Frobenius yöntemi
Olarak analiz , Frobemino yöntemi adını, Alman matematikçi Ferdinand Georg Frobemino , elde edilmesi için bir tekniktir tamsayı dizisi gelişimi bir çözeltilerinin formunda doğrusal diferansiyel denklem :
d2sendz2+p(z)dsendz+q(z)sen=0,{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} u} {\ mathrm {d} z ^ {2}}} + p (z) {\ frac {\ mathrm {d} u} {\ mathrm {d} z}} + q (z) u = 0,}Değişken Z genel olarak olan karmaşık bir nokta çevresinde, z = bir koşuluyla, p ( z ) ve q ( z ) olan , analitik ya da sahip tek noktasının adı normal bu noktada. Bu koşullara uyulursa, Frobenius yöntemi, formun en az bir çözümünün belirlenmesini mümkün kılar:
sen(z)=∑değil=0+∞-dedeğil(z--de)değil+r,(-de0≠0),r∈R.{\ displaystyle u (z) = \ toplam _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {a_ {n} (za) ^ {n + r}}, \ qquad (a_ {0} \ neq 0), r \ in \ mathbb {R}.}Bu yöntem, her bir türevin önünde görünen fonksiyonlar üzerinde yeterli düzenlilik koşullarına tabi olarak, p mertebesinde belirtilmemiş bir doğrusal diferansiyel denklem olarak genelleştirilebilir .
pk(z){\ displaystyle p_ {k} (z)}y(k),k=0,...,p-1{\ displaystyle y ^ {(k)}, \ quad k = 0, \ noktalar, p-1}
Genel İlkeler
Diferansiyel denklemleri, hatta doğrusal olanları doğrudan entegre etmek ve çözümlerini polinomlardan veya "sıradan" transandantal fonksiyonlardan (örneğin üstel , logaritma , trigonometrik fonksiyonlar vb.) İfade etmek çoğu zaman mümkün değildir . Ek olarak, analitik bir çözüm elde edilse bile, bu çok karmaşık bir forma sahip olabilir ve pratikte çok az kullanılabilir.
Tüm bu nedenlerden dolayı, diferansiyel bir denklemin çözümlerinin yaklaşık biçimlerini elde etmeye izin veren yöntemlere sahip olmak yararlıdır. Bu yöntemler iki geniş kategoriye ayrılabilir:
- Belirli bir noktanın yakınında yaklaşık çözümü ifade etmeye çalışan yerel yöntemler ;
- Bu yaklaşık çözümün belirli bir aralıkta ifade edilmesinin istendiği küresel yöntemler : Bunlar esasen, belirli terimleri ihmal ederek ilk denklemin basitleştirildiği ve ihmal edilen terimleri hesaba katmadan önce, denklemi kolayca entegre edilebilen tedirgin etme yöntemleridir. Böylece "sipariş 0" çözümü elde edildi. Bu tür yöntem genellikle astronomi veya kuantum fiziğinde kullanılır .
Yöntemin prensibi
Frobenius yöntemi, yöntemlerin birinci kategorisine aittir. Girişte belirtildiği gibi, genel formun ikinci derecesinin doğrusal diferansiyel denklemleri için geçerlidir:
d2sendz2+p(z)dsendz+q(z)sen=0,{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} u} {\ mathrm {d} z ^ {2}}} + p (z) {\ frac {\ mathrm {d} u} {\ mathrm {d} z}} + q (z) u = 0,}ve bir noktanın komşuluğunda z = a formunun en az bir tamsayı serisi çözümünün bir gelişimini elde etmeyi sağlarsen(z)=∑değil=0+∞-dedeğil(z--de)değil+r,(-de0≠0),r∈R.{\ displaystyle u (z) = \ toplam _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {a_ {n} (za) ^ {n + r}}, \ qquad (a_ {0} \ neq 0), r \ in \ mathbb {R}.}
İlke diferansiyel denklem bu ifadeyi yerine olacak ve terimi terime tanımlama ile tespit r sonra katsayıların bir ifade , bir n genellikle içerir, nüks ilişkisi bağlayarak.
