Ortogonal polinomların dizisi
Gelen matematik , bir ortogonal polinomların dizisi bir olan polinomların sonsuz bir dizi p 0 ( x ) , s 1 ( x ) ,
s 2 ( X ) gerçek katsayılı ..., ki burada her bir p , n ( x ) derecesi olan n ve bu şekilde polinom ait sekansı bir için iki iki ortogonal olan belirli bir husus skalar çarpımın fonksiyonları.
Bu kavram örneğin kriptolojide veya dijital analizde kullanılır . Akışkanlar mekaniği veya sinyal işleme gibi birçok fizik problemini çözer . Legendre , Tchebychev'inkiler gibi birçok özel ortogonal polinom türü, bir fonksiyona yaklaşmayı ve özellikleriyle daha basit karmaşık diferansiyel denklemleri çözmeyi mümkün kılar .
Giriş
En basit nokta ürünü fonksiyonlarının olan integrali sınırlı bir aralık boyunca bu fonksiyonların, çarpımının:
⟨f,g⟩=∫debf(x)g(x) dx{\ displaystyle \ langle f, g \ rangle = \ int _ {a} ^ {b} f (x) g (x) ~ \ matematik {d} x}Daha genel olarak, bir “ağırlık fonksiyonu” neden olabilir W ( x ) entegrasyon aralığı boyunca integral ( ] a , b [ , W, sonlu değerlere sahip olabilir ve katı pozitif ve ağırlıklı ürünün tamamlayıcı olmalıdır bir polinomun fonksiyonu sonlu olmalıdır; a , b sınırları sonsuz olabilir):
⟨f,g⟩=∫debf(x)g(x)W(x) dx{\ displaystyle \ langle f, g \ rangle = \ int _ {a} ^ {b} f (x) g (x) W (x) ~ \ matematik {d} x}Nokta çarpımının bu tanımıyla, nokta çarpımları sıfıra eşitse iki fonksiyon birbirine diktir (aynı şekilde, iki vektörün nokta çarpımı sıfıra eşitse ortogonal (dik) olur). Daha sonra ilgili standart tanıtıldı : ; nokta çarpım, sonlu normun tüm fonksiyonlarının kümesini bir Hilbert uzayı yapar .
||f||=⟨f,f⟩{\ displaystyle || f || = {\ sqrt {\ langle f, f \ rangle}}}
İntegrasyon aralığına ortogonallik aralığı denir .
Geç gelişen dik polinomların alan XIX inci tarafından devam fraksiyonların bir çalışmadan yüzyıl Pafnutiy Çebışov ve dava açmış Andrei Markov ve Thomas Joannes Stieltjes . Gábor Szegő , Sergei Bernstein , Naum Akhiezer , Arthur Erdélyi (tr) , Yakov Geronimus , Wolfgang Hahn (tr) , Theodore Seio Chihara (tr) , Mourad Ismail (tr) , Waleed Al-Salam (tr) ve Richard Askey de çalıştı. Konuyla ilgili. Birçok uygulama matematik ve fizikle sonuçlanmıştır .
Örnek: Legendre polinomları
En basit ortogonal polinomlar , ortogonallik aralığının] -1, 1 [ve ağırlık fonksiyonu 1 değerinin sabit fonksiyonu olduğu Legendre polinomlarıdır .
P0(x)=1{\ görüntü stili P_ {0} (x) = 1}P1(x)=x{\ görüntü stili P_ {1} (x) = x}P2(x)=3x2-12{\ displaystyle P_ {2} (x) = {\ frac {3x ^ {2} -1} {2}}}P3(x)=5x3-3x2{\ displaystyle P_ {3} (x) = {\ frac {5x ^ {3} -3x} {2}}}P4(x)=35x4-30x2+38{\ displaystyle P_ {4} (x) = {\ frac {35x ^ {4} -30x ^ {2} +3} {8}}}...{\ görüntü stili \ noktalar \,}Hepsi ortogonaldir] -1, 1 [:
∫-11Pm(x)Pdeğil(x) dx=0pÖsenrm≠değil{\ displaystyle \ int _ {- 1} ^ {1} P_ {m} (x) P_ {n} (x) ~ \ matematik {d} x = 0 \ qquad \ matematik {for} \ qquad m \ neq n }
Özellikleri
Her p k derecesinin k olduğu p 0 , p 1 , ... polinomlarının herhangi bir dizisi , " bayrağa uyarlanmış" tüm polinomların (sonsuz boyuttaki) vektör uzayının temelidir . Bir ortogonal polinom dizisi, ayrıca belirli bir skaler ürün için ortogonal olan böyle bir temeldir. Bu skaler ürün sabit olduğundan, böyle bir dizi neredeyse benzersizdir (sıfır olmayan skalerlerle vektörlerinin yakınındaki ürüne özgüdür) ve kurallı temelden (1, x , x 2 , ...) (ortogonal olmayan ) elde edilebilir. genel olarak), Gram-Schmidt yöntemiyle .
$[x]{\ displaystyle \ matematik {R} [x]} ($değil[x])değil∈DEĞİL{\ displaystyle (\ mathbb {R} _ {n} [x]) _ {n \ in \ mathbb {N}}}
Dik tabanlı yapı zaman, bunu yapmak için cazip olabilir ortonormal , öyle ki demek olduğu tüm n , her bir bölünmesiyle p , n onun normunun. Polinomlar söz konusu olduğunda, genellikle karekök içeren katsayılarla sonuçlanacağından, bu ek koşulun empoze edilmemesi tercih edilir. Genellikle katsayıların rasyonel kalacağı bir çarpan seçmeyi ve mümkün olduğunca basit formüller vermeyi tercih ederiz. Standardizasyondur. Aşağıda listelenen “klasik” polinomlar böylece standardize edilmiştir; tipik olarak, en yüksek dereceli terimlerinin katsayısı veya bir noktadaki değerleri belirli bir niceliğe ayarlanmıştır (Legendre polinomları için, P' n (1) = 1 ). Bu standardizasyon, bazen karşılık gelen ağırlık fonksiyonunun ölçeklendirilmesiyle de elde edilebilen bir gelenektir. Not
⟨pdeğil,pdeğil⟩ = 1{\ displaystyle \ langle p_ {n}, p_ {n} \ rangle \ = \ 1}
hdeğil=⟨pdeğil, pdeğil⟩{\ displaystyle h_ {n} = \ langle p_ {n}, \ p_ {n} \ rangle}( p n'nin normu , h n'nin kareköküdür ). Standartlaştırılmış polinomlar için h n değerleri aşağıdaki tabloda listelenmiştir. Sahibiz
⟨pm, pdeğil⟩=δmdeğilhdeğil{\ displaystyle \ langle p_ {m}, \ p_ {n} \ rangle = \ delta _ {mn} h_ {n}} ;
nerede δ mn olan Kronecker sembolü .
