Jacobi polinomu
Gelen matematik , Jacobi polinomları sınıfıdır dik polinomlar . Serinin aslında sonlu olduğu durumlarda hipergeometrik serilerden elde edilirler :
Pdeğil(α,β)(z)=(α+1)değildeğil!2F1(-değil,1+α+β+değil;α+1;1-z2),{\ displaystyle P_ {n} ^ {(\ alpha, \ beta)} (z) = {\ frac {(\ alpha +1) _ {n}} {n!}} \, _ {2} F_ {1 } \ left (-n, 1 + \ alpha + \ beta + n; \ alpha +1; {\ frac {1-z} {2}} \ sağ),}nerede olduğunu Pochhammer sembolü artan faktöriyele için, (Abramowitz ve Stegun P561 .) ve böylece biz açık bir ifade var
(α+1)değil{\ displaystyle (\ alpha +1) _ {n} \,}
Pdeğil(α,β)(z)=Γ(α+değil+1)değil!Γ(α+β+değil+1)∑m=0değil(değilm)Γ(α+β+değil+m+1)Γ(α+m+1)(z-12)m,{\ displaystyle P_ {n} ^ {(\ alfa, \ beta)} (z) = {\ frac {\ Gama (\ alfa + n + 1)} {n! \ Gama (\ alfa + \ beta + n + 1)}} \ toplam _ {m = 0} ^ {n} {n \ seçin m} {\ frac {\ Gama (\ alpha + \ beta + n + m + 1)} {\ Gama (\ alpha + m +1)}} \ left ({\ frac {z-1} {2}} \ sağ) ^ {m},}bunun için nihai değer
Pdeğil(α,β)(1)=(değil+αdeğil).{\ displaystyle P_ {n} ^ {(\ alpha, \ beta)} (1) = {n + \ alpha \ seç n}.}Burada, bütün için değil{\ displaystyle n \,}
(zdeğil)=Γ(z+1)Γ(değil+1)Γ(z-değil+1),{\ displaystyle {z \ seçin n} = {\ frac {\ Gama (z + 1)} {\ Gama (n + 1) \ Gama (z-n + 1)}},}ve olduğu zamanki gama fonksiyonu özelliğine sahiptir,
için . Yani,
Γ(z){\ displaystyle \ Gama (z) \,}1/Γ(değil+1)=0{\ displaystyle 1 / \ Gama (n + 1) = 0 \,}değil=-1,-2,...{\ displaystyle n = -1, -2, \ noktalar \,}
(zdeğil)=0içindeğil<0.{\ displaystyle {z \ seçin n} = 0 \ quad {\ hbox {for}} \ quad n <0.}Polinomlar simetri ilişkisine sahiptir ; bu nedenle, diğer son değer
Pdeğil(α,β)(-z)=(-1)değilPdeğil(β,α)(z){\ displaystyle P_ {n} ^ {(\ alpha, \ beta)} (- z) = (- 1) ^ {n} P_ {n} ^ {(\ beta, \ alpha)} (z)}
Pdeğil(α,β)(-1)=(-1)değil(değil+βdeğil).{\ displaystyle P_ {n} ^ {(\ alpha, \ beta)} (- 1) = (- 1) ^ {n} {n + \ beta \ n} seçin.}Bir İçin gerçek bir sayı , Jacobi polinom şeklinde dönüşümlü yazılabilir
x{\ displaystyle x}
Pdeğil(α,β)(x)=∑s(değil+αs)(değil+βdeğil-s)(x-12)değil-s(x+12)s{\ displaystyle P_ {n} ^ {(\ alpha, \ beta)} (x) = \ sum _ {s} {n + \ alpha \ s seçin} {n + \ beta \ ns'yi seçin} \ sol ({\ frac {x-1} {2}} \ sağ) ^ {ns} \ left ({\ frac {x + 1} {2}} \ sağ) ^ {s}}nerede ve .
s≥0{\ displaystyle s \ geq 0 \,}değil-s≥0{\ displaystyle ns \ geq 0 \,}
Dört miktarları özel durumda
, , ve
pozitif tamsayı vardır Jacobi polinom olarak yazılabilir
değil{\ displaystyle n}değil+α{\ displaystyle n + \ alpha}değil+β{\ displaystyle n + \ beta}değil+α+β{\ displaystyle n + \ alpha + \ beta}
Pdeğil(α,β)(x)=(değil+α)!(değil+β)!∑s[s!(değil+α-s)!(β+s)!(değil-s)!]-1(x-12)değil-s(x+12)s.{\ displaystyle P_ {n} ^ {(\ alpha, \ beta)} (x) = (n + \ alpha)! (n + \ beta)! \ toplamı _ {s} \ sol [s! (n + \ alfa -s)! (\ beta + s)! (ns)! \ sağ] ^ {- 1} \ left ({\ frac {x-1} {2}} \ sağ) ^ {ns} \ left ({ \ frac {x + 1} {2}} \ sağ) ^ {s}.}Toplamı üzerinden faktöriyellerin argümanları pozitif olduğu için her tam sayı değerleri boyunca uzanır.
s{\ displaystyle s \,}
Bu form , Wigner D matrisinin
( ) Jacobi polinomları cinsinden ifadesine izin verir.dm′mj(ϕ){\ displaystyle d_ {m'm} ^ {j} (\ phi) \;}0≤ϕ≤4π{\ displaystyle 0 \ leq \ phi \ leq 4 \ pi}
dm′mj(ϕ)=[(j+m)!(j-m)!(j+m′)!(j-m′)!]1/2(günahϕ2)m-m′(çünküϕ2)m+m′Pj-m(m-m′,m+m′)(çünküϕ).{\ displaystyle d_ {m'm} ^ {j} (\ phi) = \ sol [{\ frac {(j + m)! (jm)!} {(j + m ')! (j-m') !}} \ sağ] ^ {1/2} \ left (\ sin {\ frac {\ phi} {2}} \ sağ) ^ {mm '} \ left (\ cos {\ frac {\ phi} {2 }} \ sağ) ^ {m + m '} P_ {jm} ^ {(m-m', m + m ')} (\ cos \ phi).}
Türevler
Açık bir ifade yol açar inci türevi
k{\ displaystyle k}
dkdzkPdeğil(α,β)(z)=Γ(α+β+değil+1+k)2kΓ(α+β+değil+1)Pdeğil-k(α+k,β+k)(z).{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {k}} {\ mathrm {d} z ^ {k}}} P_ {n} ^ {(\ alpha, \ beta)} (z) = {\ frac {\ Gama (\ alpha + \ beta + n + 1 + k)} {2 ^ {k} \ Gama (\ alpha + \ beta + n + 1)}} P_ {nk} ^ {(\ alpha + k , \ beta + k)} (z).}
Referans
-
LC Biedenharn ve JD Louck,
Kuantum Fiziğinde Açısal Momentum , Addison-Wesley, Reading, (1981)
İlgili makale
Askey-Gasper eşitsizliği
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">