Gerçeküstü sayı

Gelen matematik , sayılar gerçek üstü bu dahil olmak üzere, bir sınıfın elemanları gerçek ve sıra sayıları ötesi ve hangi bir yapı tanımlanmaktadır gövdesi  ; bu, özellikle, sonsuz sıra sayılarının terslerini tanımladığımız anlamına gelir; bu sıra sayıları ve tersleri, herhangi bir pozitif gerçek sayıdan sırasıyla daha büyük ve daha küçüktür. Gerçeküstücüler, olağan teori anlamında bir bütün oluşturmazlar .

Gerçeküstü sayılar John Conway tarafından tanıtıldı ve Donald Knuth tarafından 1974'te Gerçeküstü Sayılar: İki Eski Öğrenci Saf Matematiğe Dönüştü ve Toplam Mutluluğu Buldu (kelimenin tam anlamıyla gerçeküstü sayılar: iki eski öğrenci nasıl saf matematiğe başladı ve buldu ) adlı kitabında popüler hale getirildi. toplam mutluluk ).

Sayılar yapay olarak gerçek zamanda Knuth tarafından tanıtılan, bu daha zayıf koşulları ile inşa gerçeküstü sayılar, aşırı sınıfıdır.

Gerçeküstü sayılar

Sunum

Gerçeküstü sayıların inşası, Dedekind kesimleri aracılığıyla gerçek sayıların oluşturulmasına benzer , ancak sonsuz tekrarlama kavramını kullanır . Halihazırda oluşturulmuş ve ( sol ve sağ , sol ve sağ için) muhtemelen boş olan iki sayı kümesi sayesinde temsil edilen yeni sayıların inşasına dayanır . Bu şekilde oluşturulan, kaydedilen yeni sayı, daha sonra tanımlanacak bir sırada herhangi bir sayıdan büyük ve herhangi bir sayıdan az olacaktır. Bunun mümkün olması için bir kısıtlama getiriyoruz ve  : her sayı, her sayıdan daha küçük olmalıdır . L{\ displaystyle L}R{\ displaystyle R}{L|R}{\ displaystyle \ sol \ {L | R \ sağ \}}L{\ displaystyle L}R{\ displaystyle R}L{\ displaystyle L}R{\ displaystyle R}L{\ displaystyle L}R{\ displaystyle R}

Tanım

Izin vermek ve iki gerçeküstü sayı kümesi olmak gibi: L{\ displaystyle L}R{\ displaystyle R}

• her şey ve her şey için , (aşağıda tanımlanan geniş düzen ilişkisinin katı versiyonu).x∈L{\ displaystyle x \ L olarak}y∈R{\ displaystyle y \ R’de}x<y{\ displaystyle x <y}

Yani gerçeküstü bir sayıdır. {L|R}{\ displaystyle \ sol \ {L | R \ sağ \}}

Bir gerçeküstü sayı göz önüne alındığında , biz diyoruz ve sol seti ve sağ dizi sırasıyla. X={XL|XR}{\ displaystyle X = \ sol \ {X_ {L} | X_ {R} \ sağ \}}XL{\ displaystyle X_ {L}}XR{\ displaystyle X_ {R}}X{\ displaystyle X}

Diş tellerinin şişmesini önlemek için en , en ve en kısaltacağız . {{XL1,XL2,⋯}|{XR1,XR2,⋯}}{\ displaystyle \ sol \ {\ sol \ {X_ {L_ {1}}, X_ {L_ {2}}, \ cdots \ sağ \} | \ sol \ {X_ {R_ {1}}, X_ {R_ { 2}}, \ cdots \ sağ \} \ sağ \}}{XL1,XL2,⋯|XR1,XR2,⋯}{\ displaystyle \ sol \ {X_ {L_ {1}}, X_ {L_ {2}}, \ cdots | X_ {R_ {1}}, X_ {R_ {2}}, \ cdots \ sağ \}}{{XL}|∅}{\ displaystyle \ sol \ {\ sol \ {X_ {L} \ sağ \} | \ boş küme \ sağ \}}{XL|}{\ displaystyle \ sol \ {X_ {L} | \ sağ \}}{∅|{XR}}{\ displaystyle \ sol \ {\ boş küme | \ sol \ {X_ {R} \ sağ \} \ sağ \}}{|XR}{\ displaystyle \ sol \ {| X_ {R} \ sağ \}}

Bunun yinelemeli bir tanım (veya tümevarım yoluyla ) olduğunu görüyoruz ; bu nokta daha sonra açıklanacaktır.

