Dirichlet serisi
Gelen matematik bir Dirichlet serisi a, dizi f ( s ) fonksiyonları grubu ℂ üzerinde tanımlanmış karmaşık sayılar a, ve ilişkili seri ( bir n ) aşağıdaki iki yoldan biri ile karmaşık sayılar:
f(s)=∑değil=1+∞-dedeğildeğilsveyaf(s)=∑değil=1+∞-dedeğile-sλdeğil{\ displaystyle f (s) = \ toplam _ {n = 1} ^ {+ \ infty} {\ frac {a_ {n}} {n ^ {s}}} \ quad {\ text {veya}} \ quad f (s) = \ toplam _ {n = 1} ^ {+ \ infty} a_ {n} \ mathrm {e} ^ {- s \ lambda _ {n}}}.
Burada, ( λ n ) dizisi gerçektir, pozitiftir, kesinlikle artan ve sınırsızdır. Bir Dirichlet serisinin mutlak yakınsama alanı , ya tüm noktaların aynı apsislere sahip olduğu bir çizgi ile sınırlanan açık bir yarı düzlemdir ya da boş küme ya da ℂ tamamen. Basit yakınsama alanı aynı niteliktedir. Basit yakınsama alanında, seri tarafından tanımlanan fonksiyon holomorfiktir . Gerçek bir parçası halinde s eğilimi için + ∞ varsa, toplama fonksiyonu, eğilimi 0 .
Dirichlet serisi kullanılan analitik sayılar teorisi . Dirichlet , 1837'de aritmetik ilerleme teoremini göstermek için bunlardan bazılarını , Dirichlet'in L serisini analiz eder . Riemann hipotez olarak ifade sıfır arasında analitik devamında bir Dirichlet serisinin bir toplam fonksiyonu.
Tanımlar ve örnekler
Tanımlar
Dirichlet serisinin iki farklı tanımı vardır:
- Bir Dirichlet serisi, ( a n ) ' nin bir dizi karmaşık sayıyı gösterdiği aşağıdaki biçimde bir seridir:
f(s)=∑değil=1+∞-dedeğildeğils{\ displaystyle f (s) = \ toplam _ {n = 1} ^ {+ \ infty} {\ frac {a_ {n}} {n ^ {s}}}}.
Bu makale daha genel bir tanım kullanır:
- Bir Dirichlet serisi, ( a n ) bir karmaşık sayılar dizisini ve ( λ n ) gerçek, pozitif, kesin olarak artan ve sınırsız bir diziyi ifade eden aşağıdaki biçimde bir dizidir:
f(s)=∑değil=1+∞-dedeğile-sλdeğil{\ displaystyle f (s) = \ toplam _ {n = 1} ^ {+ \ infty} a_ {n} \ mathrm {e} ^ {- s \ lambda _ {n}}}.
İlk tanım, λ n = ln ( n ) özel durumuna karşılık gelir .
- Klasik olarak böyle bir diziyle iki işlevi ilişkilendiririz
AT(sen)=∑1≤değil≤sen-dedeğil,ATλ(x)=∑λdeğil≤x-dedeğil{\ displaystyle A (u) = \ toplam _ {1 \ leq n \ leq u} a_ {n}, \ dört A _ {\ lambda} (x) = \ toplamı _ {\ lambda _ {n} \ leq x } yıl}}.
Örnekler
- “Klasik” dirichlet seriler arasında, ilk tanım olanlardır Dirichlet L serisi , sıra durumlarda karşılık gelir ( bir n ) olan tamamen çarpımsal ve periyodik . Böyle bir dizinin ( Dirichlet karakteri olarak adlandırılır ) en basit örneği , Riemann serisine karşılık gelen a n = 1 sabit dizisidir.
ζ(s)=∑değil=1∞1değils{\ displaystyle \ zeta (s) = \ toplam _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {s}}}}.
- Genel Dirichlet serisi teorisi, (ln ( n )) dizisinden başka λ n üs dizilerine izin vererek, diğer klasik teorileri dahil etmeye izin verir:
- Λ n değerleri doğrularsa: λ n = n ve z = e - s'yi gösterirsek , seri şu şekli alır:
f(z)=∑değil=1∞-dedeğilzdeğil{\ displaystyle f (z) = \ toplam _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} z ^ {n}}.Katkı sabiti dışında tüm serinin tanımını buluyoruz .
- Λ n = 2π n olduğu durumda , s = –i t değişkeninin değişimi, bir Fourier serisinin aynı zamanda bir Dirichlet serisinin özel bir durumu olduğunu gösterir .
Yakınsama apsis
Basit yakınsama ve mutlak yakınsama
Seri pozitif katsayılara (veya aynı işarete sahip) sahip olmadığında, mutlak yakınsamayı basit yakınsamadan ayırmak gerekir .
Örnek : Dirichlet arasında Dirichlet serisi eta fonksiyonu olan . Sadece > 0 gerçek sayılar için (ve s <0 ise uzaklaşır ) yakınsar (bu bir alternatif seridir ) ve > 1 gerçek sayılar için (ve sadece bunlar için) mutlak yakınsar . Dahası, eta fonksiyonu holomorf olarak tüm karmaşık düzleme genişler, ancak s ≤ 0 ise seri yakınsamaz .
