De Morgan'ın Kanunları
Morgan kanunları vardır kimlikleri arasındaki önerileri mantık. İngiliz matematikçi Augustus De Morgan (1806-1871) tarafından formüle edildiler .
Fransızca konuşulur
Olarak klasik mantık , yadsýnmasý disjunction iki önermeler eşdeğer bağlantılı “değildir (A veya B)” özdeş “ile (A) ve (değil B)” iki önermeler olumsuzluklar, araçlarının .
Yine klasik mantıkta , iki önermenin birleşiminin olumsuzlanması, iki önermenin olumsuzlamalarının ayrılmasına eşdeğerdir, yani “(A ve B) değil”, “(A değil) veya (B değil) ile özdeştir. ” .
matematiksel ifade
Bağlacın işaretle ifade edildiğini bilerek :, ayrılma işaretle ifade edilir: ve bir formülün olumsuzlaması yazılır .
∧{\ displaystyle \ arazi}∨{\ görüntü stili \ lor}F{\ görüntü stili F}F¯{\ görüntü stili {\ üst çizgi {F}}}
- (AT∧B)¯↔(AT¯)∨(B¯){\ displaystyle {\ overline {(A \ land B)}} \ leftrightarrow ({\ overline {A}}) \ lor ({\ overline {B}})}
- (AT∨B)¯↔(AT¯)∧(B¯){\ displaystyle {\ overline {(A \ lor B)}} \ leftrightarrow ({\ overline {A}}) \ arazi ({\ overline {B}})}
Klasik mantıkta geçerli olan bu dört çıkarımın üçü sezgici mantıkta geçerlidir , ancak geçerli değildir:
(AT∧B)¯→(AT¯)∨(B¯){\ displaystyle {\ overline {(A \ land B)}} \ rightarrow ({\ overline {A}}) \ lor ({\ overline {B}})}
Meşrulaştırma
Bu formülleri haklı için, örneğin, yöntem kullanmaktır anlambilimini ait doğruluk tabloları . İki formülün, ancak ve ancak aynı doğruluk tablosuna sahip olmaları durumunda eşdeğer olduğunu hatırlıyoruz.
(AT∧B)¯↔(AT¯)∨(B¯){\ displaystyle {\ overline {(A \ land B)}} \ leftrightarrow ({\ overline {A}}) \ lor ({\ overline {B}})}
|
AT{\ görüntü stili A} |
B{\ görüntü stili B} |
AT∧B{\ displaystyle A \ arazi B} |
(AT∧B)¯{\ displaystyle {\ üst çizgi {(A \ arazi B)}}} |
AT¯{\ displaystyle {\ üst çizgi {A}}} |
B¯{\ displaystyle {\ üst çizgi {B}}} |
(AT¯)∨(B¯){\ displaystyle ({\ overline {A}}) \ lor ({\ overline {B}})}
|
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1
|
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1
|
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1
|
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0
|
(AT∨B)¯↔(AT¯)∧(B¯){\ displaystyle {\ overline {(A \ lor B)}} \ leftrightarrow ({\ overline {A}}) \ arazi ({\ overline {B}})}
|
AT{\ görüntü stili A} |
B{\ görüntü stili B} |
AT∨B{\ displaystyle A \ lor B} |
(AT∨B)¯{\ displaystyle {\ üst çizgi {(A \ lor B)}}} |
AT¯{\ displaystyle {\ üst çizgi {A}}} |
B¯{\ displaystyle {\ üst çizgi {B}}} |
(AT¯)∧(B¯){\ displaystyle ({\ overline {A}}) \ land ({\ overline {B}})}
|
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1
|
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0
|
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0
|
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0
|
genelleme
De Morgan'ın ifadeleri , yasaların çağrışımsallığı ve ikili dağılımları kullanılarak tümevarım yoluyla önermelere genelleştirilir . İki ispat simetrik olduğundan (bir kanunu diğeriyle değiştirmek yeterlidir), burada sadece birinci kanun için bunu veriyoruz.
değil{\ görüntü stili n}∧{\ displaystyle \ arazi}∨{\ görüntü stili \ lor}
- Sıralamaya göre doğru değil=2{\ görüntü stili n = 2}
- Satır için çok doğru değil{\ görüntü stili n}
(AT1∧AT2∧...∧ATdeğil∧ATdeğil+1)¯{\ displaystyle {\ overline {(A_ {1} \ arazi A_ {2} \ arazi ... \ arazi A_ {n} \ arazi A_ {n + 1})}}}
↔((AT1∧AT2∧...∧ATdeğil)∧ATdeğil+1)¯{\ displaystyle \ leftrightarrow {\ üst çizgi {((A_ {1} \ arazi A_ {2} \ arazi ... \ arazi A_ {n}) \ arazi A_ {n + 1})}}}
↔((AT1∧AT2∧...∧ATdeğil)¯)∨(ATdeğil+1¯){\ displaystyle \ leftrightarrow ({\ overline {(A_ {1} \ arazi A_ {2} \ arazi ... \ arazi A_ {n})}}) \ lor ({\ overline {A_ {n + 1}}) })}
↔((AT1¯)∨(AT2¯)∨...∨(ATdeğil¯))∨(ATdeğil+1¯){\ displaystyle \ leftrightarrow (({\ overline {A_ {1}}}) \ lor ({\ overline {A_ {2}}}) \ lor ... \ lor ({\ overline {A_ {n}}}) )) \ lor ({\ üst çizgi {A_ {n + 1}}})}
- Bu kuralların sonlu ötesinde genelleştirilmesi, klasik yüklem hesabının evrensel ve varoluşsal niceleyicilerinin tanımlanamazlık kurallarını verir . Evrensel niceleyici, birleşimin bir genellemesi olarak görülebilir ve varoluşsal niceleyici, (münhasır olmayan) ayrımın bir genellemesi olarak görülebilir.
∀x(ATx¯)↔∃x(ATx)¯{\ displaystyle \ forall x ({\ overline {Ax}}) \ leftrightarrow {\ overline {\ x (Ax) var}}}
∃x(ATx¯)↔∀x(ATx)¯{\ displaystyle \ var x ({\ overline {Ax}}) \ leftrightarrow {\ overline {\ forall x (Ax)}}}
Ve bu dört klasik çıkarımdan sadece biri sezgici mantıkta geçerli değildir .
∀x(ATx)¯→∃x(ATx¯){\ displaystyle {\ overline {\ forall x (Ax)}} \ rightarrow \ x var ({\ overline {Ax}})}
Sezgisel mantıkta
Sezgici mantıkta, De Morgan yasalarının yalnızca zayıflamış bir biçimine sahibiz. Sadece çıkarımlar var
- ¬(AT∨B)→(¬AT∧¬B){\ displaystyle \ lnot (A \ lor B) \ to (\ lnot A \ land \ lnot B)}
- (¬AT∧¬B)→¬(AT∨B){\ displaystyle (\ lnot A \ land \ lnot B) \ to \ lnot (A \ lor B)}
- (¬AT∨¬B)→¬(AT∧B){\ displaystyle (\ lnot A \ lor \ lnot B) \ to \ lnot (A \ arazi B)}
İlk anlamı gösterelim. Bunun için sahip olduğumuzu kabul ederek bunu göstermemiz gerekiyor . Bu nedenle göstermek zorundadır vuracağız ve bu vuracağız . İlkini kanıtlayalım. Bu , sahip olduğumuz de ve de'yi göstermekle aynı anlama gelir . Altın . Bu nedenle modus ponens'in iki kez uygulanması yeterlidir (uygulamanın ortadan kaldırılması).
¬(AT∨B){\ displaystyle \ lnot (A \ lor B)}¬AT∧¬B{\ displaystyle \ lnot A \ lnot B}¬(AT∨B){\ displaystyle \ lnot (A \ lor B)}AT→⊥{\ displaystyle A \ to \ bot}¬(AT∨B){\ displaystyle \ lnot (A \ lor B)}B→⊥{\ displaystyle B \ to \ bot}(AT∨B)→⊥{\ displaystyle (A \ lor B) \ to \ bot}AT{\ görüntü stili A}⊥{\ görüntü stili \ bot}AT→(AT∨B){\ displaystyle A \ ila (A \ lor B)}
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">