Sipariş

Yukarıdaki tanımın bir anlamı olabilmesi için , gerçeküstü sayılar üzerinde ikili bir ilişki (noted ile belirtilmiş) tanımlamak gerekir .

İki gerçeküstü sayı ve olsun . ancak ve ancak her şey için , asla buluşmayacağız ve her şey için asla sahip olamayacaksak . X={XL|XR}{\ displaystyle X = \ sol \ {X_ {L} | X_ {R} \ sağ \}}Y={YL|YR}{\ displaystyle Y = \ sol \ {Y_ {L} | Y_ {R} \ sağ \}}X≤Y{\ displaystyle X \ leq Y}x∈XL{\ displaystyle x \ X_ {L}}Y≤x{\ displaystyle Y \ leq x}y∈YR{\ displaystyle y \ in Y_ {R}}y≤X{\ displaystyle y \ leq X}

Burada da bu tanım yineleniyor.

Bu ilişki , antisimetrik olmadığı için yalnızca bir ön siparişi tanımlar (biz olabilir ve onsuz olabilir , örneğin ve ile durum böyledir ). Bu sorunu çözmek için gerçeküstü sayılar üzerinde yeni bir ilişki tanımlıyoruz: X≤Y{\ displaystyle X \ leq Y}Y≤X{\ displaystyle Y \ leq X}X=Y{\ displaystyle X = Y}{|}{\ displaystyle \ sol \ {| \ sağ \}}{-1|1}{\ displaystyle \ sol \ {- 1 | 1 \ sağ \}}

X==Y⇔X≤Y∧Y≤X.{\ displaystyle X == Y \ Leftrightarrow X \ leq Y \ kama Y \ leq X.}

Bu bir eşdeğerlik ilişkisidir ve eşdeğerlik sınıfları üzerinde ≤ ile indüklenen sıra toplam bir sıralamadır, bu durumda bir eşdeğerlik sınıfı benzersiz bir sayı olarak düşünülebilir.

Operasyonlar

• İki gerçeküstü sayının toplamasını şu şekilde tanımlıyoruz:

X+Y={XL+Y∪X+YL|XR+Y∪X+YR}{\ displaystyle X + Y = \ sol \ {X_ {L} + Y \ cup X + Y_ {L} | X_ {R} + Y \ cup X + Y_ {R} \ sağ \}}ile ve .AT+Y={-de+Y/-de∈AT}{\ displaystyle A + Y = \ left \ {a + Y / a \ in A \ right \}}X+B={X+b/b∈B}{\ displaystyle X + B = \ sol \ {X + b / b \ B \ sağda \}}

• Müzakere:

-X={-XR|-XL}{\ displaystyle -X = \ sol \ {- X_ {R} | -X_ {L} \ sağ \}}ile .-AT={--de/-de∈AT}{\ displaystyle -A = \ sol \ {- a / a \, A \ sağda \}}

• İki gerçeküstü sayının çarpımına gelince:

XY={(XLY+XYL-XLYL)∪(XRY+XYR-XRYR) |(XLY+XYR-XLYR)∪(XRY+XYL-XRYL)}{\ displaystyle {\ begin {matrix} XY = & \ left \ {(X_ {L} Y + XY_ {L} -X_ {L} Y_ {L}) \ cup (X_ {R} Y + XY_ {R} -X_ {R} Y_ {R}) \ right. \\\ & | \ left. (X_ {L} Y + XY_ {R} -X_ {L} Y_ {R}) \ cup (X_ {R} Y + XY_ {L} -X_ {R} Y_ {L}) \ sağ \} \ end {matris}}}ile .ATB={-deb/-de∈AT∧b∈B}{\ displaystyle AB = \ sol \ {ab / a \ A \ kama b \ B \ sağ \}}