Serinin varlığı ve yakınsaması
Diferansiyel denklemin doğrusallığından dolayı bu ikameyi gerçekleştirmek her zaman resmi olarak mümkünse, serinin ve ilişkili yarıçapın yakınsaması sorunu ortaya çıkar. Bu soru için kendini karmaşık düzleme yerleştirmekte fayda var.
Gerçekte, bir noktanın komşuluğunda türevlenebilen karmaşık (ve tekdüze) değişkenli bir u fonksiyonu aslında bu komşulukta sonsuza kadar türevlenebilir. Daha sonra olduğu söylenir analitik bu nokta etrafında ve herhangi bir nokta etrafında etki alanında bulunan için bir yerde u , bir ile, bir tamsayı serisinde geliştirilebilir analitik düzgün yakınsaklık kabul etki boyunca.
z=-de∈VS{\ displaystyle z = a \ in \ mathbb {C}}
Normal ve tekil noktalar
Genel olarak, bir nokta için bu nokta etrafındaki bir alanda analitik olan karmaşık değişkenli bir fonksiyon Laurent serisinde geliştirilebilir :
z=-de∈VS{\ displaystyle z = a \ in \ mathbb {C}}r<|z--de|<R{\ displaystyle r <| za | <R}
sen(z)=∑değil=-∞değil=+∞sendeğil(z--de)değil,{\ displaystyle u (z) = \ toplam _ {n = - \ infty} ^ {n = + \ infty} {u_ {n} (za) ^ {n}},}bu gelişme benzersizdir ve yakınsama dikkate alınan alan boyunca tekdüzedir. Dizi , geliştirmenin düzenli bir parçasıdır ve seri , ana bölümüdür .
∑değil=0değil=+∞sendeğil(z--de)değil{\ displaystyle \ toplamı _ {n = 0} ^ {n = + \ infty} {u_ {n} (za) ^ {n}}}∑değil=-∞değil=-1sendeğil(z--de)değil{\ displaystyle \ toplamı _ {n = - \ infty} ^ {n = -1} {u_ {n} (za) ^ {n}}}
Eğer u analitik olan bir onun Laurenziana gelişiminin ana kısmının tüm katsayıları sıfır şunlardır: noktasının bu tip olduğu söylenir düzenli . Aksi takdirde noktanın tekil olduğu söylenir ve şunu ayırt etmek mümkündür:
- gelişimin ana kısmının sonsuz sayıda terim içerdiği temel tekil noktalar : bu durumda mevcut değildir;limz→-desen(z){\ displaystyle \ lim _ {z \ ile a} u (z)}
- kutuplu emri p ana kısmı terimleri, sınırlı bir sayıda ve form olduğu,: .sen-p(z--de)p+sen-p+1(z--de)p-1+⋯+vs-1(z--de){\ displaystyle {\ frac {u _ {- p}} {(za) ^ {p}}} + {\ frac {u _ {- p + 1}} {(za) ^ {p-1}}} + \ noktalar + {\ frac {c _ {- 1}} {(za)}}}
Genel çözüm biçimi - Fuchs teoremi
Yukarıdaki kavramlar, dikkate alınan nokta etrafında sıfır olmayan yarıçaplı bir alanda, yukarıda önerilen formun bir tamsayı serisi genişlemesini kabul eden diferansiyel denklemin en az bir çözümünün var olma koşullarını belirlemeyi mümkün kılar.
