Değişen sabitler yöntemi
Gelen matematik ve daha kesin olarak analiz , sabitlerin değişimi yöntemi (veya Lagrange yöntemi ) çözme yöntemidir diferansiyel denklemler . Özellikle, ilişkili homojen denklemin (yani ikinci üye olmadan) çözümlerini bilerek, ikinci üye ile bir diferansiyel denklemin çözümlerinin belirlenmesine izin verir.
Yöntem, matematikçi ve fizikçi Pierre-Simon de Laplace tarafından doğrusal diferansiyel denklemlerin çözümü için icat edildi . Adını, çoğunlukla, daha basit bir ilişkili denklem için zaten bulunana benzer bir formdaki çözümleri aramaktan, ancak bu çözümün sabit (ler) ini yeni bilinmeyen fonksiyonlarla değiştirmekten ibaret olduğu gerçeğinden alır. .
Birinci sipariş vaka
1. mertebeden doğrusal diferansiyel denklem için, homojen denklemin genel çözümü
-dez′+bz=0{\ displaystyle az '+ bz = 0}dır-dir
zK(x)=Kz1(x),K∈R,{\ displaystyle z_ {K} (x) = Kz_ {1} (x), K \ in \ mathbb {R},}onu arıyoruz
-dey′+by=vs{\ displaystyle ay '+ by = c}Formun altında
y(x)=k(x)z1(x).{\ displaystyle y (x) = k (x) z_ {1} (x).}İlk denkleme erteleyerek, ilk denkleme eşdeğer ancak k'yi taşıyan bir denklem elde ederiz :
k′=vs-dez1.{\ displaystyle k '= {\ frac {c} {az_ {1}}}.}Belirten tarafından k 0 fonksiyonu bir İlkel c / ( az 1 ), genel çözüm k'nin formda ifade
kK(x)=k0(x)+K,K∈R{\ displaystyle k_ {K} (x) = k_ {0} (x) + K, K \ in \ mathbb {R}}
bu genel çözümün ifadesine geri dönmeyi sağlar y K = y 0 + z K :
yK(x)=(k0(x)+K)z1(x),K∈R.{\ displaystyle y_ {K} (x) = (k_ {0} (x) + K) z_ {1} (x), K \ in \ mathbb {R}.}
Z 1 sonra k 0'ı açıklığa kavuşturmak için, iki ilkel hesaplama yapmak gerekir. Sonuç olarak, çözüm genellikle olağan fonksiyonlar kullanılarak ifade edilmez (bu konuda Liouville teoremine bakınız ).
İkinci dereceden vaka
Bir için sırayla iki doğrusal diferansiyel denklem , form koymak :
y″+-de(x)⋅y′+b(x)⋅y=d(x){\ displaystyle y '' + a (x) \ cdot y '+ b (x) \ cdot y = d (x)}
Homojen denklemin çözümlerinin temelini oluşturan ve iki çözümle belirtin . Formda
belirli bir çözüm y arayacağızy1{\ displaystyle y_ {1}}y2{\ displaystyle y_ {2}}
y(x)=λ(x)⋅y1(x)+μ(x)⋅y2(x){\ displaystyle y (x) = \ lambda (x) \ cdot y_ {1} (x) + \ mu (x) \ cdot y_ {2} (x)} ("sabitlerin değişim yöntemi" adı buradan gelir).
Biz göstermek durumunda fonksiyonlar ve aşağıdaki sistemini doğrulamak
λ{\ displaystyle \ lambda}μ{\ displaystyle \ mu}
{λ′(x)⋅y1(x)+μ′(x)⋅y2(x)=0λ′(x)⋅y1′(x)+μ′(x)⋅y2′(x)=d(x){\ displaystyle {\ başlar {durumlar} \ lambda '(x) \ cdot y_ {1} (x) + \ mu' (x) \ cdot y_ {2} (x) = 0 \\ lambda '(x) \ cdot y '_ {1} (x) + \ mu' (x) \ cdot y '_ {2} (x) = d (x) \ end {vakalar}}}o zaman yukarıdaki y işlevi belirli bir çözümdür.