Herhangi bir ortogonal polinom dizisi ( p k ) çok sayıda dikkate değer özelliğe sahiptir. Başlamak :
-
Lemması 1: ( s 0 , p 1 , ..., p , n ) a, baz ve$değil[x]{\ displaystyle \ matematik {R} _ {n} [x]}
-
Öngörü 2: p n , 'ye diktir .$değil-1[x]{\ displaystyle \ matematik {R} _ {n-1} [x]}
Lemma 1 olduğu gerçeği nedeniyle p k derecesi taşımaktadır k . Önerme 2, ayrıca p k'nin ikiye iki ortogonal olduğu gerçeğinden gelir .
Tekrarlama ilişkisi
Herhangi bir ortogonal polinom dizisi için, ardışık üç polinoma göre bir tekrarlama ilişkisi vardır .
pdeğil+1 = (dedeğilx+bdeğil) pdeğil - vsdeğil pdeğil-1{\ displaystyle p_ {n + 1} \ = \ (a_ {n} x + b_ {n}) \ p_ {n} \ - \ c_ {n} \ p_ {n-1}}a n , b n , c n katsayıları şu şekilde verilir:
dedeğil=kdeğil+1kdeğil,bdeğil=dedeğil(kdeğil+1′kdeğil+1-kdeğil′kdeğil),vsdeğil=dedeğil(kdeğil-1hdeğilkdeğilhdeğil-1),{\ displaystyle a_ {n} = {\ frac {k_ {n + 1}} {k_ {n}}}, \ qquad b_ {n} = a_ {n} \ sol ({\ frac {k_ {n + 1 } '} {k_ {n + 1}}} - {\ frac {k_ {n}'} {k_ {n}}} \ sağ), \ qquad c_ {n} = a_ {n} \ sol ({\ frac {k_ {n-1} h_ {n}} {k_ {n} h_ {n-1}}} \ sağ),}burada k j ve k j ' p j ' nin ilk iki katsayısını gösterir :
pj(x)=kjxj+kj′xj-1+⋯{\ displaystyle p_ {j} (x) = k_ {j} x ^ {j} + k_ {j} 'x ^ {j-1} + \ cdots}ve h j p j'nin tek başına nokta çarpımı :
hj = ⟨pj, pj⟩{\ displaystyle h_ {j} \ = \ \ langle p_ {j}, \ p_ {j} \ rangle}.
(Uzlaşıma göre, c 0 , p –1 , k ' 0 sıfırdır.)
gösteri
Verilen değerler ile bir n ve b , n , polinom
( bir n x + b , n ) p , n - p , n + 1 den az derece olduğu , n (derece cinsinden n ve +1 , n edilir ortadan). Böylece taban elemanlarının lineer bir kombinasyonu şeklinde ifade edilebilir ( p j )n –1
j = 0itibaren :
$değil-1[x]{\ displaystyle \ matematik {R} _ {n-1} [x]}
(dedeğilx+bdeğil)pdeğil-pdeğil+1=∑j=0değil-1μdeğil,jpj,{\ displaystyle (a_ {n} x + b_ {n}) p_ {n} -p_ {n + 1} = \ toplam _ {j = 0} ^ {n-1} \ mu _ {n, j} p_ {j},}ile
hjμdeğil,j=⟨(dedeğilx+bdeğil)pdeğil-pdeğil+1,pj⟩=dedeğil⟨xpdeğil,pj⟩{\ displaystyle h_ {j} \ mu _ {n, j} = \ langırt (a_ {n} x + b_ {n}) p_ {n} -p_ {n + 1}, p_ {j} \ aralık = a_ {n} \ langle xp_ {n}, p_ {j} \ rangle}(nedeniyle için j < n , p j dik olan p , n ve p , n + 1 ).
Ayrıca, skaler ürünün integral formu ile,
⟨xpdeğil,pj⟩=⟨pdeğil,xpj⟩.{\ displaystyle \ langle xp_ {n}, p_ {j} \ rangle = \ langle p_ {n}, xp_ {j} \ rangle.}İçin j < N için -1, bu sayısal ürün sıfırdır xp j <derece olduğu , n .
İçin j = n -1, bu eşittir , çünkü (başlangıçta aynı mantık ile) bir n -1 x p , n -1 - p , n en az derece olan n .
hdeğildedeğil-1{\ displaystyle {\ frac {h_ {n}} {a_ {n-1}}}}
Şu sonuca varabiliriz:
(dedeğilx+bdeğil)pdeğil-pdeğil+1=vsdeğilpdeğil-1,{\ görüntü stili (a_ {n} x + b_ {n}) p_ {n} -p_ {n + 1} = c_ {n} p_ {n-1}, \,}ile
vsdeğil=μdeğil,değil-1=dedeğilhdeğil-1 hdeğildedeğil-1=dedeğil(kdeğil-1hdeğilkdeğilhdeğil-1).{\ displaystyle c_ {n} = \ mu _ {n, n-1} = {\ frac {a_ {n}} {h_ {n-1}}} \ {\ frac {h_ {n}} {a_ { n-1}}} = a_ {n} \ sol ({\ frac {k_ {n-1} h_ {n}} {k_ {n} h_ {n-1}}} \ sağ).}
Bu sonuç, belirli ek koşullar altında, bu yinelemeyi karşılayan bir polinom dizisinin bir ortogonal polinom dizisi olduğunu (belirli bir ağırlıklandırma fonksiyonu W için ) öne süren Favard teoreminin tersini kabul eder .
