Ölçüm (matematik)

Gelen matematik , bir pozitif ölçüsü (veya basitçe ölçülmesi karışma riski olduğunda) a, fonksiyon ortakları bir sayısal miktarı belli olan alt- a verilen dizi . Bu, analiz ve olasılık teorisinde önemli bir kavramdır .

Sezgisel olarak, bir kümeyi veya bir alt kümeyi ölçmek, boyut kavramına veya ayrık kümeler için önem derecesine benzer . Bu anlamda, ölçüm kavramları bir genellemedir uzunluğu , alan ya da hacminde içinde boşluklar sırasıyla boyut 1, 2 ya da 3'ün.

Ölçümlerle sağlanan alanların incelenmesi, ölçüm teorisinin konusudur .

Tanım

Biçimsel olarak, bir ölçüsüdür μ a, fonksiyonu her bir eleman ile birleşen S a σ cebiri (ya da klan) parçalarının X bir değer μ ( S a,), pozitif gerçek ya da sonsuz. ${\ mathcal {A}}$

Tanımı - Izin bir ölçülebilir uzay (yani bir çift bir olan dizi ve bir olan kabile üzerine ). ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {A}}),}$ ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {A}}),}$ $X$ ${\ mathcal {A}}$ $X$

Bir μ haritası seti için değerlere sahip bir denir önlemi aşağıdaki özelliklerin her ikisi karşılanmadan: ${\ displaystyle {\ mathcal {A}},}$ ${\ displaystyle [0, + \ infty],}$

boş kümenin sıfır ölçüsü vardır: $\ mu \ left (\ varnothing \ sağ) = 0$ ;
Harita μ olan σ-katkı :

Eğer E 1 , E 2 , ... a, sayılabilir aile parçalarının X ait ve bu parçalar eğer iki ayrık ile iki ve sonra ölçü μ ( E kendi arasında) birliği E parçaları önlemlerin eşittir :

{\ displaystyle {\ mathcal {A}},}

{\ displaystyle \ mu \ sol (\ bigsqcup _ {k = 1} ^ {\ infty} E_ {k} \ sağ) = \ toplamı _ {k = 1} ^ {\ infty} \ mu (E_ {k}) }

İlgili terminolojiler

Biz ölçüm olduğunda ^ ı bir üzerinde ölçülebilir uzay , biz üçlü demek bir olduğunu ölçülen boşluk ; $(X, {\ mathcal {A}})$ $(X, {\ mathcal {A}}, \ mu)$
İçin S ölçülebilir grubu (bunun için olan ), değer μ ( S ) olarak adlandırılır ölçü arasında S ; ${\ mathcal {A}}} içinde {\ displaystyle S \$
Tüm μ ( X ) sonlu olduğu için, söz sonlu ölçüsü ya da sınırlı bir önlem ;
Tüm μ ( x ) = 1, biz söz bir olasılık ölçü . Üçlü , daha sonra olasılık uzayı olarak adlandırılır . Bu çerçeve için olasılık aksiyomları makalesine bakın . $(X, {\ mathcal {A}}, \ mu)$
Bir olduğunda sayılabilen örtü ait X sonlu ölçü alt kümeleri tarafından, bu bir dizi varken, daha resmi, demek ki kabilesi, sonlu tedbirin tüm unsurların birlikte, ${\ displaystyle (E_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$

{\ displaystyle X = \ bigcup _ {n \ in \ mathbb {N}} E_ {n}}

, σ -sonlu ölçüden bahsediyoruz . Hatta her değiştirilmesi anlamına geliyorsa göre bir tanımı görünen alt-dizisi eklenmesi için artmaktadır olduğu tahmin edilebilir.

E_k

{\ displaystyle E_ {0} \ cup \ ldots \ cup E_ {k},}

Bir alt G arasında X olduğu söylenir ihmal edilebilir bir dahil edildiğinde , T kabilesine ait sıfır ölçü. ${\ mathcal {A}}$
Herhangi bir ihmal edilebilir set kabileye ait olduğunda μ ölçüsünün tamamlandığı söylenir . ${\ mathcal {A}}$
Ölçülebilir fonksiyon .

Özellikleri

Aşağıdaki özellikler, önceki aksiyomlardan kolayca elde edilebilir:

Toplamsallık: E 1 ve E 2 iki ayrık ölçülebilir set ise , µ ( E 1 ∪ E 2 ) = µ ( E 1 ) + µ ( E 2 ).
Monotonluk: E 1 ve E 2 , E 1 , E 2'nin bir alt kümesi olacak şekilde ölçülebilir iki kümeyse , o zaman μ ( E 1 ) ≤ μ ( E 2 ).
Sola Süreklilik: Eğer E 1 , E 2 , E 3 , ... ölçülebilir kümeler ve eğer E n bir alt kümesidir E n 1 herkes için n , ardından sendika E setleri arasında E n ölçülebilir ve μ ise ( E ) = lim μ ( E n ).
Sağa Süreklilik: Eğer E 1 , E 2 , E 3 , ... ölçülebilir kümeler ve eğer herkes için n , E n 1 bir alt kümesi E n , daha sonra kesişim E setleri arasında E n ölçülebilir; dahası, E n kümelerinden en az birinin sonlu bir ölçüsü varsa, o zaman μ ( E ) = lim μ ( E n ).