Bu işlemlerin gerçeküstü sayılar üzerinde iyi tanımlandığını göstermek mümkündür. Yukarıda tanımlanan eşdeğerlik sınıflarına belirsizlik olmadan genelleştirilebilirler:

• Eğer ve öyleyse ,[X]=[X′]{\ displaystyle [X] = [X ']}[Y]=[Y′]{\ displaystyle [Y] = [Y ']}[X+Y]=[X′+Y′]{\ displaystyle [X + Y] = [X '+ Y']}
• [-X]=[-X′]{\ displaystyle [-X] = [- X ']} ve
• [XY]=[X′Y′]{\ displaystyle [XY] = [X'Y ']}.

Son olarak, denklik sınıfları üzerindeki bu işlemlerin, bir küme değil, uygun bir sınıf oluşturmaları dışında sıralı bir alanı tanımladığını gösterebiliriz . Bunun en büyük düzenli beden meselesi olduğunu, yani herhangi bir düzenli cismin (yapısına saygı duyarak) içine daldırılabileceğini göstermek mümkündür; özellikle bu beden gerçekten kapalıdır .

Şu andan itibaren, gerçeküstü bir sayı ile eşdeğerlik sınıfı arasında artık ayrım yapmayacağız ve doğrudan bu son gerçeküstü numarayı arayacağız.

İnşaat

Gördüğümüz gibi, önceki iki tanım tekrarlama ilkesini kullanır. Sıradan yinelemeyi kullanmak mümkündür , ancak sonsuz yinelemeyi hesaba katmak daha ilginçtir .

Yinelemeyi başlatmak için gerçeküstü bir sayı oluşturmak da gerekli görünebilir; boş küme sayesinde tanımlanabilir ve bu işleve yanıt verir. {|}{\ displaystyle \ sol \ {| \ sağ \}}

Tekrarlama aşamasında yaratılan gerçeküstü sayılar kümesini bir sıra için alarak gösterelim . Doğum tarihi a en küçük sıra gerçeküstü numarası gibi . DEĞİLdeğil{\ displaystyle N_ {n}} değil{\ displaystyle n}değil{\ displaystyle n}DEĞİL0={|}{\ displaystyle N_ {0} = \ sol \ {| \ sağ \}}X{\ displaystyle X}değil{\ displaystyle n}X∈DEĞİLdeğil{\ displaystyle X \ in N_ {n}}

Sonlu sayıda adımda oluşturulan gerçeküstü sayılar (bu nedenle, sıradan tekrarlama mantığıyla ), ikili rasyonellere (yani , p ve n'nin tam sayı olduğu sayılar) asimile edilir . p/2değil{\ displaystyle p / 2 ^ {n}}

Örnekler

Adım adım tanımlıyoruz:

• Tam sayılar:

0={|}{\ displaystyle 0 = \ sol \ {| \ sağ \}} 1={0|}{\ displaystyle 1 = \ sol \ {0 | \ sağ \}} ve -1={|0}{\ displaystyle -1 = \ sol \ {| 0 \ sağ \}} 2=1+1={{0,1}|}={1|}{\ displaystyle 2 = 1 + 1 = \ sol \ {\ sol \ {0,1 \ sağ \} | \ sağ \} = \ sol \ {1 | \ sağ \}} ve -2={|-1}{\ displaystyle -2 = \ sol \ {| -1 \ sağ \}} ⋯{\ displaystyle \ cdots} değil+1={{0,1,⋯,değil}|}={değil|}{\ displaystyle n + 1 = \ sol \ {\ sol \ {0,1, \ cdots, n \ sağ \} | \ sağ \} = \ sol \ {n | \ sağ \}}.