Christoffel-Darboux çekirdeği
İçinde yer L 2 ile bağlantılı W , izin S , n ifade ortogonal projeksiyonu ile : herhangi bir işlev için ön şekilde ,
$değil[x]{\ displaystyle \ matematik {R} _ {n} [x]}∫debf2(x)W(x) dx<∞{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f ^ {2} (x) G (x) ~ \ matematik {d} x <\ infty}
(Sdeğilf)(x)=∑k=0değil⟨f,pk⟩hkpk(x)=∫debKdeğil(x,y)f(y)W(y) dy,{\ displaystyle (S_ {n} f) (x) = \ toplam _ {k = 0} ^ {n} {\ frac {\ langle f, p_ {k} \ rangle} {h_ {k}}} p_ { k} (x) = \ int _ {a} ^ {b} K_ {n} (x, y) f (y) W (y) ~ \ matematik {d} y,}burada K n , Christoffel - Darboux'un özüdür ve şu şekilde tanımlanır:
Kdeğil(x,y)=∑k=0değilpk(x)pk(y)hk.{\ displaystyle K_ {n} (x, y) = \ toplam _ {k = 0} ^ {n} {\ frac {p_ {k} (x) p_ {k} (y)} {h_ {k}} }.}Önceki yineleme ilişkisi daha sonra şunu göstermeyi mümkün kılar:
Kdeğil(x,y)=kdeğilkdeğil+1hdeğil pdeğil+1(x)pdeğil(y)-pdeğil(x)pdeğil+1(y)x-y,{\ displaystyle K_ {n} (x, y) = {\ frac {k_ {n}} {k_ {n + 1} h_ {n}}} \ {\ frac {p_ {n + 1} (x) p_ {n} (y) -p_ {n} (x) p_ {n + 1} (y)} {xy}},}
Kdeğil(x,x)=kdeğilkdeğil+1hdeğil (pdeğil+1′(x)pdeğil(x)-pdeğil′(x)pdeğil+1(x)).{\ displaystyle K_ {n} (x, x) = {\ frac {k_ {n}} {k_ {n + 1} h_ {n}}} \ (p '_ {n + 1} (x) p_ { n} (x) -p '_ {n} (x) p_ {n + 1} (x))).}
gösteri
Bu iki formülden birincisini (ikincisi, y'nin x'e doğru yönelmesiyle elde edilir ), n üzerinde tümevarım yoluyla kanıtlayalım . İçin n = -1 o (genel ile geçerlidir K -1 = 0). Sıra n -1'de bunun doğru olduğunu varsayalım ve bunu n düzeyinde kanıtlayın . p n +1 değiştirerek elde ederiz
pdeğil+1(x)pdeğil(y)-pdeğil(x)pdeğil+1(y)=dedeğil(x-y)pdeğil(x)pdeğil(y)-vsdeğil(pdeğil-1(x)pdeğil(y)-pdeğil(x)pdeğil-1(y)){\ displaystyle p_ {n + 1} (x) p_ {n} (y) -p_ {n} (x) p_ {n + 1} (y) = a_ {n} (xy) p_ {n} (x ) p_ {n} (y) -c_ {n} \ sol (p_ {n-1} (x) p_ {n} (y) -p_ {n} (x) p_ {n-1} (y) \ sağ) \,}tümevarım hipotezi ile,
-vsdeğil(pdeğil-1(x)pdeğil(y)-pdeğil(x)pdeğil-1(y))=vsdeğildedeğil-1hdeğil-1(x-y)Kdeğil-1(x,y)=dedeğilhdeğil(x-y)Kdeğil-1(x,y),{\ displaystyle -c_ {n} \ sol (p_ {n-1} (x) p_ {n} (y) -p_ {n} (x) p_ {n-1} (y) \ sağ) = c_ { n} a_ {n-1} h_ {n-1} (xy) K_ {n-1} (x, y) = a_ {n} h_ {n} (xy) K_ {n-1} (x, y ), \,}nereden
pdeğil+1(x)pdeğil(y)-pdeğil(x)pdeğil+1(y)dedeğilhdeğil(x-y)=pdeğil(x)pdeğil(y)hdeğil+Kdeğil-1(x,y)=Kdeğil(x,y).{\ displaystyle {\ frac {p_ {n + 1} (x) p_ {n} (y) -p_ {n} (x) p_ {n + 1} (y)} {a_ {n} h_ {n} (xy)}} = {\ frac {p_ {n} (x) p_ {n} (y)} {h_ {n}}} + K_ {n-1} (x, y) = K_ {n} ( x, y).}
Gerçek köklerin varlığı
Derecesi n , 1'den büyük veya ona eşit olan bir dizi dik polinomun herhangi bir polinomu , tümü gerçek ve kesinlikle integrasyon aralığının içinde yer alan n farklı kök kabul eder (bu dikkate değer bir özelliktir: yüksek dereceli bir polinom için nadirdir. tüm gerçek köklerine sahip olmak için katsayıları rastgele seçilmiştir).