Örnekler

İşte bazı önemli ölçüm örnekleri:

sayısı ölçüsü (ya da sayısı ölçüsü ) m ile tanımlanır ( S ) = elemanların sayısı S ;
Dirac ölçüsü μ olan bir nokta ile bağlantılı a ait X μ olarak tanımlanır , bir ( S ) = χ S ( bir χ), S olan gösterge fonksiyonu arasında S . Bu nokta içerir, diğer bir deyişle, bir dizi önlem 1'e eşit olduğu bir a ve aksi takdirde 0;
yoğunluk ölçümü genellikle ƒ.μ not edilir diğer bir pozitif ölçüm u ile ilgili olarak olumlu bir ölçülebilir fonksiyon ƒ;
Lebesgue ölçümü (sınırlı Borelians ) tarafından eşsiz bir ölçü değişmez çeviri tanımlanan Borelian kabile ℝ ve bu μ ([0,1]) = 1 olduğu;
Haar ölçer bir ilgili yerel kompakt topolojik grubu , aynı zamanda, bir değişmezlik özelliği ile karakterize Lebesgue ölçümü bir genelleme vardır.

Genelleme

Bazı bağlamlarda, özellikle kabilelerden daha küçük kümelerdeki değerlerinden ölçülerin inşasını göstermek için, çeşitli sonuçları kısaca belirtmek için daha genel bir tanıma sahip olmak güzeldir; kaynaklara göre, kelime “ölçü” konulu sayılabilen katılabılirlik özelliğini doğrulayan işlevler için kullanılır setleri Cebirlerin , kümelerinin yüzük hatta kümelerin yarı halkaları . Bu nedenle daha genel olarak şunu sorabiliriz:

Tanım - Izin vermek bir küme ve boş kümeyi içeren bir dizi parça olsun : $X$ $\ mathcal {C}$ $X$

Bir μ haritası seti için değerlere sahip bir denir önlemi aşağıdaki özelliklerin her ikisi karşılanmadan: $\ mathcal {C}$ ${\ displaystyle [0, + \ infty]}$

Boş kümenin sıfır ölçüsü vardır:

{\ mathcal {C}} \ quad \ mathrm {ve} \ quad \ mu \ sol (\ varnothing \ sağ) = 0} içinde {\ displaystyle \ varnothing \

;

Harita μ olan σ-katkı :

Eğer E 1 , E 2 , ... a, sayılabilir aile parçalarının X ait bu parçalar eğer, iki, iki ayrık ile ve eğer birlik e aynı zamanda bir elemandır , o zaman ölçü μ ( E bu birliğin) parçaların ölçülerinin toplamına eşittir:

\ mathcal {C}

\ mathcal {C}

{\ displaystyle \ mu \ sol (\ bigsqcup _ {k = 1} ^ {\ infty} E_ {k} \ sağ) = \ toplamı _ {k = 1} ^ {\ infty} \ mu (E_ {k}) }

Bazı durumlarda, değerleri pozitif gerçekler ve sonsuzla sınırlı olmayan bir "ölçüye" sahip olmak yararlıdır. Örneğin, kümeler üzerinde tanımlanan ve gerçek değerleri alan bir σ- toplamalı işleve işaretli ölçü , karmaşık değerler alan böyle bir işlev ise karmaşık ölçü (inç) olarak adlandırılır . Bir Banach uzayında değer alan bir ölçüye vektör ölçüsü denir, bunun özel bir durumu spektral ölçülerdir ; bunlar esas olarak spektral teorem için fonksiyonel analizde kullanılır .

Diğer bir genelleme, basitçe eklemeli veya ortalama ölçü kavramıdır . Tanım, ölçününki ile aynıdır, tek fark, σ -katkısı sonlu toplamsallıkla değiştirilmiştir.

Son olarak, bazen, özellikle sayı teorisinde , gerçek ölçümlerin özellikleriyle uyumsuz olan özellikleri doğrulayan "ölçümler" ile karşılaşıyoruz; bu, örneğin, "ikiden bir tam sayı çifttir" gibi formüllerin anlamını belirlemeyi mümkün kılan asimtotik yoğunluk durumudur .

Notlar ve referanslar

Marc Briane ve Gilles Pagès, Entegrasyon Teorisi , Paris, Vuibert , ark . "Harika Vuibert kursları",Ekim 2000, 2 nci baskı. , 302 s. ( ISBN 978-2-7117-8946-7 ) , s. 61.
Briane ve Pagès 2000 , p terimini kullanır . 90 veya s. 97 , diğerleri arasında.
(in) Martin Väth, Integration Theory: A Second Course , World Scientific ,2002, 277 p. ( Mayıs ISBN 978-981-238-115-6 ), s. 8 .
(en) Achim Klenke, Olasılık Teorisi: Kapsamlı Bir Kurs , Springer,2008( ISBN 978-1-84800-047-6 ) , s. 12.
Örneğin Briane ve Pagès 2000 , s. 195, bunu ilk bakışta σ -sonluk tanımında ek koşul olarak ortaya koyun.
Briane ve Pagès 2000 , s. 90.
Briane ve Pagès 2000 , s. 255.
Briane ve Pagès 2000 , s. 63-64.
Briane ve Pagès 2000 , s. 62.
Aşağıdaki tanım o verilmektedir (in) Inder K. Rana, ölçün ve Entegrasyon An Introduction , AMS Kitabevi2002, 424 s. ( ISBN 978-0-8218-2974-5 , çevrimiçi okuyun ), tanım 3.3.1, s. 59 . Diğer yazarlar, bu daha genel bağlamlarda daha çok "ön önlem" den söz ederler , örneğin Klenke 2008 , s. 12 (sınıf bir setler halkası olduğunda). $\ mathcal C$

İlgili Makaleler

Hausdorff tedbir incelenmesinde kullanılan, fraktallar , burada tanımlanan anlamda bir ölçüsü ancak değil dış ölçüsü
Ölçülerin yakınsaması
İç ölçüm (inç)
Değerleme (ölçüm teorisi )