (A_ {n}) _ {n \ geq 0}}AT{\ görüntü stili {\ matematik {A}}}
∑değil≥0P(ATdeğil)<+∞,{\ displaystyle \ toplam _ {n \ geq 0} \ mathbb {P} (A_ {n}) <+ \ elli,}
yani
P(limit supdeğilATdeğil)=0.{\ displaystyle \ mathbb {P} (\ limsup _ {n} A_ {n}) = 0.}
Borel'in sıfır-bir yasası
Borel-Cantelli'nin lemması , bazen Borel-Cantelli'nin ikinci lemması olarak adlandırılan Borel'in sıfır-bir yasası ile karıştırılmamalıdır :
Sıfır birinin Borel yasası - olaylar ise şunlardır bağımsız , daha sonra 0 veya 1 genel bir terimdir serisi olmadığına bağlı eşittir yakınsak veya ıraksak olduğunu.
ATdeğil{\ görüntü stili A_ {n}}P(limit supdeğilATdeğil){\ displaystyle \ textstyle \ mathbb {P} (\ limsup _ {n} A_ {n})}P(ATdeğil){\ displaystyle \ matematik {P} (A_ {n})}
Borel'in sıfır-bir yasası, özellikle Borel-Cantelli lemmasının hipotezinin hiçbir durumda . Gerçekten de, bir yandan ve diğer yandan ( ve bağımsızlığı ) aynı anda sahip olabiliriz, böylece aynı anda sahip olabiliriz:
∑değil≥0μ(ATdeğil)<+∞{\ displaystyle \ textstyle \ toplam _ {n \ geq 0} \ mu (A_ {n}) <+ \ infty}limdeğilμ(ATdeğil)=0{\ displaystyle \ textstyle \ lim _ {n} \ mu (A_ {n}) = 0}limdeğilP(ATdeğil)=0{\ displaystyle \ textstyle \ lim _ {n} \ mathbb {P} (A_ {n}) = 0}ATdeğil{\ görüntü stili A_ {n}}∑değil≥0P(ATdeğil)=+∞{\ displaystyle \ textstyle \ toplam _ {n \ geq 0} \ mathbb {P} (A_ {n}) = + \ infty}
limdeğilP(ATdeğil)=0veP(limit supdeğilATdeğil)=1.{\ displaystyle \ lim _ {n} \ mathbb {P} (A_ {n}) = 0 \ qquad {\ text {et}} \ qquad \ mathbb {P} (\ limsup _ {n} A_ {n}) = 1.}
Notlar ve referanslar
-
Aslında Riemann'ın zeta fonksiyonu makalesini görmeye değer , örneğin 1'den büyük s tamsayıları için zeta fonksiyonunun Değerleri bölümü .ζ(2)=π26,{\ displaystyle \ zeta (2) = {\ frac {\ pi ^ {2}} {6}},}
-
Émile Borel , " Sayılabilir olasılıklar ve aritmetik uygulamaları ", Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo , cilt. 27, n o 1,Aralık 1909, s. 247-271 ( ISSN 0009-725X ve 1973-4409 , DOI 10.1007 / BF03019651 ). Borel'in sıfır-bir yasası, öyle görünüyor ki, sürekli kesirlerin özelliklerine yönelik uygulamalar için yayınlandı . Kısa bir süre sonra, Cantelli, iki duyudan biri için bağımsızlık varsayımının gereksiz olduğu gerçeğini fark edecek ve kullanacaktı, bu da Borel-Cantelli lemmasına (doğrulanacak) yol açtı.
Şuna da bakın: