Bernoulli polinomu
In matematik , Bernoulli polinomları birçok çalışmada görünür özel fonksiyonlar ve özellikle Riemann zeta fonksiyonu ; Komşu bir jeneratör işlevine karşılık gelen benzer polinomlar, Euler polinomları olarak bilinir .
Tanım
Bernoulli polinomları, aşağıdakiler gibi benzersiz polinom dizisidir :
(Bdeğil)değil∈DEĞİL{\ displaystyle \ sol (B_ {n} \ sağ) _ {n \ in \ mathbb {N}}}
- B0=1{\ displaystyle B_ {0} = 1}
- ∀değil∈DEĞİL,Bdeğil+1′=(değil+1)Bdeğil{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N}, B '_ {n + 1} = (n + 1) B_ {n}}
- ∀değil∈DEĞİL∗,∫01Bdeğil(x)dx=0{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} ^ {*}, \ int _ {0} ^ {1} B_ {n} (x) dx = 0}
İşlevler oluşturma
Jeneratör işlevi Bernoulli polinomların içindir
textet-1=∑değil=0∞Bdeğil(x)tdeğildeğil!{\ displaystyle {\ frac {te ^ {xt}} {e ^ {t} -1}} = \ toplam _ {n = 0} ^ {\ infty} B_ {n} (x) {\ frac {t ^ {n}} {n!}}}.
Euler polinomları için üreteç işlevi şudur:
2extet+1=∑değil=0∞Edeğil(x)tdeğildeğil!{\ displaystyle {\ frac {2e ^ {xt}} {e ^ {t} +1}} = \ toplam _ {n = 0} ^ {\ infty} E_ {n} (x) {\ frac {t ^ {n}} {n!}}}.
Euler ve Bernoulli sayıları
Bernoulli sayıları tarafından verilmektedir .
Bdeğil=Bdeğil(0){\ displaystyle B_ {n} = B_ {n} (0)}
Euler sayıları tarafından verilmektedir .
Edeğil=2değilEdeğil(1/2){\ displaystyle E_ {n} = 2 ^ {n} E_ {n} (1/2)}
Küçük siparişler için açık ifadeler
Bernoulli polinomlarının özellikleri
Farklılıklar
Bernoulli ve Euler polinomları , örneğin, Édouard Lucas tarafından kullanılan ombral kalkülüs ilişkilerinin çoğuna uyar .
Bdeğil(x+1)-Bdeğil(x)=değilxdeğil-1{\ displaystyle B_ {n} (x + 1) -B_ {n} (x) = nx ^ {n-1} \,}
Edeğil(x+1)+Edeğil(x)=2xdeğil{\ displaystyle E_ {n} (x + 1) + E_ {n} (x) = 2x ^ {n} \,}
Türevler
Bdeğil′(x)=değilBdeğil-1(x){\ displaystyle B_ {n} '(x) = nB_ {n-1} (x) \,}
Edeğil′(x)=değilEdeğil-1(x){\ displaystyle E_ {n} '(x) = nE_ {n-1} (x) \,}
Çeviriler
Bdeğil(x+y)=∑k=0değil(değilk)Bk(x)ydeğil-k{\ displaystyle B_ {n} (x + y) = \ toplam _ {k = 0} ^ {n} {n \ k} B_ {k} (x) y ^ {nk}} seçin
Edeğil(x+y)=∑k=0değil(değilk)Ek(x)ydeğil-k{\ displaystyle E_ {n} (x + y) = \ toplam _ {k = 0} ^ {n} {n \ k} E_ {k} (x) y ^ {nk}} seçin
Simetriler
Bdeğil(1-x)=(-1)değilBdeğil(x){\ displaystyle B_ {n} (1-x) = (- 1) ^ {n} B_ {n} (x)}
Edeğil(1-x)=(-1)değilEdeğil(x){\ displaystyle E_ {n} (1-x) = (- 1) ^ {n} E_ {n} (x)}
(-1)değilBdeğil(-x)=Bdeğil(x)+değilxdeğil-1{\ displaystyle (-1) ^ {n} B_ {n} (- x) = B_ {n} (x) + nx ^ {n-1}}
(-1)değilEdeğil(-x)=-Edeğil(x)+2xdeğil{\ displaystyle (-1) ^ {n} E_ {n} (- x) = - E_ {n} (x) + 2x ^ {n}}
Diğer özellikler
∀değil∈DEĞİL,Bdeğil(x)=2değil-1(Bdeğil(x2)+Bdeğil(x+12)){\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N}, B_ {n} (x) = 2 ^ {n-1} \ sol (B_ {n} \ sol ({\ frac {x} {2}} \ sağ) + B_ {n} \ sol ({\ frac {x + 1} {2}} \ sağ) \ sağ)}
∀p∈DEĞİL,∀değil∈DEĞİL,∑k=0değilkp=Bp+1(değil+1)-Bp+1(0)p+1{\ displaystyle \ forall p \ in \ mathbb {N}, \ forall n \ in \ mathbb {N}, \ sum _ {k = 0} ^ {n} k ^ {p} = {\ frac {B_ {p +1} (n + 1) -B_ {p + 1} (0)} {p + 1}}}
Faulhaber'in formülünden çıkarılan bu son eşitlik, eşitlikten gelir: veya daha basitçe, teleskopik toplamdan gelir.∫xx+1Bdeğil(t)dt=xdeğil{\ displaystyle \ int _ {x} ^ {x + 1} B_ {n} (t) \, \ mathrm {d} t = x ^ {n}}
∑k=0değil(Bm(k+1)-Bm(k))=Bm(değil+1)-Bm(0){\ displaystyle \ toplamı _ {k = 0} ^ {n} \ sol (B_ {m} (k + 1) -B_ {m} (k) \ sağ) = B_ {m} (n + 1) -B_ {m} (0)}
.
Özel değerler
Sayılar olan Bernoulli sayıları .
Bdeğil=Bdeğil(0){\ displaystyle B_ {n} = B_ {n} (0)}
∀değil>1,Bdeğil(0)=Bdeğil(1){\ displaystyle \ forall n> 1, \ dörtlü B_ {n} (0) = B_ {n} (1)}1 dışındaki tek sıra Bernoulli sayıları sıfırdır:
∀p∈DEĞİL∗B2p+1(0)=B2p+1(1)=0{\ displaystyle \ forall p \ in \ mathbb {N} ^ {*} \ quad B_ {2p + 1} (0) = B_ {2p + 1} (1) = 0}
∀p∈DEĞİLB2p+1(12)=0{\ displaystyle \ forall p \ in \ mathbb {N} \ quad B_ {2p + 1} \ sol ({\ frac {1} {2}} \ sağ) = 0}
∀p∈DEĞİLB2p(12)=(122p-1-1)B2p{\ displaystyle \ forall p \ in \ mathbb {N} \ quad B_ {2p} \ sol ({\ frac {1} {2}} \ sağ) = \ sol ({\ frac {1} {2 ^ {2p -1}}} - 1 \ sağ) B_ {2p}}
Fourier serisi
Fourier serileri Bernoulli polinomların de olduğu Dirichlet serisi genişleme tarafından verilen,:
Bdeğil(x)=-değil!(2πben)değil∑k∈Zk≠0e2πbenkxkdeğil=-değil!∑k=1∞e2πbenkx+(-1)değile-2πbenkx(2πbenk)değil=-2değil!∑k=1∞çünkü(2kπx-değilπ2)(2kπ)değil{\ displaystyle B_ {n} (x) = - {\ frac {n!} {(2 \ pi \ mathrm {i}) ^ {n}}} \ toplamı _ {k \ in \ mathbb {Z} \ atop k \ neq 0} {\ frac {\ mathrm {e} ^ {2 \ pi \ mathrm {i} kx}} {k ^ {n}}} = - n! \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ mathrm {e} ^ {2 \ pi \ mathrm {i} kx} + (- 1) ^ {n} \ mathrm {e} ^ {- 2 \ pi \ mathrm {i} kx} } {(2 \ pi \ mathrm {i} k) ^ {n}}} = - 2 \, n! \ Sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ cos \ left (2k \ pi x - {\ frac {n \ pi} {2}} \ sağ)} {(2k \ pi) ^ {n}}}},
sadece 0 ≤ x ≤ 1 için n ≥ 2 olduğunda ve 0 < x <1 için n = 1 için geçerlidir.
Bu, Hurwitz formülünün özel bir durumudur .
Notlar ve referanslar
(fr) Bu makale kısmen veya tamamen alınır
İngilizce Vikipedi başlıklı makalesinde
" Bernoulli polinomları " ( yazarların listesini görmek ) .
-
(in) Tsuneo Arakawa, Tomoyoshi Ibukiyama ve Masanobu Kaneko, Bernoulli Sayıları ve Zeta Fonksiyonları , Springer ,2014( çevrimiçi okuyun ) , s. 61.
Ayrıca görün
Kaynakça
İlgili Makaleler
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">