Kök pozisyonu
Polinomların kökleri, aşağıdaki yüksek dereceli polinomun kökleri arasında kesinlikle bulunur.
gösteri
Önce tüm polinomları, baskın katsayı pozitif olacak şekilde (kökleri değiştirmeyen) standart bir forma koyuyoruz, sonra n üzerinde bir yineleme gerçekleştiriyoruz . For n = 0 kanıtlamak için hiçbir şey yoktur. n derecesine kadar edinilen mülkü varsayalım . Let x 1 <... < x , n ifade köklerini p , n ve y 0 <... < y , n kişilerce p , n + 1 . Yineleme bağıntısı (standartlaştırma seçimine göre) c n > 0 ile p n +1 ( x j ) = - c n p n –1 ( x j ) verir . Ancak, tümevarım hipotezi ile (–1) n - j p n –1 ( x j )> 0 . Biz anlamak (1) , n + 1- j p , n + 1 ( x j )> 0 . Ayrıca, ∀ x > y n , p n +1 ( x )> 0 ve ∀ x < y 0 , (–1) n +1 p n +1 ( x )> 0 . Bu, şu sonuca varmamızı sağlar: y 0 < x 1 < y 1 <... < x n < y n .
Başka bir ispat yöntemi, (tümevarım yoluyla veya daha basit olarak Christoffel-Darboux çekirdeğini kullanarak) tüm n ve tüm x için , p n +1 '( x ) p n ( x )> p n +1 ( x ) olduğunu kanıtlamaktır. ) p n '( x ) , p n +1 ' ( y j ) ve p n ( y j ) ' nin aynı işarete sahip olduğunu, böylece (–1) n - j p n ( y j ) > 0 olduğunu çıkarmak için , bu da p n'nin y j arasında kaybolduğu sonucunu çıkarmayı mümkün kılar .
Ortogonal polinomlara yol açan diferansiyel denklemler
Ortogonal polinomların önemli bir sınıfı , formun Sturm-Liouville diferansiyel denkleminden gelir .
S(x)f″+L(x)f′+λf=0{\ displaystyle {Q (x)} \, f '' + {L (x)} \, f '+ {\ lambda} f = 0 \,}burada Q , belirli bir ikinci dereceden polinomdur ve L, belirli bir doğrusal polinomdur. f işlevi bilinmiyor ve λ sabiti bir parametredir. Böyle bir denklem için bir polinom çözümünün a priori mümkün olduğunu, terimlerin derecelerinin uyumlu olduğunu görebiliriz. Ancak, λ belirli değerler almadıkça, bu diferansiyel denklemin çözümleri tekilliklere sahiptir. Bu değerlerin sırası λ 0 , λ 1 , λ 2 , vb. aşağıdaki ifadelerden biri doğruysa , P 0 , P 1 , P 2 ... bir dizi çözüm polinomuna yol açar :
-
Q gerçekten ikinci derecedendir ve iki farklı gerçek kökü vardır, L doğrusaldır ve kökü Q'nun iki kökü arasındadır ve Q ve L' nin en yüksek dereceli terimleri aynı işarete sahiptir.
-
Q, dörtgen şeklinde, fakat doğrusal L kökleri, doğrusal Q ve L farklıdır ve en yüksek derecede koşulları Q ve L kökü, aynı işarete sahip L daha küçük olan Q tersine, ya da tersine.
-
Q, sıfır olmayan bir polinom sabittir, L doğrusaldır ve en seçici terimi, L zıt işareti olan Q .
Bu üç durum sırasıyla Jacobi , Laguerre ve Hermite polinomlarına yol açar . Bu durumların her biri için:
- Çözelti polinom bir dizi p 0 , p 1 , p 2 ..., her bir p , n bir derecesine sahip olan , n , ve sayı X karşılık gelen , n ;
- Ortogonallik aralığı, Q'nun kökleri ile sınırlıdır ;
- L' nin kökü ortogonallik aralığının içindedir.
- Dikkat ederseniz , polinomlar ağırlık fonksiyonu altında ortogonaldir.$(x)=tecrübe(∫x0xL(t)S(t) dt){\ displaystyle R (x) = \ exp \ sol (\ int _ {x_ {0}} ^ {x} {\ frac {L (t)} {Q (t)}} ~ \ matematik {d} t \ sağ) \,}W(x)=$(x)S(x){\ displaystyle W (x) = {\ frac {R (x)} {Q (x)}} \,}
-
W ( x ) uçlarda olabilse de aralıkta kaybolamaz veya sonsuz bir değer alamaz.
-
W ( x ) aralık üzerinden pozitif olarak seçilebilir (gerekirse diferansiyel denklemi –1 ile çarpın)
İntegrasyon sabiti nedeniyle, R ( x ) miktarı bir çarpımsal sabite kadar tanımlanır. Aşağıdaki tablo , R ( x ) ve W ( x ) "resmi" değerlerini vermektedir .
Rodrigues Formülü
Önceki bölümün varsayımlarıyla,
P n ( x ) ile orantılıdır.1W(x) ddeğildxdeğil(W(x)[S(x)]değil){\ displaystyle {\ frac {1} {W (x)}} \ {\ frac {d ^ {n}} {dx ^ {n}}} \ sol (G (x) [Q (x)] ^ { n} \ sağ)}
Olinde Rodrigues'in adını taşıyan " Rodrigues formülü " olarak bilinen denklem . Genellikle yazılır:
Pdeğil(x)=1edeğilW(x) ddeğildxdeğil(W(x)[S(x)]değil){\ displaystyle P_ {n} (x) = {\ frac {1} {{e_ {n}} G (x)}} \ {\ frac {d ^ {n}} {dx ^ {n}}} \ sol (G (x) [Q (x)] ^ {n} \ sağ)}burada e n sayıları normalleştirmeye bağlıdır. Değerleri e n verilmiştir tablo altında.
Yukarıda üç durumda her doğrulayabileceğimiz bu formül, kanıtlamak için, p , n sağladığı gerçekten derece bir polinomdur n , o zaman, herhangi bir polinom için tekrarlanan parça ile integrasyonlanyla P ,
bir nedenle için eşit sıfır eğer P az derece olan n . Bu yöntem ayrıca şunu gösteriyor .