Aslında, böyle bir çözümün varlığıyla ilgili aşağıdaki teoremi ispatlamak mümkündür:
- Formun diferansiyel denkleminde, p ve q fonksiyonları bölgede analitik ise , o zaman dikkate alınan tüm alan üzerinde sabit ve f analitik ile genel formun denkleminin bir çözümü vardır .sen″+p(z)sen′+q(z)sen=0{\ Displaystyle u '' + p (z) u '+ q (z) u = 0}r<|z--de|<R,0<r<R{\ displaystyle r <| za | <R, \ dört 0 <r <R}sen(z)=(z--de)rf(z){\ displaystyle u (z) = (za) ^ {r} f (z)}r∈VS{\ displaystyle r \ in \ mathbb {C}}
O zaman p ( z ) ve q ( z ) , z = a dahil olmak üzere alan üzerinde analitik ise , bu noktanın sıradan olduğu söylenecektir . Durum böyle değilse, nokta tekil olarak nitelendirilecektir . Ancak, eğer vardır, diferansiyel denklem herhangi çözümü için, bir reel sayı s öyle ki tek nokta olduğu söylenir, normal . Aksi takdirde düzensiz olacaktır .
|z--de|<R{\ displaystyle | za | <R} limz→-de(z--de)ssen(z)=0{\ displaystyle \ lim _ {z \ ile a} {(za) ^ {s} u (z)} = 0}
Fuchs teoremi (in) daha sonra belirtiyor eğer düzenli bir tekil noktası olacaktır ve tüm alanda analitik vardır .
z=-de{\ displaystyle z = a}(z--de)p(z){\ displaystyle (za) p (z)}(z--de)2q(z){\ displaystyle (za) ^ {2} q (z)}|z--de|<R,R>0{\ displaystyle | za | <R, \ quad R> 0}
Değişkenin değişimini ( Möbius dönüşümü ) diferansiyel denklemde gerçekleştirerek ve w = 0'daki davranışı inceleyerek sonsuzda düzenli veya tekil karakteri incelemek de mümkündür .
w=1/z{\ displaystyle w = 1 / z}
Örnek: Diferansiyel denklemi görelim. Açıkçave1. mertebenin bir kutbunu oluşturduğu açık olan başlangıç haricinde tüm karmaşık düzlemde analitiktir. Diğer yandanvebaşlangıçta analitik olduğu gibi, nokta düzenli bir tekil noktayı oluşturur.
zsen″+(β-z)sen′-αsen=0,α,β∈R{\ displaystyle zu '' + (\ beta -z) u '- \ alpha u = 0, \ quad \ alpha, \ beta \ in \ mathbb {R}}p(z)=βz-1{\ displaystyle p (z) = {\ tfrac {\ beta} {z}} - 1}q(z)=-αz{\ displaystyle q (z) = - {\ tfrac {\ alpha} {z}}}P(z)=zp(z)=β-z{\ displaystyle P (z) = zp (z) = \ beta -z}Q(z)=z2q(z)=-αz{\ displaystyle Q (z) = z ^ {2} q (z) = - \ alfa z}z=0{\ displaystyle z = 0}
Bir sonra değişkenin değişiklik yaptığı takdirde diferansiyel denklemleriyle konur , bu durumda bu nedenle açıktır ve analitik değildir : ondan böylece bir tahmin eder bir olan düzensiz tek nokta , bu diferansiyel denklem için.
w=1/z{\ displaystyle w = 1 / z}sen″+(2-βw+1w2)sen′-αw3sen=0, ile sen=sen(w){\ displaystyle u '' + \ sol ({\ tfrac {2- \ beta} {w}} + {\ tfrac {1} {w ^ {2}}} \ sağ) u '- {\ tfrac {\ alpha } {w ^ {3}}} u = 0, {\ text {with}} u = u (w)}wp(w)=2-β+1w{\ displaystyle wp (w) = 2- \ beta + {\ tfrac {1} {w}}}w2q(w)=-αw{\ displaystyle w ^ {2} q (w) = - {\ tfrac {\ alpha} {w}}}w=0{\ displaystyle w = 0}z=∞{\ displaystyle z = \ infty}
Eğer Sonuç olarak, fonksiyonlar p ve q olan analitik veya bu nokta olacak şekilde olan düzgün tekil nokta , daha sonra genel formu en az bir solüsyon var olacaktır ile, gerçek r ve analitik f bir mahalle . Bu yakınsama yarıçapının R minimuma, en yakın tekil noktaya olan mesafeye eşit olacağı , öncekilerden anlaşılıyor . Serinin yakınsaması da dikkate alınan alan üzerinde tekdüze olacaktır . Bütün bunlar, Frobenius'un yönteminde önerilen geliştirmenin biçimini haklı çıkarır.
