Katsayılar ve kökler arasındaki ilişkiler
Bir K alanı üzerindeki bir derece polinomu en genel haliyle yazılır:
P{\ displaystyle P}değil{\ displaystyle n}
P=-dedeğilXdeğil+-dedeğil-1Xdeğil-1+⋯+-de0{\ displaystyle P = a_ {n} X ^ {n} + a_ {n-1} X ^ {n-1} + \ cdots + a_ {0} \,}
katsayısı nerede denir .
-deben{\ displaystyle a_ {i}}xben{\ displaystyle x ^ {i}}
Eğer bölünmüş durumda, biz de onun sayesinde tanımlayabilirsiniz kökleri , bunun değerler kümesini demek ki hangi iptal . Bu nedenle, d'Alembert-Gauss teoremi , karmaşık katsayılara sahip herhangi bir derece polinomunun tam olarak köklere , muhtemelen çokluya izin verdiğini garanti eder ( diğer yandan, bu her zaman doğru değildir). Karmaşık katsayılara sahip bir polinomun yeniden yazılabileceğini takip eder:
P{\ displaystyle P}x{\ displaystyle x}P{\ displaystyle P}değil{\ displaystyle n}değil{\ displaystyle n}VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}P{\ displaystyle P}
P=-dedeğil(X-x1)(X-x2)⋯(X-xdeğil){\ displaystyle P = a_ {n} (X-x_ {1}) (X-x_ {2}) \ cdots (X-x_ {n})},
ile köklerinin olasılıkla birden fazla,. Katsayılar ve kökler arasındaki ilişkiler , pozitif kökler durumunda ilk ifade edilen François Viète adını taşır .
xben{\ displaystyle x_ {i}}P{\ displaystyle P}
Viet İlişkileri
Simetrik polinomlar
Simetrik polinomu, çarpılan öğelerinin toplamı olarak tanımlıyoruz . Örneğin, simetrik polinomlar değişkenlerle birlikte , , ve şunlardır:
k{\ displaystyle k}σk{\ displaystyle \ sigma _ {k}}k{\ displaystyle k}w{\ displaystyle w}x{\ displaystyle x}y{\ displaystyle y}z{\ displaystyle z}
σ1=w+x+y+z{\ displaystyle \ sigma _ {1} = w + x + y + z},
σ2=wx+wy+wz+xy+xz+yz{\ displaystyle \ sigma _ {2} = wx + wy + wz + xy + xz + yz},
σ3=wxy+wyz+xyz+xzw{\ displaystyle \ sigma _ {3} = wxy + wyz + xyz + xzw},
σ4=wxyz{\ displaystyle \ sigma _ {4} = wxyz}.
Daha genel olarak,
σ1=∑ben=1değilxben{\ displaystyle \ sigma _ {1} = \ toplam _ {i = 1} ^ {n} x_ {i}},
σ2=∑1≤ben<j≤değilxbenxj{\ displaystyle \ sigma _ {2} = \ toplam _ {1 \ leq i <j \ leq n} x_ {i} x_ {j}},
⋮{\ displaystyle \ vdots}
σk=∑1≤ben1<⋯<benk≤değilxben1xben2...xbenk{\ displaystyle \ sigma _ {k} = \ sum _ {1 \ leq i_ {1} <\ cdots <i_ {k} \ leq n} x_ {i_ {1}} x_ {i_ {2}} \ ldots x_ {i_ {k}}},
⋮{\ displaystyle \ vdots}
σdeğil=x1x2...xdeğil{\ displaystyle \ sigma _ {n} = x_ {1} x_ {2} \ ldots x_ {n}}.
Teoremi
Izin derece bölünmüş polinom ve onun kökleri, belki birden. Yani,
P{\ displaystyle P}değil{\ displaystyle n}xben{\ displaystyle x_ {i}}değil{\ displaystyle n}
σk=(-1)k-dedeğil-k-dedeğil{\ displaystyle \ sigma _ {k} = (- 1) ^ {k} {\ frac {a_ {nk}} {a_ {n}}}}.
Bu ilişkiler, ürünün geliştirilmesiyle ve genleşme katsayılarının (köklerin simetrik polinomlarından ifade edilen) katsayıları ile belirlenmesiyle kanıtlanır .