⟨1W(WSdeğil)(değil),P⟩{\ displaystyle \ sol \ langle {\ frac {1} {W}} (WQ ^ {n}) ^ {(n)}, P \ sağ \ rangle}(-1)değil⟨Sdeğil,P(değil)⟩,{\ displaystyle (-1) ^ {n} \ langle Q ^ {n}, P ^ {(n)} \ rangle,}hdeğiledeğil=(-1)değildeğil!kdeğil∫deb(S(x))değilW(x) dx{\ displaystyle h_ {n} e_ {n} = (- 1) ^ {n} n! k_ {n} \ int _ {a} ^ {b} (Q (x)) ^ {n} G (x) ~ \ matematik {d} x}
λ n sayıları
Bir önceki bölümün varsayımları ile,
λdeğil=değil(1-değil2 S″-L′){\ displaystyle {\ lambda} _ {n} = n \ sol ({\ frac {1-n} {2}} \ Q '' - L '\ sağ)}Q'nun ikinci dereceden ve L'nin lineer olduğuna , Q '' ve L' nin gerçekten sabit olduğuna dikkat edin.
diferansiyel denklemin ikinci formu
ile .
$(x)=tecrübe(∫x0xL(t)S(t) dt){\ displaystyle R (x) = \ exp \ sol (\ int _ {x_ {0}} ^ {x} {\ frac {L (t)} {Q (t)}} ~ \ matematik {d} t \ sağ) \,}
Yani
($y′)′=$y″+$′y′=$y″+$LSy′{\ görüntü stili (Ry ')' = R \, y '' + R '\, y' = R \, y '' + {\ frac {R \, L} {Q}} \, y '}Şimdi diferansiyel denklemi çarpıyoruz
Sy″+Ly′+λy=0{\ displaystyle {Q} \, y '' + {L} \, y '+ {\ lambda} \, y = 0 \,}tarafından R / S , elde ederiz
$y″+$LSy′+$λSy=0{\ displaystyle R \, y '' + {\ frac {R \, L} {Q}} \, y '+ {\ frac {R \, \ lambda} {Q}} \, y = 0 \,}veya
($y′)′+$λSy=0{\ displaystyle (Ry ')' + {\ frac {R \, \ lambda} {Q}} \, y = 0 \,}Bu, denklemin normalleştirilmiş Sturm-Liouville formudur .
Diferansiyel denklemin üçüncü şekli
Poz vererek .
S(x)=$(x)=tecrübe(∫x0xL(t)2S(t) dt){\ displaystyle S (x) = {\ sqrt {R (x)}} = \ exp \ left (\ int _ {x_ {0}} ^ {x} {\ frac {L (t)} {2 \, Q (t)}} ~ \ matematik {d} t \ sağ) \,}
Yani :
S′=SL2S.{\ displaystyle S '= {\ frac {S \, L} {2 \, Q}}.}Şimdi diferansiyel denklemi çarpıyoruz
Sy″+Ly′+λy=0{\ displaystyle {Q} \, y '' + {L} \, y '+ {\ lambda} \, y = 0 \,}tarafından S / Q elde ederiz:
Sy″+SLSy′+SλSy=0{\ displaystyle S \, y '' + {\ frac {S \, L} {Q}} \, y '+ {\ frac {S \, \ lambda} {Q}} \, y = 0 \,}veya
Sy″+2S′y′+SλSy=0{\ displaystyle S \, y '' + 2 \, S '\, y' + {\ frac {S \, \ lambda} {Q}} \, y = 0 \,}Ama , yani
(Sy)″=Sy″+2S′y′+S″y{\ görüntü stili (S \, y) '' = S \, y '' + 2 \, S '\, y' + S '' \, y}
(Sy)″+(SλS-S″)y=0,{\ displaystyle (S \, y) '' + \ sol ({\ frac {S \, \ lambda} {Q}} - S '' \ sağ) \, y = 0, \,}veya u = Sy ayarlayarak ,
sen″+(λS-S″S)sen=0.{\ displaystyle u '' + \ sol ({\ frac {\ lambda} {Q}} - {\ frac {S ''} {S}} \ sağ) \, u = 0. \,}
Klasik ortogonal polinomların tablosu
Yerleşim nedenleriyle bu tablo üç bölüme ayrılmıştır.
İsim ve sembol
|
Chebyshev , Tdeğil{\ görüntü stili \ T_ {n}}
|
Chebyshev (ikinci tür), sendeğil{\ görüntü stili \ U_ {n}}
|
Legendre , Pdeğil{\ görüntü stili \ P_ {n}}
|
Hermit (fiziksel form), Hdeğil{\ görüntü stili \ H_ {n}}
|
---|
ortogonallik sınırı |
-1,1{\ görüntü stili -1,1 \,}
|
-1,1{\ görüntü stili -1,1 \,}
|
-1,1{\ görüntü stili -1,1 \,} |
-∞,∞{\ görüntü stili - \ elli, \ elli}
|
Ağırlık, W(x){\ görüntü stili W (x) \,}
|
(1-x2)-1/2{\ görüntü stili (1-x ^ {2}) ^ {- 1/2} \,}
|
(1-x2)1/2{\ görüntü stili (1-x ^ {2}) ^ {1/2} \,}
|
1{\ görüntü stili 1 \,} |
e-x2{\ displaystyle e ^ {- x ^ {2}}}
|
Standardizasyon |
Tdeğil(1)=1{\ displaystyle T_ {n} (1) = 1 \,}
|
sendeğil(1)=değil+1{\ displaystyle U_ {n} (1) = n + 1 \,} |
Pdeğil(1)=1{\ displaystyle P_ {n} (1) = 1 \,}
|
Baskın katsayı = 2değil{\ displaystyle 2 ^ {n} \,}
|
Standart kare hdeğil{\ displaystyle h_ {n} \,}
|
{π: değil=0π/2: değil≠0{\ displaystyle \ left \ {{\ start {matrix} \ pi &: ~ n = 0 \\\ pi / 2 &: ~ n \ neq 0 \ end {matris}} \ sağ.}
|
π/2{\ görüntü stili \ pi / 2 \,} |
22değil+1{\ displaystyle {\ frac {2} {2n + 1}}}
