Pfaffien
In matematik , Pfaffian veya Pfaffian belirleyici Alman matematikçi adını alır, Johann Pfaff , bir olan skaler çalışma katılır antisymmetric matrisleri . Matrisin katsayıları kullanılarak polinom şeklinde ifade edilir. Matris tek boyutluysa bu polinom sıfırdır; sadece boyutu 2 antisymmetric matrisler halinde ilgi konusu olan , n x 2 , n , onun derecesi daha sonra, n . A matrisinin pfaffian'ı gösterilir .
Pf(AT){\ displaystyle \ matematik {Pf} \ sol (A \ sağ)}
Pfaffian ilgilidir belirleyici . Gerçekten de, böyle bir matrisin determinantı her zaman tam kare ve aslında pfaffian'ın karesi olarak ifade edilebilir. Açıkça, 2 n × 2 n boyutunda bir antisimetrik matris için ,
AT{\ görüntü stili A}
Pf(AT)2=detay(AT){\ displaystyle {\ metin {Pf}} (A) ^ {2} = {\ metin {det}} (A)}
Tarih
"Pfaffian" terimi , onu 1852'de kullanan Arthur Cayley tarafından tanıtıldı : "Bu sınıfın permutantları (Pfaff'ın diferansiyel denklemler üzerine araştırmalarıyla olan bağlantılarından dolayı) onlara pfaffian diyeceğim " . Bahsettiği Alman matematikçi Johann Friedrich Pfaff'tır .
1882'de Thomas Muir , pfaffian ile bir antisimetrik matrisin determinantı arasındaki bağlantıyı kanıtladı. Bu sonucu determinantlar üzerine yaptığı incelemede yayınlar.
Resmi tanımlama
Let bir = { bir ij } 2 olması , n x 2 , n antisymmetric matris . A'nın pfaffian'ı şu şekilde tanımlanır:
Pf(AT)=12değildeğil!∑σ∈S2değilsgdeğil(σ)∏ben=1değildeσ(2ben-1),σ(2ben){\ displaystyle \ matrm {Pf} (A) = {\ frac {1} {2 ^ {n} n!}} \ sum _ {\ sigma \ in S_ {2n}} \ matrm {sgn} (\ sigma) \ prod _ {i = 1} ^ {n} bir _ {\ sigma (2i-1), \ sigma (2i)}}burada S 2 , n ise simetrik grup ve SGN (σ) olan imza σ arasında.
sadeleştirme
Bu tanım, olası tüm permütasyonların eklenmesini önleyen matrisin antisimetrisi kullanılarak basitleştirilebilir .
{1, 2,…, 2 n }'nin çiftler halinde sırasına bakılmaksızın tüm bölümlerinin kümesi Π olsun. Vardır (2 , n - 1) !! . α ∈ Π elemanı şu şekilde yazılabilir:
α={(ben1,j1),(ben2,j2),⋯,(bendeğil,jdeğil)}{\ displaystyle \ alpha = \ {(i_ {1}, j_ {1}), (i_ {2}, j_ {2}), \ cdots, (i_ {n}, j_ {n}) \}}ile ve . Dır-dir
benk<jk{\ displaystyle i_ {k} <j_ {k}}ben1<ben2<⋯<bendeğil{\ displaystyle i_ {1} <i_ {2} <\ cdots <i_ {n}}
πα=[1234⋯2değilben1j1ben2j2⋯jdeğil]{\ displaystyle \ pi _ {\ alpha} = {\ {bmatrix} başla 1 & 2 & 3 & 4 & \ cdots & 2n \\ i_ {1} & j_ {1} & i_ {2} & j_ {2} & \ cdots & j_ {n} \ bitiş {bmatrix }}}karşılık gelen permütasyon. π sadece α'ya bağlıdır. Bir α bölümü verildiğinde şunları tanımlayabiliriz:
ATα=sgn(πα)deben1,j1deben2,j2⋯debendeğil,jdeğil.{\ displaystyle A _ {\ alpha} = \ operatöradı {sgn} (\ pi _ {\ alpha}) a_ {i_ {1}, j_ {1}} a_ {i_ {2}, j_ {2}} \ cdots a_ {i_ {n}, j_ {n}}.}O halde A'nın pfaffian'ı :
Pf(AT)=∑α∈ΠATα.{\ displaystyle \ operatör adı {Pf} (A) = \ toplam _ {\ alpha \ in \ Pi} A _ {\ alpha}.}Bir antisymmetric matris Pfaffian n x n için tek n sıfır tanımlanır.