η(s)=∑değil=1∞(-1)değil-1değils{\ displaystyle \ eta (s) = \ toplam _ {n = 1} ^ {\ infty} {(- 1) ^ {n-1} \ n ^ {s}}} üzerinde
Biz söylemek 0 olan basit yakınlaşma apsis yani 1 olan mutlak yakınlaşma apsis Dirichlet serileri ve bu -∞ olduğunu holomorfi apsis .
Basit yakınsama apsis
C f , f ( a + b i ) serisi en az bir gerçek b için yakınsayan a gerçek sayılar kümesi olsun . Bu set şu tanımlara izin verir:
Basit bir yakınsama apsis olarak da adlandırılan, yakınsama apsis, bir alt sınır σ c seti Cı f . Başka bir deyişle: C f indirgenmemişse σ c = –∞ , C f boşsa σ c = + ∞ ve diğer tüm durumlarda σ c , yarının her noktasında en büyük σ'dur . -düzlem Re ( s ) <σ , seri ıraksar.
Bu yakınsama apsis bir teklifin konusudur:
-
Re ( s )> σ c yarı düzleminde , f serisi yakınsaktır.
-
Bu yarı düzlemin herhangi bir noktası s 0 için, yakınsama formun herhangi bir sektöründe tekdüzedir | arg ( s - s 0 ) | ≤ θ , burada 0 ≤ θ <π / 2 .
Yakınsamanın, yarım düzlemin herhangi bir kompakt alt kümesi üzerinde tekdüze olduğu sonucuna vardık, dolayısıyla sonuç:
-
Dirichlet serisi, yarım yakınsama düzleminde holomorfiktir ve .f′(s)=∑değil=1+∞-λdeğil-dedeğile-sλdeğil{\ displaystyle f '(s) = \ toplam _ {n = 1} ^ {+ \ infty} - \ lambda _ {n} a_ {n} \ mathrm {e} ^ {- s \ lambda _ {n}} }
Dizisi halinde ( A ( n )) olup sınırlanan , daha sonra yakınsama apsis negatif ya da sıfırdır. Daha genel olarak :
-
Let L, aşağıdaki üst sınır :L=lim supdeğil→∞ln|AT(değil)|λdeğil.{\ displaystyle L = \ limsup _ {n \ rightarrow \ infty} {\ frac {\ ln | A (n) |} {\ lambda _ {n}}}.}
Eğer L > 0 sonra σ c = L ; Eğer L ≤ 0 sonra σ c ≤ 0 .
Bu özelliği kanıtlayarak, aşağıdaki integral ifadeyi geçerek elde ederiz:
-
Herhangi bir karmaşık sayı için s kesin daha büyük olan bir gerçek kısmı (σ maks C , 0) ,
(∗)f(s)=s∫0∞ATλ(x)e-sxdx{\ displaystyle (*) \ quad f (s) = s \ int _ {0} ^ {\ infty} A _ {\ lambda} (x) \ mathrm {e} ^ {- sx} \ mathrm {d} x }.
Klasik Dirichlet serisi durumunda (yani λ n = ln ( n ) ), bu formül, değişkenin değişmesiyle olur:
f(s)=s∫1∞AT(sen)sen1+sdsen{\ displaystyle f (s) = s \ int _ {1} ^ {\ infty} {\ frac {A (u)} {u ^ {1 + s}}} \ mathrm {d} u}.
Gösteriler
Bu gösterilerin ana aracı, Abel'in toplama formülünün küçük bir varyantıdır (Abel'in dönüşümü ile elde edilmiştir ):
(1)∑değil=1q-dedeğile-sλdeğil=AT(q)e-sλq-∫0λqATλ(x)ddx(e-sx)dx=AT(q)e-sλq+s∫0λqATλ(x)e-sxdx{\ displaystyle (1) \ quad \ sum _ {n = 1} ^ {q} a_ {n} \ mathrm {e} ^ {- s \ lambda _ {n}} = A (q) \ mathrm {e} ^ {- s \ lambda _ {q}} - \ int _ {0} ^ {\ lambda _ {q}} A _ {\ lambda} (x) {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm { d} x}} \ left (\ mathrm {e} ^ {- sx} \ right) \ mathrm {d} x = A (q) \ mathrm {e} ^ {- s \ lambda _ {q}} + s \ int _ {0} ^ {\ lambda _ {q}} A _ {\ lambda} (x) \ mathrm {e} ^ {- sx} \ mathrm {d} x}
ve benzer şekilde, eğer p ≤ q :
(2)∑değil=pq-dedeğile-sλdeğil=(AT(q)-AT(p-1))e-sλq+s∫λpλq(ATλ(x)-AT(p-1))e-sxdx{\ displaystyle (2) \ quad \ toplamı _ {n = p} ^ {q} a_ {n} \ mathrm {e} ^ {- s \ lambda _ {n}} = (A (q) -A (p -1)) \ mathrm {e} ^ {- s \ lambda _ {q}} + s \ int _ {\ lambda _ {p}} ^ {\ lambda _ {q}} \ left (A _ {\ lambda } (x) -A (p-1) \ sağ) \ mathrm {e} ^ {- sx} \ mathrm {d} x}
(ki değiştirilmesi tekabül bir 1 , bir 2 , ..., bir p 1 - ile 0 ilk formülde).
-
Düzgün yakınsama:
Gösterimleri hafifletmek için, ilk önce değişkeni değiştirerek ve katsayıları değiştirerek, seriyi forma yazarak s 0 = 0 durumuna geri dönebiliriz.
∑(-dedeğile-s0λdeğil)e-(s-s0)λdeğil{\ displaystyle \ toplamı \ sol (a_ {n} \ mathrm {e} ^ {- s_ {0} \ lambda _ {n}} \ sağ) \ mathrm {e} ^ {- (s-s_ {0}) \ lambda _ {n}}}.Let olmak ε kesinlikle pozitif reel ve D sektör arg (| s ) | ≤ θ , amaç şunu göstermektir:
∃DEĞİL∈DEĞİL∀s∈D∀p,q≥DEĞİL ile p≤q|∑değil=pq-dedeğile-sλdeğil|≤ε{\ displaystyle \ var N \ mathbb {N} \ quad \ forall s \ içinde D \ quad \ forall p, q \ geq N {\ text {with}} p \ leq q \ quad \ left | \ sum _ {n = p} ^ {q} a_ {n} \ mathrm {e} ^ {- s \ lambda _ {n}} \ right | \ leq \ varepsilon}.Hipoteze göre, Dirichlet serisi s 0 = 0'da birleşir , yani ( A ( n )) dizisi yakınsaktır. Eğer N yeterince büyük seçilirse, bu nedenle var:
q≥p≥DEĞİL⇒|AT(q)-AT(p-1)|≤εçünkü(θ){\ displaystyle q \ geq p \ geq N \ Rightarrow | A (q) -A (p-1) | \ leq \ varepsilon \ cos (\ theta)}.Herhangi bir nokta için ler arasında D ve tüm q ≥ p ≥ N , o zaman, formül (2) ile ilgili anlamak:|∑değil=pq-dedeğile-sλdeğil|≤εçünkü(θ)(e-Re(s)λq+|s|Re(s)(e-Re(s)λp-e-Re(s)λq))=εçünkü(θ)(|s|Yeniden(s)e-λpYeniden(s)-(|s|Yeniden(s)-1)e-λqYeniden(s))≤εçünkü(θ)|s|Yeniden(s)e-λpYeniden(s)≤ε.{\ displaystyle {\ begin {align} \ sol | \ sum _ {n = p} ^ {q} a_ {n} \ mathrm {e} ^ {- s \ lambda _ {n}} \ sağ | & \ leq \ varepsilon \ cos (\ theta) {\ big (} \ mathrm {e} ^ {- \ mathrm {Re} (s) \ lambda _ {q}} + {\ frac {| s |} {\ mathrm {Re } (s)}} \ left (\ mathrm {e} ^ {- \ mathrm {Re} (s) \ lambda _ {p}} - \ mathrm {e} ^ {- \ mathrm {Re} (s) \ lambda _ {q}} \ sağ) {\ büyük)} \\ & = \ varepsilon \ cos (\ theta) \ left ({\ frac {| s |} {{\ text {Re}} (s)}} \ mathrm {e} ^ {- \ lambda _ {p} {\ text {Re}} (s)} - \ left ({\ frac {| s |} {{\ text {Re}} (s)}} -1 \ right) \ mathrm {e} ^ {- \ lambda _ {q} {\ text {Re}} (s)} \ right) \\ & \ leq \ varepsilon \ cos (\ theta) {\ frac { | s |} {{\ text {Re}} (s)}} \ mathrm {e} ^ {- \ lambda _ {p} {\ text {Re}} (s)} \\ & \ leq \ varepsilon. \ end {hizalı}}}Cauchy kriterinin uygulanması ispata son verir.
-
v max (0, L ) ≥ σ C ve eğer Re ( s maks)> (0, L ) daha sonra f ( s ) , aşağıdaki formül ile verilmektedir: (*)
bize bu için göstersin eğer Re ( ler )> v max ( 0, L ) , daha sonra Dirichlet serisi s (kanıtlayacaktır yakınsak max (0, L ≥ σ) c ) ve bunun değeri, bu, aşağıdaki formül ile verilmektedir. Σ , Re ( s )> σ> max (0, L ) olacak şekilde bir gerçekolsun. Yana σ> L , herhangi için, sahipyeterince büyük n :|AT(değil)|≤eσλdeğil{\ displaystyle | A (n) | \ leq \ mathrm {e} ^ {\ sigma \ lambda _ {n}}}ve σ> 0 olduğu için elimizde:
∀x∈[λdeğil,λdeğil+1[|ATλ(x)|=|AT(değil)|≤eσλdeğil≤eσx{\ displaystyle \ forall x \ içinde [\ lambda _ {n}, \ lambda _ {n + 1} [\ quad | A _ {\ lambda} (x) | = | A (n) | \ leq \ mathrm { e} ^ {\ sigma \ lambda _ {n}} \ leq \ mathrm {e} ^ {\ sigma x}}.Yaptığımız Bu nedenle, q eğilimi için + ∞ (1) 'de, toplamın iki dönem ilk eğilimi , 0 ve ikinci bir (mutlak) yakınsak integrali, sonucuna olup.
-
Eğer L > 0 sonra σ c ≥ L :
neden bu kadar göstermek max (0, σ c ) ≥ L gerçek kurmak ve bu amaçla, σ kesinlikle daha büyük 0 ve σ c sonra ve göstermek σ ≥ L .