|
2değildeğil!π{\ displaystyle 2 ^ {n} \, n! \, {\ sqrt {\ pi}}}
|
baskın katsayı kdeğil{\ görüntü stili k_ {n} \,}
|
2değil-1{\ displaystyle 2 ^ {n-1} \,} |
2değil{\ displaystyle 2 ^ {n} \,}
|
(2değil)!2değil(değil!)2{\ displaystyle {\ frac {(2n)!} {2 ^ {n} \, (n!) ^ {2}}} \,}
|
2değil{\ displaystyle 2 ^ {n} \,}
|
Sonraki katsayı kdeğil′{\ görüntü stili k '_ {n} \,}
|
0{\ görüntü stili 0 \,}
|
0{\ görüntü stili 0 \,}
|
0{\ görüntü stili 0 \,} |
0{\ görüntü stili 0 \,}
|
S{\ görüntü stili Q \,} |
1-x2{\ displaystyle 1-x ^ {2} \,}
|
1-x2{\ displaystyle 1-x ^ {2} \,}
|
1-x2{\ displaystyle 1-x ^ {2} \,} |
1{\ görüntü stili 1 \,}
|
L{\ görüntü stili L \,} |
-x{\ görüntü stili -x \,}
|
-3x{\ görüntü stili -3x \,}
|
-2x{\ görüntü stili -2x \,} |
-2x{\ görüntü stili -2x \,}
|
$(x)=e∫L(x)S(x) dx{\ displaystyle R (x) = e ^ {\ int {\ frac {L (x)} {Q (x)}} ~ \ matematik {d} x}}
|
(1-x2)1/2{\ görüntü stili (1-x ^ {2}) ^ {1/2} \,} |
(1-x2)3/2{\ görüntü stili (1-x ^ {2}) ^ {3/2} \,}
|
1-x2{\ displaystyle 1-x ^ {2} \,} |
e-x2{\ displaystyle e ^ {- x ^ {2}} \,}
|
Diferansiyel denklemde sabit, λdeğil{\ displaystyle {\ lambda} _ {n} \,}
|
değil2{\ görüntü stili n ^ {2} \,} |
değil(değil+2){\ görüntü stili n (n + 2) \,}
|
değil(değil+1){\ görüntü stili n (n + 1) \,} |
2değil{\ görüntü stili 2n \,}
|
Rodrigues formülünde sabit ,edeğil{\ görüntü stili e_ {n} \,}
|
(-2)değilΓ(değil+1/2)π{\ displaystyle (-2) ^ {n} \, {\ frac {\ Gama (n + 1/2)} {\ sqrt {\ pi}}} \,}
|
2(-2)değilΓ(değil+3/2)(değil+1)π{\ displaystyle 2 (-2) ^ {n} \, {\ frac {\ Gama (n + 3/2)} {(n + 1) \, {\ sqrt {\ pi}}}} \,}
|
(-2)değildeğil!{\ görüntü stili (-2) ^ {n} \, n! \,} |
(-1)değil{\ görüntü stili (-1) ^ {n} \,}
|
Tekrarlama ilişkisi, dedeğil{\ görüntü stili a_ {n} \,}
|
2{\ görüntü stili 2 \,} |
2{\ görüntü stili 2 \,}
|
2değil+1değil+1{\ görüntü stili {\ frac {2n + 1} {n + 1}} \,} |
2{\ görüntü stili 2 \,}
|
Tekrarlama ilişkisi, bdeğil{\ görüntü stili b_ {n} \,}
|
0{\ görüntü stili 0 \,} |
0{\ görüntü stili 0 \,}
|
0{\ görüntü stili 0 \,} |
0{\ görüntü stili 0 \,}
|
Tekrarlama ilişkisi, vsdeğil{\ displaystyle c_ {n} \,}
|
1{\ görüntü stili 1 \,} |
1{\ görüntü stili 1 \,}
|
değildeğil+1{\ görüntü stili {\ frac {n} {n + 1}} \,} |
2değil{\ görüntü stili 2n \,}
|
İsim ve sembol
|
Laguerre ortağı ,Ldeğil(α){\ displaystyle L_ {n} ^ {(\ alpha)}}
|
Laguerre , Ldeğil{\ görüntü stili \ L_ {n}}
|
---|
ortogonallik sınırları |
0,∞{\ Displaystyle 0, \ Infty \,}
|
0,∞{\ Displaystyle 0, \ Infty \,}
|
Ağırlık, W(x){\ görüntü stili W (x) \,}
|
xαe-x{\ displaystyle x ^ {\ alpha} e ^ {- x} \,}
|
e-x{\ görüntü stili e ^ {- x} \,}
|
Standardizasyon
|
Baskın katsayı = (-1)değildeğil!{\ displaystyle {\ frac {(-1) ^ {n}} {n!}} \,}
|
Baskın katsayı = (-1)değildeğil!{\ displaystyle {\ frac {(-1) ^ {n}} {n!}} \,}
|
Standart kare hdeğil{\ displaystyle h_ {n} \,}
|
1{\ görüntü stili 1 \,} |
1{\ görüntü stili 1 \,}
|
baskın katsayı kdeğil{\ görüntü stili k_ {n} \,}
|
(-1)değildeğil!{\ displaystyle {\ frac {(-1) ^ {n}} {n!}} \,} |
(-1)değildeğil!{\ displaystyle {\ frac {(-1) ^ {n}} {n!}} \,}
|
Sonraki katsayı kdeğil′{\ görüntü stili k '_ {n} \,}
|
(-1)değil+1(değil+α)(değil-1)!{\ displaystyle {\ frac {(-1) ^ {n + 1} (n + \ alpha)} {(n-1)!}} \,}
|
(-1)değil+1değil(değil-1)!{\ görüntü stili {\ frac {(-1) ^ {n + 1} n} {(n-1)!}} \,}
|
S{\ görüntü stili Q \,} |
x{\ görüntü stili x \,}
|
x{\ görüntü stili x \,}
|
L{\ görüntü stili L \,} |
α+1-x{\ görüntü stili \ alfa + 1-x \,}
|
1-x{\ displaystyle 1-x \,}
|
