Cassini oval

Gelen matematik bir Cassini oval düzlemde noktaları kümesi, her bir nokta mesafelerin ürünü olmasıdır p ait oval iki sabit noktalara q, 1 ve q, 2 olduğu sabit, diğer bir deyişle bu nedenle ürün bunun

{\ mbox {dist}} (q_ {1}, p) {\ mbox {dist}} (q_ {2}, p) \, (= b ^ {2}) \,

sabittir. Noktaları q, 1 ve q, 2 olarak adlandırılan odakları oval.

Cassini ovalleri, Giovanni Domenico Cassini'nin adını almıştır .

B 2 ile önceki sabit çarpımı ve a bunu belirtirsek :

a = {\ frac {1} {2}} {\ mbox {dist}} (q_ {1}, q_ {2}).

Ovalin şekli b / a oranına bağlıdır .

Eğer b / a , 1 den büyük olduğu, lokus tek bir sürekli döngü.
Eğer b / a 1 'den daha azdır, lokus olmayan iki sekant döngüler oluşur.
Eğer b / a 1'e eşit olduğu, lokus a, Bernoulli lemniscate .

Denklemler

Ovallerin odakları ( a , 0) ve (- a , 0) ise, eğrinin denklemi şu şekilde verilir:

((xa) ^ {2} + y ^ {2}) ((x + a) ^ {2} + y ^ {2}) = b ^ {4}. \,

Veya kutupsal koordinatlarda

r ^ {4} -2a ^ {2} r ^ {2} \ cos 2 \ theta = b ^ {4} -a ^ {4}. \,

Özellikleri

Cassini ovalleri, merkezi (0, 0) olan ve (1, 0) noktasından geçen eşkenar hiperbollere ortogonal yörüngelerdir .

Aslında, bu tür hiperbollerin denklemleri

y ^ {2} -x ^ {2} + \ lambda xy + 1 = 0, \, \ lambda \ in \ mathbb {R}.

Diferansiyel denklemleri şu şekilde yazılmıştır:

(x ^ {2} + y ^ {2} +1) y \, dx- (x ^ {2} + y ^ {2} -1) x \, dy = 0.

Dik yörüngelerin denklemini veren:

(x ^ {2} + y ^ {2} +1) y \, dy + (x ^ {2} + y ^ {2} -1) x \, dx = 0 = d \ left ({\ frac 14 } (x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {2} - {\ frac {x ^ {2}} {2}} + {\ frac {y ^ {2}} {2}} \ sağ ).

Ortogonal yörüngeler bu nedenle denklemlidir

(x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {2} -2x ^ {2} + 2y ^ {2} = \ mu, \, \ mu \ in \ mathbb {R},

ve ovallerin Cassini denklemini buluyoruz.

Dış bağlantılar

(tr) Eric W. Weisstein , " Cassini Ovals " , MathWorld'de
Robert Ferréol, " Oval de Cassini " , Encyclopedia of olağanüstü matematiksel formlar üzerine