Yinelenen Güç Yöntemi

Gelen matematik , tekrarlanan güç yöntemi ya da güçler yöntem bir bir algoritma hesaplanması için baskın özdeğere a matris . Bu algoritmanın uygulanması basit ve popüler olmasına rağmen, çok hızlı bir şekilde birleşmez.

Özdeğerlerin hesaplanması

Bir A matrisi verildiğinde , daha büyük modüllü bir özdeğer ve ilişkili bir özvektör arıyoruz. Eigen hesaplanması bir sonra tekrarlı yöntemler kullanır ve güçler gibi bir yöntem bunların basit: (a kapalı formülü ile), genel direkt olarak mümkün değildir bulunmaktadır.

Algoritma

Yöntem, Jordan'ın indirgemesine dayanan aşağıdaki teoremi temel alır .

Teoremi - Let A aşağıdaki kare için matris , n ve $(λ 1 , λ 2 , ..., λ n )$ kendi özdeğer. Varsayıyoruz :

{\ displaystyle | \ lambda _ {1} |> \ max \ sol (| \ lambda _ {2} |, ..., | \ lambda _ {n} | \ sağ).}

Bu dikkate direk toplam ℂ n = E ⊕ F e olan karakteristik alt uzay içinde A özdeğer λ ilişkili 1 ve F karakteristik alt uzay olan A Diğer öz değerleri ile ilişkili.

Daha sonra w (0) ∉ F ise, tekrarlama ilişkisi ile tanımlanan vektörlerin dizisi ( w ( n ) )

{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N}, \ w ^ {(n + 1)} = {\ frac {1} {|| Aw ^ {(n)} ||}} Aw ^ {(n )}}

kontrol

w ( n ) ≠ 0 tüm n ∈ℕ için.
${\ displaystyle || Aw ^ {(n)} || \ longrightarrow | \ lambda _ {1} |}$ n → ∞ olduğunda .
${\ displaystyle \ sol ({\ frac {\ overline {\ lambda _ {1}}} {| \ lambda _ {1} |}} \ sağ) ^ {n} w ^ {(n)} \ longrightarrow v}$ n → ∞ olduğunda , burada v , özdeğer λ 1 ile ilişkili bir A birim vektörüdür .
Eğer j vektör bir sıfır olmayan bileşen v daha sonra, ne zaman n → ∞ . ${\ displaystyle {\ frac {(Aw ^ {(n)}) _ {j}} {w_ {j} ^ {(n)}}} \ longrightarrow \ lambda _ {1}}$

Yakınsama

Tüm cebirsel ve geometrik çoklukları özdeğer λ ilişkili 1 eşittir, algoritma boğulan bir yakınsama oranı λ, 1 ve λ 2 (mutlak değer olarak) en büyük ve en büyük ikinci özdeğerler. Aksi takdirde yakınsama çok daha yavaştır ve genel olarak davranır . ${\ displaystyle O \ sol (| \ lambda _ {2} / \ lambda _ {1} | ^ {n} \ sağ)}$ ${\ displaystyle O \ sol (1 / n \ sağ)}$

Tarihi

Bu sayısal yöntem İtalyan mühendis tarafından tasarlanan L. Vianello kritik yükü hesaplamak için burkulma ve elastik örgü şekli kaçınarak laik belirleyici . A. Stodola bunu türbinler üzerine yaptığı incelemede dönen makinelerin şaftlarının ilk özfrekanslarını hesaplamak için kullandı .

Bu algoritma, matrisin yalnızca ürünlerde kullanılmasının bir avantaj olduğu bağlamlarda, örneğin PageRank'te kullanılan çok büyük matrisler için kullanılır .

Diğer yöntemler

Diğer özdeğer hesaplama yöntemleri arasında ters güç yöntemi (en) , Lanczos algoritması , Rayleigh iterasyonu , LOBPCG (en) ve QR algoritması (en) ( QR ayrıştırmasına dayalı ) bulunur.

Notlar ve referanslar

Bernard Philippe ve Yousef Saad, “ Özdeğerlerin Hesaplanması ” , UMR Irisa'da .
Denis Serre , Matrisler: teori ve pratik , Paris, Dunod ,2001, 168 s. ( ISBN 2-10-005515-1 , OCLC 491560333 )
" Graphische Untersuchung der Knickfestigkeit gerader Stäbe ", Zeitschrift des Vereines deutscher Ingenieure , cilt. 42, n o 52,1898, s. 1436–1443.
Die Dampfturbinen und ihre Aussichten und über die als Wärmekraftmaschinen Gasturbine (1903).
Timoshenko, Materyallerin gücü tarihi , McGraw-Hill Book Co.,1953( repr. 1983, ed. Dover), 452 s. , "1900-1950 Dönemi Elastisite Teorisi", s. 418