Tarafından Göstermek B n Dirichlet dizi kısmi toplamlarının σ ve M , bir üst ve modüllerinin bağlanmış B n . Abel dönüşüm gösterir:
∀değil∈DEĞİL∗∑k=1değil-dek=∑k=1değil-1Bk(eλkσ-eλk+1σ)+Bdeğileλdeğilσ{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} ^ {*} \ quad \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} = \ toplam _ {k = 1} ^ {n-1} B_ {k} (\ mathrm {e} ^ {\ lambda _ {k} \ sigma} - \ mathrm {e} ^ {\ lambda _ {k + 1} \ sigma}) + B_ {n} \ mathrm {e } ^ {\ lambda _ {n} \ sigma}}.Şu sonuca varabiliriz:
|∑k=1değil-dek|≤M∑k=1değil-1(eλk+1σ-eλkσ)+Meλdeğilσ≤2Meλdeğilσ{\ displaystyle \ sol | \ toplamı _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} \ sağ | \ leq M \ toplamı _ {k = 1} ^ {n-1} \ sol (\ mathrm {e} ^ {\ lambda _ {k + 1} \ sigma} - \ mathrm {e} ^ {\ lambda _ {k} \ sigma} \ right) + M \ mathrm {e} ^ {\ lambda _ {n} \ sigma } \ leq 2M \ mathrm {e} ^ {\ lambda _ {n} \ sigma}},bu şunu gösterir:
∀değil∈DEĞİL∗σ≥1λdeğil(ln(|∑k=1değil-dek|)-ln(2M)){\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} ^ {*} \ quad \ sigma \ geq {\ frac {1} {\ lambda _ {n}}} \ sol (\ ln \ sol (\ sol | \ toplam _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} \ right | \ right) - \ ln (2M) \ right)}.Dolayısıyla σ ≥ L'ye sahibiz .
-
Önceki iki nokta Özeti:
Eğer L > 0 sonra σ c ≥ L ve σ c ≤ maks (0, L ) = L , yani σ c = L .
Eğer L ≤ 0 sonra σ c ≤ maks (0, L ) = 0 .
Son olarak, (*), tüm için geçerlidir s kesin daha büyük bir gerçek bölümünde yer alan maksimum (0, L ) her iki durumda da, gerçekten eşittir, maks (σ C , 0) .
Başka bir önerme, basit yakınsama apsisinin kesinlikle negatif olduğu durumla ilgilidir:
-
Bir Dirichlet serisinin basit yakınsama apsisi kesinlikle negatifse, aşağıdaki limite eşittir:
lim supdeğil→∞ln(|∑k=değil+1∞-dek|)λdeğil+1{\ displaystyle \ limsup _ {n \ sonsuza kadar} {\ frac {\ ln \ sola (\ sol | \ toplamı _ {k = n + 1} ^ {\ infty} a_ {k} \ sağ | \ sağ) } {\ lambda _ {n + 1}}}}.
Holomorfik apsis
Bu apsis σ h , dizi Re ( s )> x yarı düzleminde holomorfik bir uzamaya izin verecek şekilde x gerçek sayılar kümesinin alt sınırı olarak tanımlanır .
Yukarıdakilerden her zaman sahibiz
σh≤σvs{\ displaystyle \ sigma _ {\ mathrm {h}} \ leq \ sigma _ {\ mathrm {c}}},
ancak tamsayı serisi teorisi ile büyük bir fark, asıl olmayan karakterlerle ilişkili Dirichlet L fonksiyonları örneğinde gösterildiği gibi, bu eşitsizliğin katı olabilmesidir .
Bununla birlikte, serinin katsayıları pozitifse eşitlik elde ederiz:
Landau teoremi
- Let a Dirichlet serisi
f(s)=∑değil=1+∞-dedeğile-sλdeğil{\ displaystyle f (s) = \ toplam _ {n = 1} ^ {+ \ infty} a_ {n} \ mathrm {e} ^ {- s \ lambda _ {n}}}tüm
a n katsayıları pozitif veya sıfır gerçek olan ve yakınsama apsisi
σ c gerçek olan. O halde,
σ c f'nin tekil noktasıdır ve
σ h = σ c'ye sahibiz .
Gösteri
Saçma bir şekilde, serinin merkezi σ c ve yarıçapı 3ε> 0 olan bir disk üzerinde analitik bir devamı kabul ettiğini varsayalım . O zaman diskteki Taylor serilerinin toplamı aynı yarıçap ve merkez σ c + ε olur . Ancak bu merkezde, Taylor katsayıları Dirichlet serisinden terim türetilerek hesaplanır. Bu diskin σ c - ε noktasında değerlendirerek, böylece şunu elde ederiz:
+∞>∑k=0∞(∑değil=1∞-dedeğil(-λdeğil)ke-λdeğil(σvs+ε))(-2ε)kk!=∑k=0∞(∑değil=1∞-dedeğilλdeğilke-λdeğil(σvs+ε))(2ε)kk!=∑değil=1∞-dedeğile-λdeğil(σvs+ε)∑k=0∞(2ελdeğil)kk!=∑değil=1∞-dedeğile-λdeğil(σvs+ε)e2ελdeğil=∑değil=1∞-dedeğile-λdeğil(σvs-ε),{\ displaystyle {\ begin {align} + \ infty &> \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} \ left (\ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} (- \ lambda _ {n}) ^ {k} \ mathrm {e} ^ {- \ lambda _ {n} (\ sigma _ {c} + \ varepsilon)} \ sağ) {\ frac {(-2 \ varepsilon) ^ {k}} {k!}} \\ & = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} \ left (\ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} \ lambda _ { n} ^ {k} \ mathrm {e} ^ {- \ lambda _ {n} (\ sigma _ {c} + \ varepsilon)} \ right) {\ frac {(2 \ varepsilon) ^ {k}} { k!}} \\ & = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} \ mathrm {e} ^ {- \ lambda _ {n} (\ sigma _ {c} + \ varepsilon) } \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(2 \ varepsilon \ lambda _ {n}) ^ {k}} {k!}} \\ & = \ sum _ {n = 1 } ^ {\ infty} a_ {n} \ mathrm {e} ^ {- \ lambda _ {n} (\ sigma _ {c} + \ varepsilon)} \ mathrm {e} ^ {2 \ varepsilon \ lambda _ { n}} \\ & = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} \ mathrm {e} ^ {- \ lambda _ {n} (\ sigma _ {c} - \ varepsilon)} , \ end {hizalı}}}
ikili serideki tersine çevirme, olumlu yönden olduğu için haklı çıkar. Dirichlet serisi bu nedenle yakınsak olacaktır σ c ε - tanımına aykırıdır, σ c .
Diğer tamamlayıcı varsayımlar altında
da σ h = σ c'ye sahibiz.
Δ=lim supdeğil→∞değilλdeğilveG=lim infdeğil→∞(λdeğil+1-λdeğil){\ displaystyle \ Delta = \ limsup _ {n \ to \ infty} {\ frac {n} {\ lambda _ {n}}} \ quad {\ text {ve}} \ quad G = \ liminf _ {n \ en \ infty} (\ lambda _ {n + 1} - \ lambda _ {n})} :
- Eğer Δ = 0 ise, G > 0 ise ve σ c sonlu ise, Re ( s ) = σ c doğrusu üzerindeki herhangi bir nokta fonksiyon için tekildir.
- Eğer Δ sonlu ise, G > 0 ise ve σ c sonlu ise, Re ( s ) = σ c doğrusunun 2 π / G uzunluğundaki herhangi bir parçası fonksiyon için en az bir tekil nokta içerir ( bütün bir seri için, yakınsama diskinin kenarı en az bir tekil nokta içerir).
Mutlak yakınsama apsis
Biz aynı şekilde tanımlamak ve absisini mutlak yakınlaşma σ bir gerçek sayılar kümesinin bağlı düşük değerler olarak x serisi kesinlikle yarım uçağa yakınsak edildiği Re ( ler )> x . İki apsis σ a ve σ c (pozitif katsayılı bir seri için açıkça eşittir) genellikle eşitsizliklerle bağlantılıdır:
σvs≤σ-de≤σvs+DÖsen''D=lim supdeğil→∞lndeğilλdeğil.{\ displaystyle \ sigma _ {\ mathrm {c}} \ leq \ sigma _ {\ mathrm {a}} \ leq \ sigma _ {\ mathrm {c}} + D \ quad \ mathrm {o {\ grave {u }}} \ quad D = \ limsup _ {n \ to \ infty} {\ frac {\ ln n} {\ lambda _ {n}}}.}
Ayrıca şunu da gösteriyoruz:
EğerD=0yaniσvs=σ-de=lim supdeğil→∞ln|-dedeğil|λdeğil{\ displaystyle {\ text {si}} \ quad D = 0 \ quad {\ text {sonra}} \ quad \ sigma _ {\ mathrm {c}} = \ sigma _ {\ mathrm {a}} = \ limsup _ {n \ ila \ infty} {\ frac {\ ln | a_ {n} |} {\ lambda _ {n}}}},
Cauchy-Hadamard teoremini tüm bir serinin yakınsama yarıçapı üzerine genelleyen . Not o Ge kısa sürede sıfırdır Δ sonlu, ama bu kritik hat üzerinde tekil noktaların varlığını sağlamak için yeterli olmadığını.
"Klasik" bir Dirichlet serisi durumunda : D = 1'e sahibiz , bu nedenle:
∑değil=1∞-dedeğildeğils{\ displaystyle \ toplamı _ {n = 1} ^ {\ infty} {a_ {n} \ n ^ {s}}} üzerinde
σvs≤σ-de≤σvs+1{\ displaystyle \ sigma _ {\ mathrm {c}} \ leq \ sigma _ {\ mathrm {a}} \ leq \ sigma _ {\ mathrm {c}} +1}.
Dirichlet ( ) fonksiyon etasının Dirichlet serisinin örneği, optimal bir eşitsizliğe sahip olduğumuzu gösterir: seri, yalnızca > 0 gerçek sayılar için ve kesinlikle yalnızca gerçek sayılar için yakınsar ( alternatif bir seridir ). Gerçek sayılar > 1 .
η(s)=∑değil=1∞(-1)değil-1değils{\ displaystyle \ eta (s) = \ toplam _ {n = 1} ^ {\ infty} {(- 1) ^ {n-1} \ n ^ {s}}} üzerinde
Gelişimin benzersizliği
Karşılaştırılacak iki serinin aynı tipte (yani aynı λ n ) olduğu duruma, ilgili türlerinin birleşimini (artan şekilde yeniden sıralı) alarak geri dönüyoruz .
Bu durumda, eğer ikisi de yakınsadıkları yarı düzlemde Re ( s )> σ aynı limit fonksiyonuna sahiplerse, Perron'un formülüne göre , aynı katsayılara sahipler.
Bunun için σ , iki serinin yakınsadığı ve belirli bir ε> 0 olduğu belirli bir s 0 için Re ( s 0 ) + ε biçiminde olması ve bu yarım düzlemdeki iki fonksiyonun ait olan sonsuz sayıda noktada çakışması yeterlidir. sektöre | arg ( s - s 0 ) | ≤ θ ile θ <π / 2 . Aslında, bu iki fonksiyonun farkı sıfır değilse, o zaman böyle bir alandaki sıfırları sonludur çünkü yalıtılmış ve sınırlıdır (çünkü iki serinin farkı ilk sıfır olmayan terimine bölünerek s 0'da yakınsaktır, bu nedenle homojen bu sektörde yakınsak ilgili fonksiyon eğilimi gösterir, böylece, 1 olduğunda s ) sonsuza doğru gitmektedir.
Dirichlet serisi ayrıştırma örnekleri
-
1ζ(s)=∑değil=1∞μ(değil)değils{\ displaystyle {\ frac {1} {\ zeta (s)}} = \ toplamı _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ mu (n)} {n ^ {s}}}}burada μ olan Möbiüs işlevi .
-
ζ(s-1)ζ(s)=∑değil=1∞φ(değil)değils{\ displaystyle {\ frac {\ zeta (s-1)} {\ zeta (s)}} = \ toplamı _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ varphi (n)} {n ^ {s}}}}Burada φ , Euler gösterge biçimidir
ve daha genel olarak, burada J k , Jordan'ın totient işlevidir .ζ(s-k)ζ(s)=∑değil=1∞Jk(değil)değils{\ displaystyle {\ frac {\ zeta (sk)} {\ zeta (s)}} = \ toplamı _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {J_ {k} (n)} {n ^ {s}}}}
-
ζ(s)ζ(s--de)=∑değil=1∞σ-de(değil)değils{\ displaystyle \ zeta (s) \ zeta (sa) = \ toplamı _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ sigma _ {a} (n)} {n ^ {s}}}}burada σ bir ( n ) olan böleni fonksiyonu .
-
ζ(s)ζ(s--de)ζ(s-b)ζ(s--de-b)ζ(2s--de-b)=∑değil=1∞σ-de(değil)σb(değil)değils{\ displaystyle {\ frac {\ zeta (s) \ zeta (sa) \ zeta (sb) \ zeta (sab)} {\ zeta (2s-ab)}} = \ toplamı _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ sigma _ {a} (n) \ sigma _ {b} (n)} {n ^ {s}}}}.
Analitik özellikler
Çoğu durumda, bir Dirichlet serisiyle ilişkili analitik fonksiyon, daha geniş bir alanda analitik bir uzantıya sahiptir. Buna örnek olarak Riemann zeta fonksiyonu , meromorfik tek ile ℂ ilgili kutup ile s = 1 . Riemann hipotezi adı verilen matematikteki en önemli ve çözülmemiş varsayımlardan biri , bu fonksiyonun sıfırları ile ilgilidir.
Genel bir Dirichlet serisinin analitik uzantısı çalışmasında ilk adım
f(s)=∑değil=1+∞-dedeğile-sλdeğil{\ displaystyle f (s) = \ toplam _ {n = 1} ^ {+ \ infty} a_ {n} \ mathrm {e} ^ {- s \ lambda _ {n}}}
yeni bir Dirichlet serisi tanımlamaktır
F(s)=∑değil=1+∞-dedeğile-sμdeğil,Ösen''μdeğil=eλdeğil{\ displaystyle F (s) = \ toplam _ {n = 1} ^ {+ \ infty} a_ {n} \ mathrm {e} ^ {- s \ mu _ {n}}, \ quad \ mathrm {o { \ grave {u}}} \ quad \ mu _ {n} = \ mathrm {e} ^ {\ lambda _ {n}}},
en azından yarı düzlemde Re ( s )> 0 eğer σ c <∞ ise (ve hatta σ c <0 ise tüm düzlemde ) birleşir .
Bu kullanarak işlev Γ herhangi bir kompleks için, tatmin s gerçek parçanın > 0 (göre değişken değiştirme , x = t μ n )
e-sλdeğilΓ(s)=e-sλdeğil∫0+∞e-xxs-1 dx=∫0+∞e-tμdeğilts-1 dt{\ displaystyle \ mathrm {e} ^ {- s \ lambda _ {n}} \ Gama (s) = \ mathrm {e} ^ {- s \ lambda _ {n}} \ int _ {0} ^ {+ \ infty} \ mathrm {e} ^ {- x} x ^ {s-1} ~ \ mathrm {d} x = \ int _ {0} ^ {+ \ infty} \ mathrm {e} ^ {- t \ mu _ {n}} t ^ {s-1} ~ \ mathrm {d} t}
ve haklı ile seri entegre inversiyon yeterli artışlar, o zaman için, elde herhangi bir karmaşık s şekilde Re ( s ) maksimum> (σ C , 0) :
f(s)=1Γ(s)∫0∞F(t)ts-1 dt{\ displaystyle f (s) = {\ frac {1} {\ Gama (s)}} \ int _ {0} ^ {\ infty} F (t) t ^ {s-1} ~ \ mathrm {d} t}
.
