simetrik polinom

Gelen matematik , bir simetrik polinom a, çeşitli değişkenli polinom ile, değişmez permütasyon da değişkenli arasında. Özellikle katsayılar ve kökler arasındaki ilişkilerde rol oynarlar .

Tanım

Let A aşağıdaki bir birleşik değişmeli halka . Bir polinom S ( T 1 , ..., T N olarak) n katsayılı belirsiz A simetrik olduğu söylenen bir eğer için bir permütasyon s indeksleri {1, ..., kümesinin n }, aşağıdaki eşitlik geçerlidir:

{\ displaystyle Q (T_ {1}, \ nokta, T_ {n}) = Q (T_ {s (1)}, \ nokta, T_ {s (n)}).}

Örnekler

İçin n = 1 ise, bir polinom simetriktir.
İçin n = 2, polinom T 1 + T 2 polinom ise simetriktir T 1 + T 2 2 değildir.
İçin n = 3, polinom ( T 1 - T 2 ) 2 ( T 1 - T 3 ) 2 ( T 2 - T 3 ) 2 simetriktir;
Simetrik polinomların önemli bir sınıfı oluşur Newton toplamları ile tanımlanan, s k ( T 1 , ..., T , n ) = T ı k . ${\ displaystyle \ Sigma _ {i = 1} ^ {n}}$

Temel simetrik polinomlar

Simetrik polinomlar , A [ T 1 , ..., T n ]' nin bir alt A - ilişkisel cebir birimini oluşturur . Aşağıda göreceğimiz gibi, temel simetrik polinomlar tarafından bir üretici aile verilir.

Tanım

0 ≤ k ≤ n için , n değişkenli k -inci temel simetrik polinom , σ n , k ( T 1 ,…, T n ), ki biz bunu daha basit bir şekilde σ k ( T 1 ,…, T n ) olarak belirteceğiz tüm ürünlerin toplamı k bu değişkenlerin, işaret ederek, demek ki kümesini kombinasyonları arasında k kümesinden alınan sayılar {1, 2, ..., n }: ${\ görüntü stili {\ matematik {P}} _ {k} (\ {1, \ nokta, n \})}$

{\ displaystyle \ sigma _ {k} (T_ {1}, \ dots, T_ {n}) = \ sum _ {I \ in {\ mathcal {P}} _ {k} (\ {1, \ nokta, n \})} \ prod _ {i \ in I} T_ {i} = \ toplam _ {1 \ leq i_ {1} <i_ {2} <\ cdots <i_ {k} \ leq n} T_ {i_ {1}} T_ {i_ {2}} \ cdots T_ {i_ {k}}.}

Bir permütasyon çünkü bu polinom, gerçekten de simetriktir simetrik grubunun S , n bijectively başka üzerine bu tür bir kombinasyon gönderir.

Örnekler

${\ displaystyle \ sigma _ {0} (T_ {1}, \ nokta, T_ {n}) = 1}$ ;
${\ displaystyle \ sigma _ {n} (T_ {1}, \ dots, T_ {n}) = T_ {1} \ cdots T_ {n}}$ ;
${\ displaystyle \ sigma _ {k} (T_ {1}, \ nokta, T_ {n}) = 0}$ eğer ; $k> n$
${\ displaystyle \ sigma _ {1} (T_ {1}, \ dots, T_ {n}) = T_ {1} + \ cdots + T_ {n} = \ toplam _ {1 \ leq i \ leq n} T_ {ben}}$ ;
σ2(T1,...,Tdeğil)=∑1≤ben<j≤değilTbenTj{\ displaystyle \ sigma _ {2} (T_ {1}, \ nokta, T_ {n}) = \ toplam _ {1 \ leq ben <j \ leq n} T_ {i} T_ {j}} ${\ displaystyle \ sigma _ {2} (T_ {1}, \ nokta, T_ {n}) = \ toplam _ {1 \ leq ben <j \ leq n} T_ {i} T_ {j}}$ ,
- Eğer , n = 3 , ${\ displaystyle \ sigma _ {2} (T_ {1}, T_ {2}, T_ {3}) = T_ {1} T_ {2} + T_ {1} T_ {3} + T_ {2} T_ { 3}}$
- Durum n = 4 :; ${\ displaystyle \ sigma _ {2} (T_ {1}, T_ {2}, T_ {3}, T_ {4}) = T_ {1} T_ {2} + T_ {1} T_ {3} + T_ {1} T_ {4} + T_ {2} T_ {3} + T_ {2} T_ {4} + T_ {3} T_ {4}}$
σ3(T1,...,Tdeğil)=∑1≤ben<j<ben≤değilTbenTjTben{\ displaystyle \ sigma _ {3} (T_ {1}, \ nokta, T_ {n}) = \ toplam _ {1 \ leq i <j <l \ leq n} T_ {i} T_ {j} T_ { ben}} ${\ displaystyle \ sigma _ {3} (T_ {1}, \ nokta, T_ {n}) = \ toplam _ {1 \ leq i <j <l \ leq n} T_ {i} T_ {j} T_ { ben}}$ ,
- Eğer n, 4 =: . ${\ displaystyle \ sigma _ {3} (T_ {1}, T_ {2}, T_ {3}, T_ {4}) = T_ {1} T_ {2} T_ {3} + T_ {1} T_ { 2} T_ {4} + T_ {1} T_ {3} T_ {4} + T_ {2} T_ {3} T_ {4}}$