• Diyadik numaralar  :

12={0|1}{\ displaystyle {1 \ over 2} = \ sol \ {0 | 1 \ sağ \}} 32={1|2}{\ displaystyle {3 \ over 2} = \ sol \ {1 | 2 \ sağ \}} 14={0|12}{\ displaystyle {1 \ over 4} = \ left \ {0 | {1 \ over 2} \ right \}} ⋯{\ displaystyle \ cdots} DEĞİL2p={DEĞİL-12p|DEĞİL+12p}{\ displaystyle {\ frac {N} {2 ^ {p}}} = \ sol \ {{\ frac {N-1} {2 ^ {p}}} | {\ frac {N + 1} {2 ^ {p}}} \ sağ \}}ile tek ve tam sayıDEĞİL{\ displaystyle N}p{\ displaystyle p}⩾1{\ displaystyle \ geqslant 1}

• Tıpkı irrasyonel sayıların rasyonel sayılar arasındaki kopuşlar olarak tanımlanması gibi , iki ikili sayı kümesi arasındaki kopuşlar olarak diğer rasyonel sayılar .
• Sıra sayıları gibi sonsuz büyük olanlar  :

ω={{0,1,2,3,⋯}|}={DEĞİL|}{\ displaystyle \ omega = \ sol \ {\ sol \ {0,1,2,3, \ cdots \ sağ \} | \ sağ \} = \ sol \ {\ mathbb {N} | \ sağ \}} herhangi bir tam sayıdan büyük olan ω+1={ω|}{\ displaystyle \ omega + 1 = \ sol \ {\ omega | \ sağ \}} ω2={{ω,2ω,3ω,⋯}|}{\ displaystyle \ omega ^ {2} = \ sol \ {\ sol \ {\ omega, 2 \ omega, 3 \ omega, \ cdots \ sağ \} | \ sağ \}} ωω={{ω,ω2,ω3,⋯}|}{\ displaystyle \ omega ^ {\ omega} = \ sol \ {\ sol \ {\ omega, \ omega ^ {2}, \ omega ^ {3}, \ cdots \ sağ \} | \ sağ \}} ve ayrıca sıra dışı olmayan sonsuz büyüklükteki yeni nesneler, örneğin ω-1={{0,1,2,3,⋯}|ω}{\ displaystyle \ omega -1 = \ sol \ {\ sol \ {0,1,2,3, \ cdots \ sağ \} | \ omega \ sağ \}} ω-2={{0,1,2,3,⋯}|ω-1}{\ displaystyle \ omega -2 = \ sol \ {\ sol \ {0,1,2,3, \ cdots \ sağ \} | \ omega -1 \ sağ \}} ω/2={{0,1,2,3,⋯}|{ω,ω-1,ω-2,⋯}}{\ displaystyle \ omega / 2 = \ sol \ {\ sol \ {0,1,2,3, \ cdots \ sağ \} | \ sol \ {\ omega, \ omega -1, \ omega -2, \ cdots \ doğru doğru \}} ω={{0,1,2,3,⋯}|{ω,ω2,ω3,⋯}}{\ displaystyle {\ sqrt {\ omega}} = \ sol \ {\ sol \ {0,1,2,3, \ cdots \ sağ \} | \ sol \ {\ omega, {\ frac {\ omega} { 2}}, {\ frac {\ omega} {3}}, \ cdots \ sağ \} \ sağ \}}

(Dikkat: Yukarıda gerçeküstü olaylar üzerine tanımlanan işlemler, sıra sayıları üzerindeki olağan işlemler değildir; bu nedenle, sıralı çarpma, gerçeküstülerin aksine, değişmeli değildir).

