Kurulabilir parça

Gelen cebirsel geometri , kavramı constructible parçası genelleştirmektedir açmak , kapalı ve hatta yerel parçaları kapalı . Yapılandırılabilir setler Claude Chevalley tarafından tanıtıldı ve kullanımda daha esnek olma avantajına sahip. Örneğin, sonlu bir sunum morfizmi ile inşa edilebilir bir imaj oluşturulabilir, bu nedenle bu, açık veya kapalı parçalar için doğru değildir. Ancak her şeyden önce, oldukça genel varsayımlar altında, eğer diyagramların bir morfizmi ise , belirli türdeki özellikleri karşılayan X veya Y noktalarının kümesi, yapılandırılabilir bir kümedir (genel olarak ne açık ne de kapalı olmadan). $\ scriptstyle f: X \ - Y$

Tanım

Let X'in olmak bir topolojik uzay. Grubu X inşa edilebilir parça parçalarının küçük dizi X açık retrocompacts ihtiva eden (yani, kimin kavşak ile herhangi bir yarı-yoğun açık bölgesinin X yarı kompakt), kesişim sonlu ile ve tamamlayıcı geçerek sabit.

Karakterizasyon

X'in kapalı kısımlarının azalan herhangi bir dizisi durağan ise , X topolojik uzayı Noetherian olarak söylenir . Noetherian şemasının altında yatan topolojik uzay Noetherian'dır. Noetherian uzayda, X'in herhangi bir parçası retrocompact'tur. Bu nedenle, herhangi bir yerel olarak kapalı parça inşa edilebilir.

Aşağıda, kendimizi Noetherian alanlarla sınırlıyoruz.

Önerme - Noetherian bir uzayda, bir parça ancak ve ancak yerel olarak kapalı parçaların sonlu bir birleşimi ise inşa edilebilir .

Aslında, yerel olarak kapalı parçalar kümesi, sonlu kesişimle kararlıdır ve yerel olarak kapalı bir parçanın tamamlayıcısı, bir açık ve bir kapalı (ayrık) birleşimi olarak yazılır. Böylece sonlu birleşmeleri, sonlu kesişimle ve tamamlayıcıya geçerek kararlı bir küme oluşturur. Ve tabii ki mümkün olan en küçüğü.

Özellikleri

Herhangi bir inşa edilebilir kümenin, yerel olarak kapalı parçaların sonlu ayrık bir birleşimi olduğunu görmek kolaydır (aslında, yerel olarak kapalı iki parçanın yeniden birleşmesi aynı zamanda yerel olarak kapalı bir birleşmenin ve yerel olarak kapalı bir kümenin bir yerel olarak kapalı veya yerel olarak kapalı olanın tamamlayıcısı, açık ve kapalı olanın ayrık birleşimidir).
Eğer E inşa ediyor, o zaman bir açık Dense'i içeren U onun yapışkan e . O halde E , U'nun ayrık birleşimidir ( X'de yerel olarak kapalı ) ve E'de yerel olarak kapalı boş iç kısımdır . E ' ile yeniden başlayabiliriz . Noeteryenlikle, süreç sınırlı sayıda adımdan sonra durur, bu nedenle E , daha küçük ve daha küçük yerel olarak kapalı parçaların sonlu ayrık birleşimidir . ${\ displaystyle E ': = E \ cap ({\ overline {E}} \ setminus U)}$
Bir kapalı ya da açık kısmının altında bir yapı grubu , X in inşa edilebilir olan X .
Constructible olmak bir olduğunu yerel emlak : Bir Notherian topolojik uzayda, bir kısmı E her noktasının yalnızca ve eğer constructible olduğunu E yılında bir açık komşuluğa sahip X hangi e constructible olduğunu.
Yapılandırılabilir kümeler, sürekli bir haritanın karşılıklı görüntüsü ile kararlıdır (Noetherian topolojik uzayları arasında).
Bir bina partisi E'yi karşılayan bir teklinin yapışması { x } ise , o zaman x , E'ye aittir .

Misal

Afin düzlemde bir vücuda , satır tamamlayıcısına menşe (0, 0) birliği y = 0, bir inşa edilebilir bir parçasıdır. Yerel olarak kapalı değildir, ancak kapalı (başlangıç) ile açık (düzlem eksi çizgi) birleşimidir. Noktalar üzerinde tarafından tanımlanan diyagramların morfizminin görüntüsüdür . Bu örnek, bir morfizm ile bir cebirsel manifold görüntüsünün genel olarak ne kapalı ne de açık olduğunu göstermektedir. ${\ displaystyle {\ mathbb {A}} _ {k} ^ {2}}$ $k$ ${\ displaystyle {\ mathbb {A}} _ {k} ^ {2} \ - {\ mathbb {A}} _ {k} ^ {2}}$ ${\ displaystyle (x, y) \ mapsto (xy, y)}$

Referanslar

EGA I'in ikinci baskısında , böyle bir setin küresel olarak inşa edilebilir olduğu söyleniyor .

A. Grothendieck ve J. Dieudonné , Cebirsel geometrinin Elemanları , böl. 0, §9 ve böl. IV, § 1.8.