P=-dedeğil(X-x1)(X-x2)⋯(X-xdeğil){\ displaystyle P = a_ {n} (X-x_ {1}) (X-x_ {2}) \ cdots (X-x_ {n})}P=-dedeğilXdeğil+-dedeğil-1Xdeğil-1+⋯+-de0{\ displaystyle P = a_ {n} X ^ {n} + a_ {n-1} X ^ {n-1} + \ cdots + a_ {0}}
Örnekler
- Dava . Öyleyse ve kökleri. Yani,
değil=2{\ displaystyle n = 2}P=-deX2+bX+vs{\ displaystyle P = aX ^ {2} + bX + c}x1,x2{\ displaystyle x_ {1}, x_ {2}}
x1+x2=-b-de{\ displaystyle x_ {1} + x_ {2} = - {\ frac {b} {a}}},
x1x2=vs-de{\ displaystyle x_ {1} x_ {2} = {\ frac {c} {a}}}.
- Dava . Öyleyse ve kökleri. Yani,
değil=3{\ displaystyle n = 3}P=-deX3+bX2+vsX+d{\ displaystyle P = aX ^ {3} + bX ^ {2} + cX + d}x1,x2,x3{\ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}}
x1+x2+x3=-b-de{\ displaystyle x_ {1} + x_ {2} + x_ {3} = - {\ frac {b} {a}}},
x1x2+x1x3+x2x3=vs-de{\ displaystyle x_ {1} x_ {2} + x_ {1} x_ {3} + x_ {2} x_ {3} = {\ frac {c} {a}}},
x1x2x3=-d-de{\ displaystyle x_ {1} x_ {2} x_ {3} = - {\ frac {d} {a}}}.
Newton toplamları
Giriş örneği
Biz polinomu vermek ile , , kökleri. Toplamı belirlemek istiyoruz . Bunun için şu kimliğe sahibiz:
P=X3+2X2+3X+4{\ displaystyle P = X ^ {3} + 2X ^ {2} + 3X + 4}-de{\ displaystyle a}b{\ displaystyle b}vs{\ displaystyle c}-de2+b2+vs2{\ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}}
-de2+b2+vs2=(-de+b+vs)2-2(-deb+-devs+bvs){\ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} = (a + b + c) ^ {2} -2 (ab + ac + bc)},
böylece Viète ilişkilerine göre:
-de2+b2+vs2=(-2)2-2⋅3=-2{\ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} = (- 2) ^ {2} -2 \ cdot 3 = -2}.
Teoremi
Newton'un toplamları bu ilkenin bir genellemesidir. Biz set nerede, kökleri olan (özellikle ). Örnekte sunulan yöntem genelleştirilmiştir, ancak hesaplamalar karmaşık hale gelir. Öte yandan, bunu aşağıdakiler için doğrudan gösterebiliriz :
sk=x1k+⋯+xdeğilk{\ displaystyle s_ {k} = x_ {1} ^ {k} + \ cdots + x_ {n} ^ {k}}xben{\ displaystyle x_ {i}}P=-dedeğilXdeğil+-dedeğil-1Xdeğil-1+...+-de0{\ displaystyle P = a_ {n} X ^ {n} + a_ {n-1} X ^ {n-1} + \ ldots + a_ {0}}s0=değil{\ displaystyle s_ {0} = n}d≤değil{\ displaystyle d \ leq n}
-dedeğils1+-dedeğil-1=0{\ displaystyle a_ {n} s_ {1} + a_ {n-1} = 0},
-dedeğils2+-dedeğil-1s1+2-dedeğil-2=0{\ displaystyle a_ {n} s_ {2} + a_ {n-1} s_ {1} + 2a_ {n-2} = 0},
-dedeğils3+-dedeğil-1s2+-dedeğil-2s1+3-dedeğil-3=0{\ displaystyle a_ {n} s_ {3} + a_ {n-1} s_ {2} + a_ {n-2} s_ {1} + 3a_ {n-3} = 0},
⋮{\ displaystyle \ vdots}
-dedeğilsd+-dedeğil-1sd-1+...+-dedeğil-d+1s1+d-dedeğil-d=0{\ displaystyle a_ {n} s_ {d} + a_ {n-1} s_ {d-1} + \ ldots + a_ {n-d + 1} s_ {1} + da_ {nd} = 0}.