• Sonsuz küçük:

ϵ={0|{1,12,13,⋯}}{\ displaystyle \ epsilon = \ sol \ {0 | \ sol \ {1, {1 \ 2'den fazla}, {1 \ 3'ten fazla}, \ cdots \ sağ \} \ sağ \}}bu kesinlikle pozitiftir, ancak pozitif tamsayı için her şeyden daha azdır .1değil{\ displaystyle 1 \ over n}değil{\ displaystyle n}

Bunu gösterebiliriz , yani öyle diyebiliriz . ϵ=1/ω{\ displaystyle \ epsilon = 1 / \ omega}ϵ×ω=1{\ displaystyle \ epsilon \ times \ omega = 1}

Sonsuz büyüklükte olduğu gibi, nesneleri şu şekilde tanımlamak mümkündür:

ϵ={{ϵ,2ϵ,3ϵ,⋯}|{1,12,13,⋯}}{\ displaystyle {\ sqrt {\ epsilon}} = \ sol \ {\ sol \ {\ epsilon, 2 \ epsilon, 3 \ epsilon, \ cdots \ sağ \} | \ sol \ {1, {1 \ 2'den fazla} , {1 \ over 3}, \ cdots \ sağ \} \ sağ \}}

• Ama aynı zamanda, örneğin sonsuz büyüklükte, ancak ondan daha küçük olan daha beklenmedik nesneler .ω1/ω{\ displaystyle \ omega ^ {1 / \ omega}}ω{\ displaystyle {\ sqrt {\ omega}}}

Sözde gerçek sayılar

Sağdaki kümenin hiçbir öğesinin l 'sol kümedeki herhangi bir öğeden küçük veya ona eşit olmaması koşulunu kaldırırsak, gerçeküstü sayılar yerine sözde gerçek sayılar ( Knuth terminolojisinde sözde gerçek sayılar ) elde ederiz. Gerçeküstü sayılar, sözde gerçek sayıların bir alt sınıfıdır.

Bu sözde gerçek sayılar, belirli oyunların değerleri olarak yorumlanabilir . John Conway tarafından başlatılan kombinatoryal oyun teorisinin temelini oluştururlar .

Notlar ve referanslar

Notlar

1. Gerçekte, boş küme tanımının doğru bir şekilde uygulanması durumunda bu gerekli değildir;  bu konu hakkında daha fazla ayrıntı için " Transfinite yineleme " makalesine bakın  .

Referanslar

1. Knuth 1974 .

Ekler

Kaynakça

• (tr) Donald Ervin Knuth , Gerçeküstü Sayılar: İki Eski Öğrenci Nasıl Saf Matematiğe Döndü ve Toplam Mutluluğu Buldu: Bir Matematiksel Roman , Addison-Wesley Professional,1974, 119  p. ( ISBN  0-201-03812-9 ) ;
  • Daniel E. Loeb ve Hélène Loeb'in Fransızca çevirisi, Les Nombres Surréels veya iki eski öğrencinin saf matematiği keşfetmesi ve mutlu bir şekilde yaşaması. DE Knuth'un çevrimiçi okuduğu matematiksel bir romantizm
• (tr) John H. Conway , Sayılar ve Oyunlar Üzerine , Natick, AK Peters,2001, 2 nci  baskı. ( 1 st  ed. 1976), 242  , s. ( ISBN  1-56881-127-6 , OCLC  45024457 , LCCN  00046927 , çevrimiçi okuyun ).
• (tr) Lionel Elie Mamane, Coq'taki Gerçeküstü Sayılar , cilt.  3839, Springer, cilt.  "Bilgisayar Bilimlerinde Ders Notları",2004( ISBN  3-540-31428-8 ) , s.  170-185

İlgili Makaleler

• Numara
• Sıra numarası
• Hiper gerçek sayı
• İkili sayı

Dış bağlantılar

• Gerçeküstü Sayılar -Daniel E. Loeb ve Hélène Loeb tarafından Donald Knuth'un kitabının Fransızca çevirisi, 1997 [PDF]
• Jean-Paul Delahaye , "  Matematiksel gerçeküstücülük  ", Pour la Science , n o  372,Ekim 2008.