z=-de{\ displaystyle z = a}sen(z)=(z--de)rf(z){\ displaystyle u (z) = (za) ^ {r} f (z)} -de<|z--de|<R,R>0{\ displaystyle a <| za | <R, \ quad R> 0}z=-de{\ displaystyle z = a}
Yöntemin sunumu
Frobenius yöntemi aşağıdaki adımlardan oluşur:
- Ya genel biçim ile sıradan bir noktanın diferansiyel denklemi ya da düzenli tekil olarak ayarladığımız ve dikkate alınan noktada hangi fonksiyonların analitik olduğu;d2sendz2+p(z)dsendz+q(z)sen=0,{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} u} {\ mathrm {d} z ^ {2}}} + p (z) {\ frac {\ mathrm {d} u} {\ mathrm {d} z}} + q (z) u = 0,}z=-de{\ displaystyle z = a}P-de(z)=(z--de)p(z){\ displaystyle P_ {a} (z) = (za) p (z)}Q-de(z)=(z--de)2q(z){\ displaystyle Q_ {a} (z) = (za) ^ {2} q (z)}
- Diferansiyel denklemde, çözümün ifadesini tüm seri biçiminde (Frobenius olarak bilinir) değiştiririz: ile , indeks üssü olarak adlandırılır .sen(z)=∑değil=0∞-dedeğil(z--de)değil+r,(-de0≠0),{\ displaystyle u (z) = \ toplamı _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} (za) ^ {n + r}, \ qquad (a_ {0} \ neq 0),}r∈R{\ displaystyle r \ in \ mathbb {R}}
- Diferansiyel denklemin farklı terimleri için arka arkaya aşağıdaki ifadeler gelir:
q(z)sen=∑değil=0+∞-dedeğilQ-de(z)(z--de)değil+r-2,{\ displaystyle q (z) u = \ toplam _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {a_ {n} Q_ {a} (z) (za) ^ {n + r-2}},}
p(z)dsendz=∑değil=0+∞-dedeğil(değil+r)P-de(z)(z--de)değil+r-2,{\ displaystyle p (z) {\ frac {du} {dz}} = \ toplamı _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {a_ {n} (n + r) P_ {a} (z) ( za) ^ {n + r-2}},}
d2sendz2=∑değil=0+∞-dedeğil(değil+r)(değil+r-1)(z--de)değil+r-2.{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} u} {\ mathrm {d} z ^ {2}}} = \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {a_ {n } (n + r) (n + r-1) (za) ^ {n + r-2}}.}
- Sonuç olarak, diferansiyel denklem şu şekle sokulur:
(z--de)r(∑değil=0+∞-dedeğil[(değil+r)(değil+r-1)+P-de(z)(değil+r)+Q-de(z)](z--de)değil-2)=0,{\ displaystyle (za) ^ {r} \ sol (\ toplamı _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {a_ {n} \ sol [(n + r) (n + r-1) + P_ { a} (z) (n + r) + Q_ {a} (z) \ sağ] (za) ^ {n-2}} \ sağ) = 0,}
ancak tanımlama yoluyla bu eşitlik ancak toplamın
z cinsinden aynı derecedeki
her bir terimin sıfır olması durumunda doğrulanır .
- Geleneksel olarak, biz varsayalım ve biz ise en düşük derece terimi, bir tane dikkate değerlendirildi, tanımı gereği nerede ve analitik olan bir ikinci dereceden denklem gelir ki r denilen endeks denklemi :-de0≠0{\ displaystyle a_ {0} \ neq 0}zr-2{\ displaystyle z ^ {r-2}}z=-de{\ displaystyle z = a}P-de(z){\ displaystyle P_ {a} (z)}Q-de(z){\ displaystyle Q_ {a} (z)}
r2+(P-de(0)-1)r+Q-de(0)=0,{\ displaystyle r ^ {2} + (P_ {a} (0) -1) r + Q_ {a} (0) = 0,}
kimin kökleri genel olarak ve ile belirtilmiştir .