Temel simetrik polinomların eşdeğer bir tanımı şöyledir:

{\ displaystyle \ prod _ {i = 1} ^ {n} (X + T_ {i}) = \ toplam _ {k = 0} ^ {n} \ sigma _ {k} (T_ {1}, \ nokta , T_ {n}) X ^ {nk}.}

Örnekler

n = 1 :; ${\ displaystyle X + T = X + \ destek {T} _ {\ sigma _ {1} (T)}}$
n = 2 :; ${\ displaystyle (X + T_ {1}) (X + T_ {2}) = X ^ {2} + \ alt destek {(T_ {1} + T_ {2})} _ {\ sigma _ {1} ( T_ {1}, T_ {2})} X + \ alt destek {T_ {1} T_ {2}} _ {\ sigma _ {2} (T_ {1}, T_ {2})}}$
n = 3 . ${\ displaystyle (X + T_ {1}) (X + T_ {2}) (X + T_ {3}) = X ^ {3} + \ alt destek {(T_ {1} + T_ {2} + T_ { 3})} _ {\ sigma _ {1} (T_ {1}, T_ {2}, T_ {3})} X ^ {2} + \ alt destek {(T_ {1} T_ {2} + T_ { 1} T_ {3} + T_ {2} T_ {3})} _ {\ sigma _ {2} (T_ {1}, T_ {2}, T_ {3})} X + \ alt destek {T_ {1 } T_ {2} T_ {3}} _ {\ sigma _ {3} (T_ {1}, T_ {2}, T_ {3})}}$

Bu tanıma göre, n dereceli bir birim polinomu R ( X ) belirsiz bir çarpanlara ayırmayı kabul ediyorsa

{\ displaystyle R (X) = X ^ {n} + \ toplam _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} X ^ {nk} = \ prod _ {i = 1} ^ {n} (X -z_ {i})}

derece 1 faktörlerinde, o zaman polinom R'nin katsayıları köklerin simetrik fonksiyonları olarak verilir z i , yani:

{\ displaystyle a_ {k} = (- 1) ^ {k} \ sigma _ {k} (z_ {1}, \ nokta, z_ {n}).}

teorem

Herhangi bir simetrik polinom için Q ( T 1 , ..., T , n katsayılı) A , benzersiz bir polinom vardır P olarak N katsayılı belirsiz bir şekilde

{\ displaystyle Q (T_ {1}, \ ldots, T_ {n}) = P (\ sigma _ {1} (T_ {1}, \ ldots, T_ {n}), \ ldots, \ sigma _ {n } (T_ {1}, \ ldots, T_ {n})).}

Daha resmi olarak: cebirlerin morfizmi

{\ displaystyle A [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}] \ to A [T_ {1}, \ ldots, T_ {n}]}

{\ displaystyle P (X_ {1}, \ ldots, X_ {n}) \ mapto P (\ sigma _ {1} (T_ {1}, \ ldots, T_ {n}), \ ldots, \ sigma _ { n} (T_ {1}, \ ldots, T_ {n}))}

injektiftir ve görüntü için simetrik polinomların alt cebirine sahiptir.

Veya, temel simetrik polinomların işaretleri> 0 simetrik polinomların birim alt cebirini oluşturur ve A üzerinde cebirsel olarak bağımsızdır . Bu sonuca bazen simetrik polinomların temel teoremi denir .

Bir öncekiyle ilişkili bir başka ünlü üreteç sistemi, A'nın rasyonel sayılar alanını içermesi durumunda Newton'un toplamlarından oluşur .

Referans

Serge Lang , Cebir [ baskıların detayı ], bölüm V, § 9

İlgili makale

Polinom dönüşümlü (in)