$(x)=e∫L(x)S(x) dx{\ displaystyle R (x) = e ^ {\ int {\ frac {L (x)} {Q (x)}} ~ \ matematik {d} x}}
|
xα+1e-x{\ displaystyle x ^ {\ alpha +1} \, e ^ {- x} \,} |
xe-x{\ görüntü stili x \, e ^ {- x} \,}
|
Diferansiyel denklemde sabit, λdeğil{\ displaystyle {\ lambda} _ {n} \,}
|
değil{\ görüntü stili n \,} |
değil{\ görüntü stili n \,}
|
Rodrigues ilişkisinde sabit, edeğil{\ görüntü stili e_ {n} \,}
|
değil!{\ görüntü stili n! \,} |
değil!{\ görüntü stili n! \,}
|
Tekrarlama ilişkisi, dedeğil{\ görüntü stili a_ {n} \,}
|
-1değil+1{\ displaystyle {\ frac {-1} {n + 1}} \,} |
-1değil+1{\ displaystyle {\ frac {-1} {n + 1}} \,}
|
Tekrarlama ilişkisi, bdeğil{\ görüntü stili b_ {n} \,}
|
2değil+1+αdeğil+1{\ displaystyle {\ frac {2n + 1 + \ alpha} {n + 1}} \,}
|
2değil+1değil+1{\ görüntü stili {\ frac {2n + 1} {n + 1}} \,}
|
Tekrarlama ilişkisi, vsdeğil{\ displaystyle c_ {n} \,}
|
değil+αdeğil+1{\ displaystyle {\ frac {n + \ alpha} {n + 1}} \,} |
değildeğil+1{\ görüntü stili {\ frac {n} {n + 1}} \,}
|
İsim ve sembol
|
Gegenbauer ,VSdeğil(α){\ displaystyle C_ {n} ^ {(\ alpha)}}
|
Jacobi ,Pdeğil(α,β){\ displaystyle P_ {n} ^ {(\ alpha, \ beta)}}
|
---|
ortogonallik sınırları |
-1,1{\ görüntü stili -1,1 \,}
|
-1,1{\ görüntü stili -1,1 \,}
|
Ağırlık, W(x){\ görüntü stili W (x) \,}
|
(1-x2)α-1/2{\ görüntü stili (1-x ^ {2}) ^ {\ alpha -1/2} \,}
|
(1-x)α(1+x)β{\ görüntü stili (1-x) ^ {\ alfa} (1 + x) ^ {\ beta} \,}
|
Standardizasyon
|
VSdeğil(α)(1)=Γ(değil+2α)değil!Γ(2α){\ displaystyle C_ {n} ^ {(\ alpha)} (1) = {\ frac {\ Gamma (n + 2 \ alpha)} {n! \, \ Gamma (2 \ alpha)}} \,} porsuk ağacı α≠0{\ displaystyle \ alpha \ neq 0}
|
Pdeğil(α,β)(1)=Γ(değil+1+α)değil!Γ(1+α){\ displaystyle P_ {n} ^ {(\ alpha, \ beta)} (1) = {\ frac {\ Gamma (n + 1 + \ alpha)} {n! \, \ Gamma (1+ \ alpha)} } \,}
|
Standardın karesi, hdeğil{\ displaystyle h_ {n} \,}
|
π21-2αΓ(değil+2α)değil!(değil+α)(Γ(α))2{\ displaystyle {\ frac {\ pi \, 2 ^ {1-2 \ alpha} \ Gamma (n + 2 \ alpha)} {n! (n + \ alpha) (\ Gamma (\ alpha)) ^ {2 } }}}
|
2α+β+1Γ(değil+α+1)Γ(değil+β+1)değil!(2değil+α+β+1)Γ(değil+α+β+1){\ displaystyle {\ frac {2 ^ {\ alpha + \ beta +1} \, \ Gamma (n \! + \! \ alpha \! + \! 1) \, \ Gamma (n \! + \! \ beta \! + \! 1)} {n! (2n \! + \! \ alpha \! + \! \ beta \! + \! 1) \ Gama (n \! + \! \ alpha \! + \ ! \ beta \! + \! 1)}}}
|
baskın katsayı kdeğil{\ görüntü stili k_ {n} \,}
|
Γ(2değil+2α)Γ(1/2+α)değil!2değilΓ(2α)Γ(değil+1/2+α){\ displaystyle {\ frac {\ Gamma (2n + 2 \ alpha) \ Gamma (1/2 + \ alpha)} {n! \, 2 ^ {n} \, \ Gamma (2 \ alpha) \ Gamma (n + 1/2 + \ alfa)}} \,}
|
Γ(2değil+1+α+β)değil!2değilΓ(değil+1+α+β){\ displaystyle {\ frac {\ Gamma (2n + 1 + \ alpha + \ beta)} {n! \, 2 ^ {n} \, \ Gamma (n + 1 + \ alpha + \ beta)}} \, }
|
Sonraki katsayı kdeğil′{\ görüntü stili k '_ {n} \,}
|
0{\ görüntü stili 0 \,}
|
(α-β)Γ(2değil+α+β)(değil-1)!2değilΓ(değil+1+α+β){\ displaystyle {\ frac {(\ alpha - \ beta) \, \ Gamma (2n + \ alpha + \ beta)} {(n-1)! \, 2 ^ {n} \, \ Gamma (n + 1 + \ alfa + \ beta)}} \,}
|
S{\ görüntü stili Q \,} |
1-x2{\ displaystyle 1-x ^ {2} \,}
|
1-x2{\ displaystyle 1-x ^ {2} \,}
|
L{\ görüntü stili L \,} |
-(2α+1)x{\ görüntü stili - (2 \ alfa +1) \, x \,}
|
β-α-(α+β+2)x{\ displaystyle \ beta - \ alpha - (\ alpha + \ beta +2) \, x \,}
|
$(x)=e∫L(x)S(x) dx{\ displaystyle R (x) = e ^ {\ int {\ frac {L (x)} {Q (x)}} ~ \ matematik {d} x}}
|
(1-x2)α+1/2{\ görüntü stili (1-x ^ {2}) ^ {\ alpha +1/2} \,}
|
(1-x)α+1(1+x)β+1{\ displaystyle (1-x) ^ {\ alpha +1} (1 + x) ^ {\ beta +1} \,}
|
Diferansiyel denklemde sabit, λdeğil{\ displaystyle {\ lambda} _ {n} \,}