r1{\ displaystyle r_ {1}}r2{\ displaystyle r_ {2}}r1>r2{\ displaystyle r_ {1}> r_ {2}}
- Bu şekilde elde edilen r'nin değerlerinden birinin aşağıdaki terimlerle ikame edilmesi, katsayıların bir ifadesini elde etmeyi mümkün kılar , keyfi olarak kalır (çoğu zaman alırız ). Genellikle bu ifade , ve arasında bir tekrarlama ilişkisi biçimini alır .-dedeğil{\ displaystyle a_ {n}}-de0{\ displaystyle a_ {0}}-de0=1{\ displaystyle a_ {0} = 1}-dedeğil{\ displaystyle a_ {n}}-dedeğil-1{\ displaystyle a_ {n-1}}-dedeğil+2{\ displaystyle a_ {n + 2}}
Uygulama örnekleri
Yöntemi iki örnek göstermektedir:
- Hemen formu alan diferansiyel denklemi düşününz2sen″-zsen′+(1-z)sen=0{\ displaystyle z ^ {2} u '' - zu '+ (1-z) u = 0}sen″-1zsen′+1-zz2sen=0.{\ displaystyle u '' - {1 \ z'den fazla} u '+ {1-z \ z ^ üzerinde {2}} u = 0.}
Sonuç olarak ve bu işlevler gayet düzenli tekil nokta
z = 0 ve , kabul eder .
p(z)=-1z{\ displaystyle p (z) = - {1 \ z üzerinde}}q(z)=1-zz2{\ displaystyle q (z) = {1-z \ z ^ üzerinde {2}}}P0(z)=-1{\ displaystyle P_ {0} (z) = - 1}Q0(z)=1-z{\ displaystyle Q_ {0} (z) = 1-z}
Yukarıdakilere göre, etrafında alınan Frobenius serisi genişleme denklemindeki ikame şunu verir:
z=0{\ displaystyle z = 0}
zr(∑değil=0+∞-dedeğil[(değil+r-1)2zdeğil-2-zdeğil-1])=0{\ displaystyle z ^ {r} \ sol (\ toplamı _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {a_ {n} \ sol [(n + r-1) ^ {2} z ^ {n-2 } -z ^ {n-1} \ sağ]} \ sağ) = 0},
veya yine, aynı
n derecesindeki terimlerin yeniden düzenlenmesinden sonra :
(r-1)2-de0zr-2+∑değil=1∞((değil+r-1)2-dedeğil--dedeğil-1)zdeğil+r-2=0{\ displaystyle (r-1) ^ {2} a_ {0} z ^ {r-2} + \ toplamı _ {n = 1} ^ {\ infty} \ sol ((n + r-1) ^ {2 } a_ {n} -a_ {n-1} \ sağ) z ^ {n + r-2} = 0},
çift kökü kabul eden indeks denklemi .
(r-1)2=0{\ displaystyle (r-1) ^ {2} = 0}r=1{\ displaystyle r = 1}
Bu değeri önceki ifadede dizin üssü için değiştirmek daha sonra şunu verir:
∑değil=1∞((değil2-dedeğil--dedeğil-1)zdeğil-1=0,{\ displaystyle \ toplamı _ {n = 1} ^ {\ infty} \ sol ((n ^ {2} a_ {n} -a_ {n-1} \ sağ) z ^ {n-1} = 0,}
bu tekrarlama ilişkisini ima eder , yani ifadeye göre .