Not.
1) Cramer kuralını alıyor ve kullanıyoruz .
λ′{\ displaystyle \ lambda '}μ′{\ displaystyle \ mu '}
2) Bu sistemin Cramer'dan olduğunu gösterebiliriz.
Genel dava
İkinci üye ile n mertebesinde bir doğrusal diferansiyel denklem için , temel bir çözüm sisteminin belirli bir çözüm doğrusal kombinasyonunu arayacağız , yani. Homojen denklemin çözümlerinin vektör uzayının bir temeli. Doğrusal kombinasyonun katsayıları artık belirlenmeye çalışılan fonksiyonlardır. Bu, n = 2 durumunun basit bir genellemesidir , ancak bir matris yeniden formülasyonu vardır.
y{\ displaystyle y}(y1,y2,⋯,ydeğil){\ displaystyle (y_ {1}, y_ {2}, \ cdots, y_ {n})}(vs1,vs2,⋯,vsdeğil){\ displaystyle (c_ {1}, c_ {2}, \ cdots, c_ {n})}
Doğrusal homojen olmayan adi diferansiyel denklem genel bir şekilde yazılabilir
y(değil)(x)+∑k=0değil-1-dek(x)y(k)(x)=d(x)(1){\ displaystyle y ^ {(n)} (x) + \ toplamı _ {k = 0} ^ {n-1} a_ {k} (x) \, y ^ {(k)} (x) = d ( x) \ qquad (1)}
k- inci türevi nerede . Önceden homojen denklemin
doğrusal olarak bağımsız n tane çözümüne sahip olduğumuzu varsayıyoruz.y(k){\ displaystyle y ^ {(k)}}y{\ displaystyle y}(y1,y2,⋯,ydeğil){\ displaystyle (y_ {1}, y_ {2}, \ cdots, y_ {n})}
y(değil)(x)+∑k=0değil-1-dek(x)y(k)(x)=0(2){\ displaystyle y ^ {(n)} (x) + \ toplamı _ {k = 0} ^ {n-1} a_ {k} (x) \, y ^ {(k)} (x) = 0 \ qquad (2)}.
Her bir çözümün ardışık türevlerini bir sütunda toplayarak , aşağıdaki matris oluşturulur
yben{\ displaystyle y_ {i}}
Φ(x): =(y1(x)y2(x)⋯ydeğil(x)⋮⋮⋮y1(k)(x)y2(k)(x)⋯ydeğil(k)(x)⋮⋮⋮y1(değil-1)(x)y2(değil-1)(x)⋯ydeğil(değil-1)(x))(3){\ displaystyle \ Phi (x): = {\ begin {pmatrix} y_ {1} (x) & y_ {2} (x) & \ cdots & y_ {n} (x) \\\ vdots & \ vdots && \ vdots \\ y_ {1} ^ {(k)} (x) & y_ {2} ^ {(k)} (x) & \ cdots & y_ {n} ^ {(k)} (x) \\ \ vdots & \ vdots && \ vdots \\ y_ {1} ^ {(n-1)} (x) & y_ {2} ^ {(n-1)} (x) & \ cdots & y_ {n} ^ {(n-1)} (x) \ end {pmatrix}} \ qquad (3)}.
N çözümünün bağımsızlığı, bu matrisin birbirini götürmemesi gereken determinantı hesaplanarak her x sabit için doğrulanabilir , bkz. wronskien .
Sabiti değiştirme yöntemi, formda (1) 'in belirli bir çözümünü aramaktan ibarettir.