|
değil(değil+2α){\ görüntü stili n (n + 2 \ alfa) \,} |
değil(değil+1+α+β){\ displaystyle n (n + 1 + \ alpha + \ beta) \,}
|
Rodrigues denkleminde sabit, edeğil{\ görüntü stili e_ {n} \,}
|
(-2)değildeğil!Γ(2α)Γ(değil+1/2+α)Γ(değil+2α)Γ(α+1/2){\ displaystyle {\ frac {(-2) ^ {n} \, n! \, \ Gamma (2 \ alpha) \, \ Gamma (n \! + \! 1/2 \! + \! \ alpha) } {\ Gamma (n \! + \! 2 \ alpha) \ Gamma (\ alpha \! + \! 1/2)}}}
|
(-2)değildeğil!{\ görüntü stili (-2) ^ {n} \, n! \,}
|
Tekrarlama ilişkisi, dedeğil{\ görüntü stili a_ {n} \,}
|
2(değil+α)değil+1{\ displaystyle {\ frac {2 (n + \ alpha)} {n + 1}} \,}
|
(2değil+1+α+β)(2değil+2+α+β)2(değil+1)(değil+1+α+β){\ displaystyle {\ frac {(2n + 1 + \ alpha + \ beta) (2n + 2 + \ alpha + \ beta)} {2 (n + 1) (n + 1 + \ alpha + \ beta)}} }
|
Tekrarlama ilişkisi, bdeğil{\ görüntü stili b_ {n} \,}
|
0{\ görüntü stili 0 \,}
|
(α2-β2)(2değil+1+α+β)2(değil+1)(2değil+α+β)(değil+1+α+β){\ displaystyle {\ frac {({\ alpha} ^ {2} - {\ beta} ^ {2}) (2n + 1 + \ alpha + \ beta)} {2 (n + 1) (2n + \ alpha + \ beta) (n + 1 + \ alfa + \ beta)}}}
|
Tekrarlama ilişkisi, vsdeğil{\ displaystyle c_ {n} \,}
|
değil+2α-1değil+1{\ displaystyle {\ frac {n + 2 {\ alpha} -1} {n + 1}} \,}
|
(değil+α)(değil+β)(2değil+2+α+β)(değil+1)(değil+1+α+β)(2değil+α+β){\ displaystyle {\ frac {(n + \ alpha) (n + \ beta) (2n + 2 + \ alpha + \ beta)} {(n + 1) (n + 1 + \ alpha + \ beta) (2n + \ alfa + \ beta)}}}
|
genellemeler
Çoklu integraller kullanarak çok değişkenli ortogonal polinomları tanımlamak mümkündür . Bu, örneğin geometrik optik ve oftalmolojide faydalı olan Zernike polinomları veya daha genel olarak küresel harmoniklerin durumudur .
Not
-
örneğin sorusu II- 2 Bkz bu sorunun bir CAPES 2000 harici ( 1 st testi) ve onun düzeltilmiş veya egzersiz düzeltilmiş Vikisözlük üzerinde .
Ekler
Fransızca Bibliyografya
- Jean Dieudonné, “ Devamlı kesirler ve ortogonal polinomlar” , EN Laguerre'de, Ortogonal polinomlar ve uygulamalar , Springer,1985( çevrimiçi okuyun ) , s. 1-15
- Jean-Louis Ovaert, Ortogonal polinomlar , matematik, cebir, analiz, geometri sözlüğünde , Albin Michel ve Encyclopædia Universalis , Paris, 1997
İngilizce Bibliyografya
- (tr) Milton Abramowitz ve Irene Stegun , Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs ve Mathematical Tables [ baskı ayrıntısı ] ( çevrimiçi okuyun ) , bölüm. 22 (“Ortogonal Polinomlar”) , s. 773-792
- (tr) Theodore Seio Chihara (tr) , Ortogonal Polinomlara Giriş , Dover Publications ,2011( 1 st ed. 1978), 270 , s. ( ISBN 978-0-486-47929-3 , çevrimiçi okuyun )
- (tr) Mourad EH Ismail (tr) , Bir Değişkende Klasik ve Kuantum Ortogonal Polinomlar , Cambridge (GB), Cambridge University Press , col. "Matematik Ansiklopedisi ve Uygulamaları" ( n o 98)2005, 706 s. ( ISBN 978-0-521-78201-2 , çevrimiçi okuyun )
- (tr) Tom H. Koornwinder (de) , Roderick SC Wong, Roelof Koekoek ve René F. Swarttouw, bölüm. 18 “Ortogonal Polinomlar” , Frank WJ Olver ve ark. , Sayısal Matematiksel Fonksiyonlar Kütüphanesi ( çevrimiçi oku )
- (tr) Qazi Ibadur Rahman ve Gerhard Schmeisser, Polinomların Analitik Teorisi , Oxford University Press ,2002( çevrimiçi okuyun )
- (tr) PK Suetin , “Ortogonal polinomlar” , içinde Michiel Hazewinkel , Encyclopædia of Mathematics , Springer ,2002( ISBN 978-1556080104 , çevrimiçi okuyun )
- (tr) Gábor Szegő , Ortogonal Polinomlar , AMS , col . "Kolokyum Yayınları" ( n o 23),1939( ISBN 978-0-8218-1023-1 , çevrimiçi okuyun )
İlgili Makaleler
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">