Kök sürekliliği
Polinom ifadeleri nedeniyle, karmaşık katsayılı bir polinomun katsayıları, köklerinin sürekli işlevleridir. Sohbet doğrudur ancak kanıtlanması daha zordur. Şu şekilde tanımlanan uygulamayı düşünün :
F:VSdeğil→VSdeğil{\ displaystyle F: \ mathbb {C} ^ {n} \ - \ mathbb {C} ^ {n}}
F(z1,...,zdeğil)=(-σ1,σ2,...,(-1)değilσdeğil){\ displaystyle F (z_ {1}, \ noktalar, z_ {n}) = (- \ sigma _ {1}, \ sigma _ {2}, \ noktalar, (- 1) ^ {n} \ sigma _ { değil})}burada tanımlanan temel simetrik polinomlar . birim polinom katsayılarının listesini verir (1'e eşit baskın katsayı hariç). Göre d'Alembert teoremine , bu haritanın örten. Polinomun katsayıları köklerin sürekli fonksiyonları olduğundan F süreklidir. Kanonik çarpanlara ait F potansiyel tanıtmak aşağıdaki denklik ilişkisini başlayan sette arasında F :
σben{\ displaystyle \ sigma _ {i}}(z1,...,zdeğil){\ displaystyle (z_ {1}, \ noktalar, z_ {n})}F(z1,...,zdeğil){\ displaystyle F (z_ {1}, \ noktalar, z_ {n})} (X-z1)⋯(X-zdeğil){\ displaystyle (X-z_ {1}) \ cdots (X-z_ {n})}VSdeğil{\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}
(z1,...,zdeğil)R(z1′,...,zdeğil′)⟺F(z1,...,zdeğil)=F(z1′,...,zdeğil′)⟺∃φ∈Sdeğil,∀ben,zben′=zφ(ben){\ displaystyle (z_ {1}, \ noktalar, z_ {n}) {\ mathcal {R}} (z_ {1} ', \ noktalar, z_ {n}') \ iff F (z_ {1}, \ noktalar, z_ {n}) = F (z_ {1} ', \ noktalar, z_ {n}') \ iff \ var \ varphi \ {\ mathfrak {S}} _ {n} içinde, \ forall i, z_ {i} '= z _ {\ varphi (i)}}burada bir simetrik grup sette endeksleri. Bize göstermek Let bölüm kümesi . Bu kümeye bölüm topolojisi verelim . F şeklinde etki eder , kanonik projeksiyonu ile ve F uygulama içinde temsil edilen bir eşdeğerlik sınıfına, burada ortakları karşılık gelen temel simetrik polinomlar dizisi. Daha sonra F'nin permütasyona kadar polinomun kök kümesi ile polinom katsayıları kümesi arasında bir homeomorfizm olduğunu gösterebiliriz .
Sdeğil{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {n}}{ben,...,değil}{\ displaystyle \ {i, \ noktalar, n \}}VSdeğil/Sdeğil{\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n} / {\ mathfrak {S}} _ {n}}F¯∘π{\ displaystyle {\ overline {F}} \ circ \ pi}π{\ displaystyle \ pi}VSdeğil{\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}VSdeğil/Sdeğil{\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n} / {\ mathfrak {S}} _ {n}}VSdeğil/Sdeğil{\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n} / {\ mathfrak {S}} _ {n}}VSdeğil{\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}(z1⋯,zdeğil){\ displaystyle (z_ {1} \ cdots, z_ {n})}VSdeğil/Sdeğil{\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n} / {\ mathfrak {S}} _ {n}}VSdeğil{\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}
Notlar ve referanslar
-
Eğer bunun üzerine kendini yere yeterli, split değil cebirsel kapatılması ait K o kadar olmak üzere.P{\ displaystyle P}
-
Örneğin Wikiversity'deki ikinci dereceden bir polinom için katsayı-kök ilişkilerine bakın .
-
Örneğin Wikiversity'de 3. dereceden bir polinom için katsayı-kök ilişkilerine bakınız .
-
Pelet , " katsayılarının bir fonksiyonu olarak bir denklemin köklerinin benzer güçlerin toplamı, İfadesi ", Yeni matematik annals , 2 nd serisi, vol. 14,1875, s. 259-265 ( çevrimiçi okuyun ).
-
Vincent Pilaud, " Bir polinomun köklerinin sürekliliği " ,2006( 11 Nisan 2018'de erişildi ) .
İlgili makale
Viète Atlama
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">