y(x)=∑ben=1değilvsben(x)yben(x)(4){\ displaystyle y (x) = \ toplamı _ {i = 1} ^ {n} c_ {i} (x) \, y_ {i} (x) \ qquad (4)}
en azından işlevleri olan . Gerçekte, bu aşamada çok fazla bilinmeyen ortaya çıkar ve daha yüksek türevlere benzer bir eşitlik empoze etmek gerekir:
vsben{\ displaystyle c_ {i}}VS1{\ displaystyle C ^ {1}}
y(k)(x)=∑ben=1değilvsben(x)yben(k)(x)∀ k, 1≤k≤değil-1(5){\ displaystyle y ^ {(k)} (x) = \ toplamı _ {i = 1} ^ {n} c_ {i} (x) \, y_ {i} ^ {(k)} (x) \ dörtlü \ forall \ k, \ 1 \ leq k \ leq n-1 \ qquad (5)}
hangi miktarlar tekrarlanarak empoze edilecek
∑ben=1değilvsben′(x)yben(k)(x)=0∀ k, 0≤k≤değil-2(6){\ displaystyle \ toplamı _ {i = 1} ^ {n} c_ {i} '(x) y_ {i} ^ {(k)} (x) = 0 \ quad \ forall \ k, \ 0 \ leq k \ leq n-2 \ qquad (6)}.
Bununla birlikte, n- inci türevi olduğu gibi bırakılır; (5) 'i k : = n - 1 ile ayırt ederek elde ederiz :
y(değil)(x)=∑ben=1değil(vsben′(x)yben(değil-1)(x)+vsben(x)yben(değil)(x))(7){\ displaystyle y ^ {(n)} (x) = \ toplamı _ {i = 1} ^ {n} {\ bigl (} c '_ {i} (x) \, y_ {i} ^ {(n -1)} (x) + c_ {i} (x) \, y_ {i} ^ {(n)} (x) {\ bigr)} \ qquad (7)}.
Not: matris formülasyonundaki (16) denklemindeki (6) ve (7) koşullarının kökenini daha iyi anlıyoruz.
Homojen olmayan denklem (1) 'e şimdi (4), (5) ve (7) ekleyerek, elde ederiz
∑ben=1değilvsben(x)(yben(değil)(x)+∑k=0değil-1-dek(x)yben(k)(x))+∑ben=1değilvsben′(x)yben(değil-1)(x)=d(x){\ displaystyle \ toplamı _ {i = 1} ^ {n} c_ {i} (x) \, {\ biggl (} y_ {i} ^ {(n)} (x) + \ toplamı _ {k = 0 } ^ {n-1} a_ {k} (x) \, y_ {i} ^ {(k)} (x) {\ biggr)} + \ toplamı _ {i = 1} ^ {n} c '_ {i} (x) \, y_ {i} ^ {(n-1)} (x) = d (x)}.
Şimdi (2) 'nin çözümü olduğu için, ilk toplam kaybolur,
yben{\ displaystyle y_ {i}}
∑ben=1değilvsben′(x)yben(değil-1)(x)=d(x)(8){\ displaystyle \ toplamı _ {i = 1} ^ {n} c '_ {i} (x) \, y_ {i} ^ {(n-1)} (x) = d (x) \ qquad (8 )}.
Teoremi: Eğer diferansiyel denklemler (6) ve (8) daha sonra ifade onları tatmin (4) (1) 'in bir çözümdür.
