Levi's Lemma
Lemma Levi bir olan sonuç ait teorik bilgisayar bilimleri ve kelimeleri kombinatorik .
Eyaletler
Açıklama şu şekildedir:
Levi'nin Lemma - Let , , , bir kelime . Eğer , o zaman aşağıdaki iki durumdan birinde olduğumuz bir kelime var :
x{\ displaystyle x}y{\ displaystyle y}x′{\ displaystyle x '}y′{\ displaystyle y '}xy=x′y′{\ displaystyle xy = x'y '}z{\ displaystyle z}
- veya , (eğer );x=x′z{\ displaystyle x = x'z}y′=zy{\ displaystyle y '= zy}|x|≥|x′|{\ displaystyle | x | \ geq | x '|}
- veya , (eğer ).x′=xz{\ displaystyle x '= xz}y=zy′{\ displaystyle y = zy '}|x|≤|x′|{\ displaystyle | x | \ leq | x '|}
Misal
Are karşıtı , anayasal , anayasaya , sadece kelimeler.
Çok anti . anayasal olarak = anayasaya aykırı . lement ve daha fazlası | anti | | anayasaya aykırı |
bir de anayasaya aykırı = anti gibi anayasal kelimesi var . anayasal ve anayasal olarak = anayasal . lly≤{\ displaystyle \ leq}
Gösteri
Hadi poz verelim
w=xy=x′y′=-de1-de2⋯-dedeğil{\ displaystyle w = xy = x'y '= a_ {1} a_ {2} \ cdots a_ {n}},
harfler nerede . Let tamsayı böyle
-dek{\ displaystyle a_ {k}}ben{\ displaystyle i}
x=-de1-de2⋯-deben,y=-deben+1⋯-dedeğil{\ displaystyle x = a_ {1} a_ {2} \ cdots a_ {i}, y = a_ {i + 1} \ cdots a_ {n}},
ve aynı şekilde tam sayı
olacak şekildej{\ displaystyle j}
x′=-de1-de2⋯-dej,y′=-dej+1⋯-dedeğil{\ displaystyle x '= a_ {1} a_ {2} \ cdots a_ {j}, y' = a_ {j + 1} \ cdots a_ {n}}.
Eğer , o zaman biz var , birlikte
|x|≤|x′|{\ displaystyle | x | \ leq | x '|}ben≤j{\ displaystyle i \ leq j}x′=xz{\ displaystyle x '= xz}y=zy′{\ displaystyle y = zy '}
z=-deben+1⋯-dej{\ displaystyle z = a_ {i + 1} \ cdots a_ {j}}.
Tam tersine olursa o zaman, ve sahip , birlikte
|x|≥|x′|{\ displaystyle | x | \ geq | x '|}ben≥j{\ displaystyle i \ geq j}x=x′z{\ displaystyle x = x'z}y′=zy{\ displaystyle y '= zy}
z=-dej+1⋯-deben{\ displaystyle z = a_ {j + 1} \ cdots a_ {i}}.
Uzantılar
Eşdeğer ve dereceli monoid
Birleştirme ilişkisi ile sağlanan belirli bir alfabe üzerindeki kelime kümesi bir monoid oluşturur . Levi's lemması bu cebirsel yapının diğer örneklerine uygulanabilir .
Levi's lemma'nın tuttuğu bir monoid , eş anlamlı olarak adlandırılır . Eşdeğerlik, bir monoidin özgürlüğünü garanti etmez. Ancak şu özelliğe sahibiz:
Bir monoid ücretsiz ise ve equidivisible ve eğer, dahası, bir morfizmanın yoktur, sadece bir gibi doğal tamsayılar katkı Monoid içinde .M{\ displaystyle M}λ{\ displaystyle \ lambda}M{\ displaystyle M}λ-1(0)={1}{\ displaystyle \ lambda ^ {- 1} (0) = \ {1 \}}
Belirtilen özelliğe sahip bir morfizme sahip bir monoide dereceli denir ve bir mezuniyettir. Bu nedenle, bir monoid, ancak ve ancak eşitlenebilir ve derecelendirilmişse özgürdür.
λ{\ displaystyle \ lambda}λ{\ displaystyle \ lambda}
Diğer uzantılar
Var Levi tarzı lemmaları de diğer durumlarda, örneğin, grafik teorisi , aynı zamanda bu tür Monoids özel sınıflara iz Monoids olarak .
Kelimeler arasındaki denklemler
Levi's lemma, kelime denklemlerini çözmek için temel bileşendir. Bu bağlamda, Levi's lemma uygulamasına, gruplar halinde Nielsen dönüşümü (in) ile benzer şekilde
Nielsen dönüşümü denir . Örneğin, denklemi çözmeye çalışırsak
xsen=yv{\ displaystyle xu = yv}bilinmeyen kelimeler nerede ve ne ise, örneğin bunu varsayarak onu dönüştürebiliriz . Bu durumda, Levi lemması bir kelime vardır diyor öyle ki denklemi olur, yani . Bu yaklaşım, adım adım, bittiğinde denklemin çözümlerini bulmayı mümkün kılan bir grafik üretir. Makanin tarafından genel bir çözüm yöntemi verilmiştir. Bu yöntem o zamandan beri büyük ölçüde geliştirildi.
x{\ displaystyle x}y{\ displaystyle y}|x|≥|y|{\ displaystyle | x | \ geq | y |}z{\ displaystyle z}x=yz{\ displaystyle x = yz}yzsen=yv{\ displaystyle yzu = yv}zsen=v{\ displaystyle zu = v}
Tarihi
Lemma, adını 1944'te yayınlayan Friedrich Wilhelm Levi'den almıştır .
Notlar ve referanslar
-
Thierry Lecroq, " Combinatoire des mots " , Institut d'Électronique et d'Informatique Gaspard-Monge . Slayt 22.
-
(in) Aldo de Luca ve Stefano Varricchio, Yarıgruplarda ve Biçimsel Dillerde Sonluluk ve Düzenlilik , Springer Berlin Heidelberg,1999( ISBN 978-3-642-64150-3 ) , s. 2.
-
(inç) JD McKnight Jr. ve AJ Storey , " Equidivisible yarıgruplar " , Journal of Algebra , Cilt. 12, n o 1,Mayıs 1969, s. 24-48 ( DOI 10.1016 / 0021-8693 (69) 90015-5 ).
-
(in) Mr. Lothar, Combinatorics on Words , Cambridge University Press ,1997, 238 s. ( ISBN 978-0-521-59924-5 , çevrimiçi okuyun ) , s. 13.
-
(in) Elements of Automata Theory , Cambridge, Cambridge University Press ,2009, 758 s. ( ISBN 978-0-521-84425-3 ) , s. 26.
-
Volker Diekert, “1700 yıldan fazla kelime denklemleri” , Cebirsel Bilişim Konferansı , Springer, cilt. "Bilgisayar Bilimlerinde Ders Notları" ( n o 9270),2015( ISBN 978-3-319-23020-7 , DOI 10.1007 / 978-3-319-23021-4_2 , arXiv 1507.03215 ) , s. 22-28
-
Friedrich Wilhelm Levi, " Yarıgruplar üzerine " Kalküta Matematik Derneği Bülteni , cilt. 36,
1944, s. 141-146.
İlgili makale
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">