Brocard Puanları

İn geometrisi , ilk Brocard noktası bir üçgen ABC nokta P açıları olacak şekilde ve pozitif yönlendirilmiş eşittir. ${\ displaystyle {\ widehat {PAB}},}$ ${\ displaystyle {\ widehat {PBC}}}$ ${\ displaystyle {\ widehat {PCA}}}$

İkinci Brocard noktası üçgen nokta P ' açıları olacak şekilde ve pozitif yönlendirilmiş eşittir. ${\ displaystyle {\ widehat {P'BA}},}$ ${\ displaystyle {\ widehat {P'CB}}}$ ${\ displaystyle {\ widehat {P'AC}}}$

Bu iki noktanın varlığı, Cava teoreminin trigonometrik versiyonunun bir sonucudur .

Tüm açılar ve aşağıdaki formülden hesaplanabilen , üçgenin Brocard açısına eşittir : ${\ displaystyle {\ widehat {PAB}},}$ ${\ displaystyle {\ widehat {PBC}},}$ ${\ displaystyle {\ widehat {PCA}},}$ ${\ displaystyle {\ widehat {P'BA}},}$ ${\ displaystyle {\ widehat {P'CB}}}$ ${\ displaystyle {\ widehat {P'AC}}}$ $\omega$

{\ displaystyle \ tan \ omega = {\ frac {4S} {a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}}}}

burada G ise, üçgenin alanı işaret eder bir , b ve c üçgenin kenarlarının uzunlukları vardır.

Brocard Sağ

Üçgenin bir tepe noktasını Brocard noktalarından birine birleştiren çizgilerden herhangi birine bir Brocard hattı diyoruz .

Brocard noktalarının bariyantrik koordinatları

Barisentrik koordinatları Brocard birinci alanına sahiptir: ; İkinci nokta Brocard şunlardır: . ${\ displaystyle \ sol ({\ frac {ac} {b}}: {\ frac {ba} {c}}: {\ frac {cb} {a}} \ sağ)}$
${\ displaystyle \ sol ({\ frac {ab} {c}}: {\ frac {bc} {a}}: {\ frac {ca} {b}} \ sağ)}$

Olağanüstü özellikler

İki Brocard noktası, birbirine eşlenik eşleniktir .
Medyan üçgenin tepe noktasından, symedian ikinci tepe noktasından ve üçüncü bir tepe noktasından Brocard hatlarından biri eşzamanlı vardır.

Üçüncü Brocard noktası

Birinci ve ikinci noktalar arasında barisentrik koordinatları barisentrik koordinatlar Brocard, üçüncü bir nokta oluşturmak için davet BROCARD: . ${\ displaystyle \ sol ({\ frac {bc} {a}}: {\ frac {ca} {b}}: {\ frac {ab} {c}} \ sağ)}$

Bu nokta, Kimberling adlandırmasında X 76 olarak numaralandırılmıştır . Kiepert hiperbolu üzerinde bulunur .

Notlar ve referanslar

(in) Eric W. Weisstein , " Üçüncü Brocard noktası " üzerinde MathWorld
ETC Ansiklopedisi X76

Ayrıca görün

İlgili Makaleler

Dış bağlantılar

GeoGebra animasyonu