vsben′{\ displaystyle c '_ {i}}
(6) ve (8) matris biçiminde yeniden yazılabilir
(y1(x)y2(x)⋯ydeğil(x)⋮⋮⋮y1(k)(x)y2(k)(x)⋯ydeğil(k)(x)⋮⋮⋮y1(değil-1)(x)y2(değil-1)(x)⋯ydeğil(değil-1)(x))⋅(vs1′⋮vsk′⋮vsdeğil′)=(00⋮0d(x))(9){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} y_ {1} (x) & y_ {2} (x) & \ cdots & y_ {n} (x) \\\ vdots & \ vdots && \ vdots \\ y_ {1 } ^ {(k)} (x) & y_ {2} ^ {(k)} (x) & \ cdots & y_ {n} ^ {(k)} (x) \\\ vdots & \ vdots && \ vdots \\ y_ {1} ^ {(n-1)} (x) & y_ {2} ^ {(n-1)} (x) & \ cdots & y_ {n} ^ {(n-1)} (x) \ end {pmatrix}} \ cdot {\ begin {pmatrix} c '_ {1} \\\ vdots \\ c' _ {k} \\\ vdots \\ c '_ {n} \ end { pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\\ vdots \\ 0 \\ d (x) \ end {pmatrix}} \ qquad (9)}
bu, Cramer kuralı ile ikinci dereceden olduğu gibi çözülür . Not sonra biz sıfırdan farklı olduğu varsayılır gelmiş wronskien,
W(x): =detΦ{\ displaystyle W (x): = \ det \ Phi}
∀ ben, 1≤ben≤değil,vsben′(x)=1W(x)|y1(x)⋯yben-1(x)0⋯ydeğil(x)⋮⋯⋮0⋯⋮y1(k)(x)⋯yben-1(k)(x)0⋯ydeğil(k)(x)⋮⋯⋮0⋯⋮y1(değil-1)(x)⋯yben-1(değil-1)(x)d(x)⋯ydeğil(değil-1)(x)|(10){\ displaystyle \ forall \ i, \ 1 \ leq i \ leq n, \ quad c '_ {i} (x) = {\ frac {1} {W (x)}} {\ begin {vmatrix} y_ { 1} (x) & \ cdots & y_ {i-1} (x) & 0 & \ cdots & y_ {n} (x) \\\ vdots & \ cdots & \ vdots & 0 & \ cdots & \ vdots \ \ y_ {1} ^ {(k)} (x) & \ cdots & y_ {i-1} ^ {(k)} (x) & 0 & \ cdots & y_ {n} ^ {(k)} ( x) \\\ vdots & \ cdots & \ vdots & 0 & \ cdots & \ vdots \\ y_ {1} ^ {(n-1)} (x) & \ cdots & y_ {i-1} ^ {( n-1)} (x) & d (x) & \ cdots & y_ {n} ^ {(n-1)} (x) \ end {vmatrix}} \ qquad (10)}
Matris formülasyonu
Ya . Ifade tarafından sütun vektör
y∈VSdeğil(ben), ben⊆R{\ displaystyle y \ C ^ {n} (I), \ I \ subseteq \ mathbb {R}}Y{\ displaystyle Y}
Y(x): =(y(x)y′(x)y(2)(x)⋮y(değil-1)(x)){\ displaystyle Y (x): = {\ başlar {pmatrix} y (x) \\ y '(x) \\ y ^ {(2)} (x) \\\ vdots \\ y ^ {(n- 1)} (x) \ end {pmatrix}}}
Bir işlev (1) 'in çözümüdür ancak ve ancak tatmin
edilirsey{\ displaystyle y}Y{\ displaystyle Y}
Y′=(010⋯0⋮010⋮⋮⋮⋱⋱0⋮⋮001--de0(x)--de1(x)⋯--dedeğil-2(x)--dedeğil-1(x))⋅Y+(00⋮0d(x))(11){\ displaystyle Y '= {\ begin {pmatrix} 0 & 1 & 0 & \ cdots & 0 \\\ vdots & 0 & 1 & 0 & \ vdots \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ ddots & 0 \\\ vdots & \ vdots & 0 & 0 & 1 \\ - a_ {0} (x) & - a_ {1} (x) & \ cdots & -a_ {n-2} (x) & - a_ { n-1} (x) \ end {pmatrix}} \ cdot Y + {\ begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\\ vdots \\ 0 \\ d (x) \ end {pmatrix}} \ qquad (11 )}
Sağ tarafın matrisini gösterelim . N mertebesinde bir denklemi 1 mertebeden bir denkleme dönüştürdük.
AT{\ displaystyle A}
Çözücü ilişkili homojen denklemin uygulanmasıdır değerini gönderir noktada herhangi bir çözelti x 1 değerine noktada x 2 (varlığının gerekçe, bakınız Cauchy- Lipschitz teoremi ), diğer bir deyişle -d. (11) ile ilişkili homojen denklemin
herhangi bir çözümü içinR:ben×ben⟶Mdeğil(K){\ displaystyle R: I \ times I \ longrightarrow \ mathbb {M} _ {n} (\ mathbb {K})}Y(x1){\ displaystyle Y (x_ {1})}Y(x2){\ displaystyle Y (x_ {2})}Y{\ displaystyle Y}
Y(x2)=R(x2,x1)⋅Y(x1)(12){\ displaystyle Y (x_ {2}) = R (x_ {2}, x_ {1}) \ cdot Y (x_ {1}) \ qquad (12)}.
