P0 matrisi

Gelen matematik bir P0-matris a, gerçek kare matris olan büyük minör olan pozitif . Bu matrisler, doğrusal tamamlayıcılık problemlerinin çalışılmasına müdahale eder . Bununla ilgili bir kavram, P-matrisleridir .

Tanım

Satır indeksleri ve sütun indeksleri ile elemanlarından oluşan alt matrisin altına dikkat edin .Mben,J{\ displaystyle M_ {I, J}}M{\ displaystyle M}ben{\ displaystyle I}J.{\ displaystyle J.}

P0-matrix  -  Aşağıdaki eşdeğer özelliklerden biri geçerliyse , gerçek bir kare matrisin bir P0-matrisi olduğunu söylüyoruz : M∈Rdeğil×değil{\ displaystyle M \ in \ mathbb {R} ^ {n \ times n}}

1. Tüm ana minör arasında pozitif: tüm boş olmayan ,M{\ displaystyle M}ben⊂{1,...,değil}{\ displaystyle I \ alt küme \ {1, \ ldots, n \}}detMben,ben⩾0{\ displaystyle \ det M_ {I, I} \ geqslant 0}
2. herhangi biri için sıfır olmayan vektör , biz bir dizin bulabilirsiniz öyle ki ve ,x∈Rdeğil{\ displaystyle x \ in \ mathbb {R} ^ {n}}ben{\ displaystyle i}xben≠0{\ displaystyle x_ {i} \ neq 0}xben(Mx)ben⩾0{\ displaystyle x_ {i} (Mx) _ {i} \ geqslant 0}
3. herhangi biri için boş olmayan, gerçek özdeğerler arasında , olumluben⊂{1,...,değil}{\ displaystyle I \ alt küme \ {1, \ ldots, n \}}Mben,ben{\ displaystyle M_ {I, I}}
4. herhangi bir pozitif kesin diyagonal matris için , tersine çevrilebilir bir.D{\ displaystyle D}M+D{\ displaystyle M + D}

Herhangi bir sıradaki P0-matris kümesini gösteririz . P0-matrisitesine , ait olunacak bir matrisin özelliği diyoruz . P0{\ displaystyle \ mathbf {P_ {0}}}P0{\ displaystyle \ mathbf {P_ {0}}}

Bu matrislerin adı Fiedler ve Pták (1966) tarafından önerilmiş ve aynı zamanda 1 ve 2 tanımları arasındaki denkliği de göstermiştir. P0-matrisinin 4. ifadesi Chen ve Harker'den (1993) kaynaklanmaktadır.

Hemen mülkler

Tanım 1'den şunu anlıyoruz:

• M∈P0{\ displaystyle M \ in \ mathbf {P_ {0}}}ancak ve ancak ,M⊤∈P0{\ displaystyle M ^ {\ top \!} \ \ mathbf {P_ {0}}} içinde
• Eğer simetriktir, o zaman , ancak ve ancak bir yarı-pozitif tanımlı ,M{\ displaystyle M}M∈P0{\ displaystyle M \ in \ mathbf {P_ {0}}}M{\ displaystyle M}
• P0∩Rdeğil×değil{\ displaystyle \ mathbf {P_ {0}} \ cap \ mathbb {R} ^ {n \ times n}}Bir kapalı olan ,Rdeğil×değil{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n \ kere n}}
• Eğer bir pozitif yarı tanımlı sonra,M+M⊤{\ displaystyle M + M ^ {\! \ top \!}}M∈P0.{\ displaystyle M \ in \ mathbf {P_ {0}}.}

Karmaşıklık

Verilen bir matrisin P0-matris olup olmadığının kontrol edilmesi ortak-NP-tam bir problemdir . Qdeğil×değil{\ displaystyle \ mathbb {Q} ^ {n \ kere n}}

Ekler

Not

1. (inç) Bay Fiedler, Pták V. (1966). Pozitif kesinlik ve monotonluğun bazı genellemeleri. Numerische Mathematik , 9, 163–172. doi
2. (en) B. Chen, PT Harker (1993). Doğrusal tamamlayıcılık problemleri için dahili olmayan bir devamlılık yöntemi. SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications , 14, 1168–1190. doi
3. (inç) P. Tseng (2000). Bazı matris sınıflandırma problemlerinin Co-NP-tamlığı. Matematiksel Programlama , 88, 183–192.

İlgili Makaleler

• Doğrusal tamamlayıcılık
• P-matrisi

Genel işler

• (tr) RW Cottle, J.-S. Pang, RE Stone (2009). Doğrusal tamamlayıcılık problemi . Uygulamalı Matematikte Klasikler 60. SIAM, Philadelphia, PA, ABD.
• (en) RA Horn, Ch.R. Jonhson (1991). Matris Analizinde Konular . Cambridge University Press, New York, NY, ABD.

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">