-dedeğil+1=-dedeğil(değil+1)2{\ displaystyle a_ {n + 1} = {\ frac {a_ {n}} {(n + 1) ^ {2}}}}-de0{\ displaystyle a_ {0}}-dedeğil=-de0(değil!)2{\ displaystyle a_ {n} = {\ frac {a_ {0}} {(n!) ^ {2}}}}
- Diferansiyel denklemi ele alalım:, bunun için açık bir düzenli tekil nokta. Bu durumda , indeks, iki farklı kök ve .sen″-6z2sen=0{\ displaystyle u '' - {\ frac {6} {z ^ {2}}} u = 0}z=0{\ displaystyle z = 0}P0(z)=0{\ displaystyle P_ {0} (z) = 0}Q0(z)=-6{\ displaystyle Q_ {0} (z) = - 6}r2-r-6=0{\ displaystyle r ^ {2} -r-6 = 0}r1=3{\ displaystyle r_ {1} = 3}r2=-2{\ displaystyle r_ {2} = - 2}
Tamsayı serilerindeki gelişimin ikame edilmesi şu ifadeyi verir:
sen(z){\ displaystyle u (z)}
∑değil=0+∞-dedeğil((değil+r)(değil+r-1)-6)zdeğil+r-2=0{\ displaystyle \ toplamı _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {a_ {n} \ sol ((n + r) (n + r-1) -6 \ sağ) z ^ {n + r-2 }} = 0}olduğu sonucunu getirir için tüm değerleri
r . Dolayısıyla tekrarlama ilişkisi yoktur, ancak biri alarak iki olası çözüm elde eder ve . Gerçekten denklemin çözümleri olduğunu doğrulamak kolaydır, ancak ikincisi başlangıçta analitik değildir (2. dereceden kutup).
-dedeğil=0{\ displaystyle a_ {n} = 0}değil≠0{\ displaystyle n \ neq 0}-de0=1{\ displaystyle a_ {0} = 1}sen1(z)=z3{\ displaystyle u_ {1} (z) = z ^ {3}}sen2(z)=z-2{\ displaystyle u_ {2} (z) = z ^ {- 2}}
Notlar ve referanslar
Notlar
-
Burada mesele , bu denklemlerin sayısal çözümlemesi değil, gerçek çözüme uygun bir geliştirmeyle, bu durumda burada tüm seriler halinde yaklaşma meselesidir .
-
u ( z ) değeri , z = a çevresindeki Taylor serisinin değerine eşittir .
-
Ne de bu işlevler de itiraf demektir Laurent Serisi ve .z=-de{\ displaystyle z = a} p(z)=p-1(z--de)+p0+-de1(z--de)+p2(z--de)2+...{\ displaystyle p (z) = {\ frac {p _ {- 1}} {(za)}} + p_ {0} + a_ {1} (za) + p_ {2} (za) ^ {2} + \ noktalar}q(z)=q-2(z--de)2+q-1(z--de)+q0+q1(z--de)+q2(z--de)2+...{\ displaystyle q (z) = {\ frac {q _ {- 2}} {(za) ^ {2}}} + {\ frac {q _ {- 1}} {(za)}} + q_ { 0} + q_ {1} (za) + q_ {2} (za) ^ {2} + \ dots}
-
Bu diferansiyel denklem, birleşik hipergeometrik fonksiyonla ilişkili olandır .
-
Çevresindeki tüm serilerde çok geliştirilebilir .z=-de{\ displaystyle z = a}
Referanslar
-
(en) George Arfken , Mathematical Methods for Physicists , San Diego / New York / Berkeley vb., Academic Press ,1985, 3 e ed. , 985 s. , ciltli ( ISBN 0-12-059820-5 , LCCN 84-71328 ) , böl. 8, §5
-
(en) Carl M. Bender (en) ve Steven A. Orszag , Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers , New York, Mc Graw-Hill , coll. "Saf ve Uygulamalı Matematikte Uluslararası Seriler",1978, 593 s. , ciltli ( ISBN 0-07-004452-X , LCCN 77-29168 ) , bölüm II, bölüm. 3.
-
Hervé Reinhard, Diferansiyel denklemler: Temeller ve uygulamalar , Paris, Éditions Dunod ,1989, 2 nci baskı. , 452 s. , Karton kapak ( ISBN 2-04-018814-2 , bildirim BNF n O FRBNF36633166 , LCCN 83.130.784 ) , Bölüm VII.
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">