Biz toplamak halinde N lineer bağımsız çözümler matris içinde homojen denklemi (3), doğal olarak var arasında
(Y1,Y2,⋯,Ydeğil){\ displaystyle (Y_ {1}, Y_ {2}, \ cdots, Y_ {n})}Φ{\ displaystyle \ Phi}
Φ′(x)=AT⋅Φ(13){\ displaystyle \ Phi '(x) = A \ cdot \ Phi \ qquad (13)}
Hem de
Φ(x2)=R(x2,x1)⋅Φ(x1)(14){\ displaystyle \ Phi (x_ {2}) = R (x_ {2}, x_ {1}) \ cdot \ Phi (x_ {1}) \ qquad (14)}.
Not:
- (13) ve (14) doğrusal olarak bağımsız olsun ya da olmasın herhangi bir çözüm ailesi için geçerliliğini korur .(Y1,Y2,⋯,Ydeğil){\ displaystyle (Y_ {1}, Y_ {2}, \ cdots, Y_ {n})}
- Açık bir şekilde temel bir çözüm sistemi biliyorsak , o zaman çözücüyü (14) 'den açık hale getirebiliriz. Nitekim, Liouville'in formülüne göre , eğer belirli bir x 0 için tersinir ise , o zaman tüm x'ler içindir ; kişi böylece yazabilir .(Y1,Y2,⋯,Ydeğil){\ displaystyle (Y_ {1}, Y_ {2}, \ cdots, Y_ {n})}Φ{\ displaystyle \ Phi}Φ(x2)⋅Φ-1(x1)=R(x2,x1){\ displaystyle \ Phi (x_ {2}) \ cdot \ Phi ^ {- 1} (x_ {1}) = R (x_ {2}, x_ {1})}
Dikkat: Çözücünün çeviriyle değişmezliğini, özellikle de (gösterimin kötüye kullanılması) ve tek değişkenli bir işlev olarak görülen, nerede olursa olsun "1 parametreli bir grup" olduğunu göstermeden kullanacağız. . tanımlı, yani ve ne zaman tanımlandığı. Bu arada, memnunum (13).
R(x2,x1)=R(x2-x1){\ displaystyle R (x_ {2}, x_ {1}) = R (x_ {2} -x_ {1})} R(-de)⋅R(b)=R(-de+b){\ Displaystyle R (a) \ cdot R (b) = R (a + b)}R-1(-de)=R(--de){\ displaystyle R ^ {- 1} (a) = R (-a)}R{\ displaystyle R}
Bu formülasyonda, sabitleri değiştirme yöntemi "değişkeni değiştirmeyi" içerir.
Y(x)=R(x,x0)⋅(vs1(x)vs2(x)vs3(x)⋮vsdeğil(x))⟺(vs1(x)vs2(x)vs3(x)⋮vsdeğil(x))=R-1(x,x0)⋅Y(x)(15){\ displaystyle Y (x) = R (x, x_ {0}) \ cdot {\ başlar {pmatrix} c_ {1} (x) \\ c_ {2} (x) \\ c_ {3} (x) \\\ vdots \\ c_ {n} (x) \ end {pmatrix}} \ quad \ Longleftrightarrow \ quad {\ begin {pmatrix} c_ {1} (x) \\ c_ {2} (x) \\ c_ {3} (x) \\\ vdots \\ c_ {n} (x) \ end {pmatrix}} = R ^ {- 1} (x, x_ {0}) \ cdot Y (x) \ qquad (15 )}
(11) bu nedenle yeniden yazılmıştır
R′(x-x0)⋅(vs1(x)vs2(x)vs3(x)⋮vsdeğil(x))+R(x-x0)⋅(vs1′(x)vs2′(x)vs3′(x)⋮vsdeğil′(x))=AT⋅R(x-x0)⋅(vs1(x)vs2(x)vs3(x)⋮vsdeğil(x))+(00⋮0d(x)){\ displaystyle R '(x-x_ {0}) \ cdot {\ begin {pmatrix} c_ {1} (x) \\ c_ {2} (x) \\ c_ {3} (x) \\\ vdots \\ c_ {n} (x) \ end {pmatrix}} + R (x-x_ {0}) \ cdot {\ begin {pmatrix} c '_ {1} (x) \\ c' _ {2} (x) \\ c '_ {3} (x) \\\ vdots \\ c' _ {n} (x) \ end {pmatrix}} = A \ cdot R (x-x_ {0}) \ cdot {\ begin {pmatrix} c_ {1} (x) \\ c_ {2} (x) \\ c_ {3} (x) \\\ vdots \\ c_ {n} (x) \ end {pmatrix}} + {\ begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\\ vdots \\ 0 \\ d (x) \ end {pmatrix}}}.