Tüm için bu geçerken anlamak (σ maksimum> σ C , 0) , F ( s ) olup temel değer arasında
12πben∫σ-ben∞σ+ben∞Γ(ζ)f(ζ)ζ-s dζ{\ displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi \ mathrm {i}}} \ int _ {\ sigma - \ mathrm {i} \ infty} ^ {\ sigma + \ mathrm {i} \ infty} \ Gama (\ zeta) f (\ zeta) \ zeta ^ {- s} ~ \ mathrm {d} \ zeta}.
Ancak f'nin F'nin bir işlevi olarak ifadesi, belirli varsayımlar altında, bir meromorfik uzantıyı çıkarmak için özellikle yararlıdır:
Teorem ( Hardy - Fekete ) - Eğer σ c <∞ ise ve F 0'da bir meromorfik fonksiyona uzanıyorsa , kutbun sırası q ≥ 0 ise , o zaman f , mümkün olduğu kadar, tüm karmaşık düzlem boyunca bir meromorfik fonksiyona uzanır. 1, 2,…, q'daki basit kutupların kutupları .
Gösteri
Biz kolayca kanıtlayabilirim F edilir hızla azalan bu yüzden,
Γ(s)f(s)=∫0xF(t)ts-1 dt+∫x+∞F(t)ts-1 dt{\ displaystyle \ Gama (s) f (s) = \ int _ {0} ^ {x} F (t) t ^ {s-1} ~ \ mathrm {d} t + \ int _ {x} ^ { + \ infty} F (t) t ^ {s-1} ~ \ mathrm {d} t}
burada, tüm x > 0 için , ikinci integral bir tamsayı fonksiyonudur . Dahası, hipoteze göre, F , 0'ın komşuluğunda formun bir gelişimine sahiptir:
F(t)=∑k=0∞vsktk-q{\ displaystyle F (t) = \ toplam _ {k = 0} ^ {\ infty} c_ {k} t ^ {kq}}
bu nedenle x yeterince küçük ve herhangi bir kompleks s için Re ( s )> q :
∫0xF(t)ts-1 dt=∑k=0∞vskxk-q+sk-q+s{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {x} F (t) t ^ {s-1} ~ \ mathrm {d} t = \ toplam _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {c_ {k} x ^ {kq + s}} {kq + s}}}.
Bununla birlikte, bu seri, q , q - 1, q - 2, ... tam sayılarından farklı herhangi bir kompleks s için yakınsar (çünkü c k katsayı serisinin tamamının yakınsama yarıçapı, bu katsayıları böldüğümüzde değiştirilmez. k - q + s ) ve (basit) kutuplu bir meromorfik fonksiyonu tanımlar q - k bütün doğal sayı için k . 1 / Γ fonksiyonu tam sayı olduğu için, tüm karmaşık düzlemde yine f ile göstereceğimiz meromorfik bir uzama elde ederiz :
f(s)=1Γ(s)(∑k=0∞vskxk-q+sk-q+s+∫x+∞F(t)ts-1 dt){\ displaystyle f (s) = {\ frac {1} {\ Gama (s)}} \ sol (\ toplamı _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {c_ {k} x ^ {k -q + s}} {kq + s}} + \ int _ {x} ^ {+ \ infty} F (t) t ^ {s-1} ~ \ mathrm {d} t \ sağ)}.
Son olarak, 0, –1, –2 vb . Noktalarda 1 / Γ sıfırları . karşılık gelen basit kutupları dengeleyin, bu nedenle f'nin yalnızca olası (basit) kutupları q , q - 1,…, 1 vardır .
Ayrıca tam sayı için, hesaplayabilir q - k , artık madde ya da değerini f bağlı olarak ister 0 ≤ k < q ya da k ≥ q :
∀değil∈{q,q-1,...,1}Res(f,değil)=vsq-değilΓ(değil){\ displaystyle \ forall n \ in \ {q, q-1, \ ldots, 1 \} \ quad {\ text {Res}} (f, n) = {\ frac {c_ {qn}} {\ Gama ( değil)}}}
∀değil∈DEĞİLf(-değil)=limε→01Γ(-değil+ε)vsq+değilxεε=vsq+değilRes(Γ,-değil)=(-1)değil değil! vsq+değil{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} \ quad f (-n) = \ lim _ {\ varepsilon \ ila 0} {\ frac {1} {\ Gama (-n + \ varepsilon)}} { \ frac {c_ {q + n} x ^ {\ varepsilon}} {\ varepsilon}} = {\ frac {c_ {q + n}} {{\ text {Res}} (\ Gama, -n)}} = (-1) ^ {n} ~ n! ~ C_ {q + n}}.
Tarihi
Dirichlet asal sayıların bir sonsuzluk aritmetik ilerlemesinde vardır, buna göre 1837 yılında bu dizi tanımlanmış ve aritmetik ilerlemesi teoremi sergilemelerini kullanılan bir + b en kısa sürede bir ve B birbirine asal vardır. Bunlar yalnızca , 1894'te tezi konusu yapan Eugène Cahen'in çalışmasından incelenmiştir. Ancak tezi, birçok eleştiriye konu olmuştur ve bu nedenle yeni çalışmaları kışkırtmıştır. Harald Bohr tarafından neredeyse periyodik fonksiyonların tanımı , Dirichlet serisinin pozitif katsayılarla tanımladığı fonksiyonların, mutlak yakınsamanın yarı düzleminde neredeyse periyodik olduğunu göstermeyi mümkün kılmıştır.