alternatif tanım
Herhangi bir antisimetrik matris 2 n × 2 n A = { a ij } ile bir çift vektörü ilişkilendirebiliriz :
ω=∑ben<jdebenjeben∧ej.{\ displaystyle \ omega = \ toplam _ {i <j} a_ {ij} \; e ^ {i} \ kama e ^ {j}.}burada { e 1 , e 2 ,…, e 2 n }, R 2n'nin kurallı temelidir . Pfaffien daha sonra ilişki ile tanımlanır:
1değil!ωdeğil=Pf(AT)e1∧e2∧⋯∧e2değil,{\ displaystyle {\ frac {1} {n!}} \ omega ^ {n} = {\ mbox {Pf}} (A) \; e ^ {1} \ wedge e ^ {2} \ wedge \ cdots \ kama e ^ {2n},}Burada ω n , ω'nin kendisiyle olan n kopyasının dış ürününü ifade eder . Pfaffian dolayısıyla w arasında Eşdoğrusallık katsayısı olarak görünür , n ve hacim şeklinde bir R, 2n .
Örnekler
Pf(0de-de0)=de.{\ displaystyle {\ mbox {Pf}} {\ start {pmatrix} 0 & a \\ - a & 0 \ end {pmatrix}} = a.}Pf(0debvs-de0de-b-d0f-vs-e-f0)=def-be+dvs.{\ displaystyle {\ mbox {Pf}} {\ start {pmatrix} 0 & a & b & c \\ - a & 0 & d & e \\ - b & -d & 0 & f \\ - c & - e & -f & 0 \ end {pmatrix}} = af-be + dc.}
Pf(0de100-de10b100-b10de200-de2⋱⋱⋱⋱bdeğil-1-bdeğil-10dedeğil-dedeğil0)=de1de2⋯dedeğil.{\ displaystyle {\ mbox {Pf}} {\ başlangıç {pmatrix} 0 & a_ {1} & 0 & 0 \\ - a_ {1} & 0 & b_ {1} & 0 \\ 0 & -b_ {1 } & 0 & a_ {2} \\ 0 & 0 & -a_ {2} & \ ddots & \ ddots \\ &&& \ ddots & \ ddots & b_ {n-1} \\ &&&& - b_ {n-1} & 0 & a_ {n} \\ &&&&& - a_ {n} & 0 \ end {pmatrix }} = a_ {1} a_ {2} \ cdots a_ {n}.}
dikkat çekici kimlikler
Genel Kimlikler
2 n × 2 n antisimetrik A matrisi ve B ile gösterilen keyfi 2 n × 2 n matris için ,
-
Pf(AT)2=detay(AT){\ displaystyle {\ mbox {Pf}} (A) ^ {2} = \ det (A)}( Muir'in lemması )
- Pf(BATBT)=detay(B)Pf(AT){\ displaystyle {\ mbox {Pf}} (BAB ^ {T}) = \ det (B) {\ mbox {Pf}} (A)}
- Pf(λAT)=λdeğilPf(AT){\ displaystyle {\ mbox {Pf}} (\ lambda A) = \ lambda ^ {n} {\ mbox {Pf}} (A)}
- Pf(ATT)=(-1)değilPf(AT){\ displaystyle {\ mbox {Pf}} (A ^ {T}) = (- 1) ^ {n} {\ mbox {Pf}} (A)}
Blok başına çapraz matrisler
Köşegen antisimetrik matrisin form blokları tarafından pfaffian'ı
AT1⊕AT2=(AT100AT2){\ displaystyle A_ {1} \ oplus A_ {2} = {\ {pmatrix} başla A_ {1} & 0 \\ 0 & A_ {2} \ bitiş {pmatrix}}}blokların pfaffianlarının ürünüdür
Pf(AT1⊕AT2)=Pf(AT1)Pf(AT2){\ displaystyle {\ text {Pf}} (A_ {1} \ oplus A_ {2}) = {\ text {Pf}} (A_ {1}) \, {\ text {Pf}} (A_ {2} )}.
Bu, tekrarlama yoluyla ikiden fazla bloğa genellenir.
Herhangi bir kare matris
Pf(0M-MT0)=(-1)değil(değil-1)/2detayM{\ displaystyle {\ mbox {Pf}} {\ start {pmatrix} 0 & M \\ - M ^ {T} & 0 \ end {pmatrix}} = (- 1) ^ {n (n-1) / 2 } \ tanım M}.
Uygulamalar
Referanslar
(
Fr ) Bu makale kısmen veya tamamen Wikipedia makalesinden alınmıştır
İngilizce başlıklı
" Pfaffian " ( yazarların listesini görmek ) .
-
(içinde) Thomas Muir, Belirleyiciler Teorisi Üzerine Bir İnceleme, 1930'da yeniden basıldı ve genişletildi.
-
(in) Nicol Schraudolph ve Dmitry Kamenetsky , "Düzlemsel Ising modellerinde etkin kesin çıkarım" , Advances in Nöral Bilgi İşleme Sistemleri Konferansı , cilt. 21 , MİT Basını ,2009( çevrimiçi okuyun ).
Şuna da bakın:
İlgili Makaleler
Dış bağlantılar
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">