Ancak, aynı zamanda tatmin edici olduğu için (13), yalnızca
R{\ displaystyle R}
R(x-x0)⋅(vs1′(x)vs2′(x)vs3′(x)⋮vsdeğil′(x))=(00⋮0d(x))(16){\ displaystyle R (x-x_ {0}) \ cdot {\ begin {pmatrix} c '_ {1} (x) \\ c' _ {2} (x) \\ c '_ {3} (x ) \\\ vdots \\ c '_ {n} (x) \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\\ vdots \\ 0 \\ d (x) \ end {pmatrix }} \ qquad (16)}
hangi temel çözümleri değerleri burada açık bağımlılığı olan, (9) eşdeğerdir x 0 .
Bunu (özdeşlik matrisi) ve (15) ile, vektör bileşenini bileşene göre entegre ederiz.
R(0)=bendeğil{\ displaystyle R (0) = I_ {n}}
(vs1(x)vs2(x)vs3(x)⋮vsdeğil(x))=∫x0xR-1(l-x0)⋅(00⋮0d(x))dl+Y(x0){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} c_ {1} (x) \\ c_ {2} (x) \\ c_ {3} (x) \\\ vdots \\ c_ {n} (x) \ end { pmatrix}} = \ int _ {x_ {0}} ^ {x} R ^ {- 1} (l-x_ {0}) \ cdot {\ begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\\ vdots \\ 0 \\ d (x) \ end {pmatrix}} \, dl + Y (x_ {0})}.
(15) 'i tekrar kullanarak ve nerede tanımlanırsa tanımlansın, nihayet elde ederiz
R-1(ϵ)=R(-ϵ){\ displaystyle R ^ {- 1} (\ epsilon) = R (- \ epsilon)}
Y(x)=R(x-x0)Y(x0)+∫x0xR(x-l)⋅(00⋮0d(x))dl{\ displaystyle Y (x) = R (x-x_ {0}) Y (x_ {0}) + \ int _ {x_ {0}} ^ {x} R (xl) \ cdot {\ begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\\ vdots \\ 0 \\ d (x) \ end {pmatrix}} \, dl}.
Fiziğe uygulama örneği
Sabit katsayılı ikinci dereceden diferansiyel denklem , salınımlı sisteme uygulanan uyarma (kuvvet, akım…) sıfır olduğunda, tek serbestlik dereceli salınımlı sistemlerin çalışılmasına fizikte müdahale eder .
-dey″(t)+by′(t)+vsy(t)=0{\ displaystyle ay '' (t) + ile '(t) + cy (t) = 0}
Karakteristik denklem yöntemi (Euler tarafından keşfedilen), üstel (karmaşık) fonksiyonların doğrusal bir kombinasyonu olan bu homojen diferansiyel denklemin çözümünü verir.
Bir uyarma uyguladığımızda , denklem şöyle olur:
f(t){\ displaystyle f (t)}
-dey″(t)+by′(t)+vsy(t)=f(t){\ displaystyle ay '' (t) + ile '(t) + cy (t) = f (t)}.
Sabit varyasyon yöntemi , genel çözümü bulmayı mümkün kılar .
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">