Tarihsel bir perspektiften bakıldığında teorinin gelişiminin bir kısmı bu bağlantının altında bulunur.
Notlar ve referanslar
(fr) Bu makale kısmen veya tamamen Wikipedia makalesinden alınmıştır
İngilizce başlıklı
" Dirichlet serisi " ( yazarların listesini görmek ) .
Notlar
-
Valiron 1926 .
-
Bu tanıma göre serinin tamamı 0'da sıfırdır .
-
Petkov ve Yger 2001 , s. 8
-
Örneğin bkz. Valiron 1926 , s. 7, Petkov ve Yger 2001 , s. 11, Mandelbrojt 1969 , s. 12 veya (tr) DV Widder , Dönüşüm Teorisine Giriş , Academic Press ,1971( çevrimiçi okuyun ) , s. 31.
-
Cahen 1894'ün orijinal ifadesi “eğer σ c ≥ 0 ise σ c = N ” ve ispatı, Apostol 1990'da olduğu gibi alınmasına rağmen , s. 162-164 ( önizleme üzerinde Google Kitaplar ), eğer yanlış σ c = 0 . Ancak Hardy ve Riesz 1915 , s. 6-7 bu ifadeyi, serinin 0'dan uzaklaştığı veya sıfır olmayan bir değere yakınlaştığı ve (içinde) Hugh L. Montgomery ve RC Vaughan , Multiplicative Number Theory I: Classical Theory , UPC , 2007( çevrimiçi okuyun ) , s. 13Bu varsayımın olmadan bunu, ama sadece klasik Dirichlet serisi için ( yani için X n = ln ( n ) ).
-
(inç) T. Kojima , " Dirichlet serisinin yakınsama abscissa-General hakkında " , TMJ , cilt. 6,1914, s. 134-139Bir varyant Resim ', N ( görülen ilgili hakkında Books her zaman eşit) σ c bile, N katı olumlu değildir: cf. Maurice Blambert , " Genel Dirichlet serisinin basit yakınsamasının apsisi üzerine ", Ann. Inst. Fourier , cilt. 14, n o 21964, s. 509-518 ( çevrimiçi okuyun ).
-
Bu durum ve örneklerle ilgili doğrudan kanıt için, " Abel'in toplama formülü " makalesine bakın .
-
Petkov ve Yger 2001 , s. 12
-
Petkov ve Yger 2001 , s. 9 ve Colmez 2009 , s. 274
-
Cahen 1894 , s. 92
-
Hardy ve Riesz 1915 , s. 6
-
Petkov ve Yger 2001 , s. 47
-
ortaya çıkıyor Mellin dönüşümü arasında F .
-
f'nin Riemann zeta fonksiyonu olduğu - F ( t ) açıkça 1 / (e t - 1) ' e eşit olduğu özel durum , “Riemann zeta fonksiyonu” makalesinin “İntegral ifadesi” bölümünde ele alınmaktadır .
-
Petkov ve Yger 2001 , s. 49
-
Petkov ve Yger 2001 , s. Genel durum için 49. Klasik Dirichlet serisi için ayrıca bkz . Colmez 2009 , s. 280 ve sonrası.
-
Colmez 2009 , s. 247: Bir integral ile tanımlanan holomorfik fonksiyonlar
-
" […] f '( s ) işlevinin sistematik bir teorisini inşa etmeye yönelik ilk girişim, Cahen tarafından, içerdiği analizlerin çoğu ciddi eleştiriye açık olmasına rağmen, hizmet etmiş - ve muhtemelen sadece bu nedenle - konuyla ilgili sonraki araştırmaların çoğunun başlangıç noktası olarak. » , Hardy ve Riesz 1915 , s. 1-2
Referanslar
- (tr) Tom M. Apostol , Sayı Teorisinde Modüler Fonksiyonlar ve Dirichlet Serileri , Springer , der. " GTM " ( n o 41)1990( çevrimiçi okuyun )
- Eugène Cahen , " Fonksiyon ζ ( s ) Riemann ve benzer fonksiyonlar hakkında " Asens , 3 E serisi, cilt. 11,1894, s. 75-164 ( çevrimiçi okuyun )
- Pierre Colmez , Analiz ve cebir unsurları (ve sayı teorisi) , Palaiseau, Éditions de l'École polytechnique,2009, 469 s. ( ISBN 978-2-7302-1563-3 , çevrimiçi okuyun ) , böl. 7
- (tr) GH Hardy ve Marcel Riesz , The General Theory of Dirichlet's Series , der. "Cambridge Matematik Yolları",1915( çevrimiçi okuyun )
- S. Mandelbrojt , Dirichlet Serisi. İlkeler ve yöntemler , Paris, Gauthier-Villars ,1969
- Vesselin Petkov ve Alain Yger , Dirichlet Serisi Analitik Tekillikler , Bordo I Üniversitesi ,2001( çevrimiçi okuyun )
- G. Valiron , " Dirichlet serisinin genel teorisi ", Matematik bilimleri Anıtı , cilt. 17,1926, s. 1-56 ( çevrimiçi okuyun )
Ek kaynakça
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">