Fraktal çokyüzlü
Bir fraktal polihedron bir başlangıç çokgen gelen iteratif inşa polyhedra bağlı bir kendine benzer kümesidir.
Fraktal Polyhedra İnşaatı
Izin vermek n dereceli bir çokyüzlü , n not edilmiş köşeleri ile . İlişkili fraktal polihedron iteratif Bu çokgen n bir sistem uygulanarak oluşturulur homotheties üzerinde orantıya ait, örneğin:
P{\ displaystyle P}Sben{\ displaystyle S_ {i}} Hben{\ displaystyle H_ {i}}R3{\ displaystyle \ scriptstyle {\ mathbb {R} ^ {3}}}R{\ displaystyle R}
- ispatlarda merkez üst olduğunu .Hben{\ displaystyle H_ {i}}Sben{\ displaystyle S_ {i}}
- oran , görüntü çokyüzlülerinin herhangi ikisinin kesişiminin sıfır hacimde olacağı şekilde en büyük orandır.R{\ displaystyle R}
Bu nedenle oran belirlenir, böylece set sadece bağlanır, kesişimler nokta veya kenarlarla sınırlandırılır.
Biz homotheties den tanımlamak yeni bir fonksiyon , aynı zamanda , Sözleşme ilgili sahip Hausdorff mesafe ifadesi ile, . benzer bir n polihedra kümesidir .
Hben{\ displaystyle H_ {i}}H{\ displaystyle H}R3{\ displaystyle \ scriptstyle {\ mathbb {R} ^ {3}}}H(P)=⋃ben=1değilHben(P){\ displaystyle \ scriptstyle {H (P) = \ bigcup _ {i = 1} ^ {n} H_ {i} (P)}}H(P){\ displaystyle H (P)}P{\ displaystyle P}
Sabit nokta teoremi bir varlığını ve tekliğini sağlar sabit alt- bölgesinin , öyle ki . adı çekici olarak bir tekrarlanır fonksiyonları sistemi H. yakınında, pratikte, K sınırı olarak elde edilir için burada olan bir kompakt , örneğin çokgen gibi .
F{\ displaystyle F}R3{\ displaystyle \ scriptstyle {\ mathbb {R} ^ {3}}}H(F)=F{\ displaystyle H (F) = F}F{\ displaystyle F}Hdeğil(F0){\ displaystyle H ^ {n} (F_ {0})}değil→∞{\ displaystyle n \ ila \ infty}F0{\ displaystyle F_ {0}}P{\ displaystyle P}
Her bir platonik çokyüzlü için, küpün dikkate değer istisnası dışında, sonsuza kadar yineleyerek, ortaya çıkan küme bir fraktal kümedir. Bağlı bir set elde etmek için küp için gerekli homotite oranı 1/2 olacaktır. Ancak ortaya çıkan set küpün kendisidir ve bu nedenle fraktal değildir.
Platonik Fraktal Çokyüzlü
Platonik bir fraktal çokyüzlü, düzenli bir dışbükey çokyüzlüden kaynaklanan bir fraktal çokyüzlü olarak adlandırıyoruz. Küp, yukarıda bahsedilen kurallara göre fraktal bir set oluşturmaz.
|
Fraktal tetrahedron |
Fraktal oktahedron |
Fraktal dodecahedron |
Fraktal
Icosahedron |
---|
Homothety sayısı |
4 |
6 |
20 |
12
|
Homothety oranı |
12=0,5{\ displaystyle \ textstyle {{\ frac {1} {2}} = 0,5}} |
12=0,5{\ displaystyle \ textstyle {{\ frac {1} {2}} = 0,5}} |
12+φ≈0,2763{\ displaystyle \ textstyle {{\ frac {1} {2+ \ varphi}} \ yaklaşık 0,2763}} |
11+φ≈0,3819{\ displaystyle \ textstyle {{\ frac {1} {1+ \ varphi}} \ yaklaşık 0,3819}}
|
Fraktal boyut |
ln(4)ln(2)=2{\ displaystyle \ textstyle {{\ frac {\ ln (4)} {\ ln (2)}} = 2}} |
ln(6)ln(2)≈2,5849{\ displaystyle \ textstyle {{\ frac {\ ln (6)} {\ ln (2)}} \ yaklaşık 2.5849}} |
ln(20)ln(2+φ)≈2,3296{\ displaystyle \ textstyle {{\ frac {\ ln (20)} {\ ln (2+ \ varphi)}} \ yaklaşık 2.3296}} |
ln(12)ln(1+φ)≈2,5819{\ displaystyle \ textstyle {{\ frac {\ ln (12)} {\ ln (1+ \ varphi)}} \ yaklaşık 2.5819}}
|
Fraktal tetrahedron veya Sierpinski'nin tetrahedronu
Yüzlü fraktal için doğal bir uzantısıdır 3 inci boyutu Sierpinski üçgen . Boyut 2'ye sahip olma özelliğine sahiptir. Sonuç olarak, yüzeyi bir yinelemeden diğerine değişmez. Sonsuzda, yüzeyi orijinal tetrahedronun yüzeyi ile aynıdır.
|
Ses |
Alan
|
Yinelemede n
|
23∗2değil+2-de3{\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {2}} {3 * 2 ^ {n + 2}}} a ^ {3}} |
3-de2{\ displaystyle {\ sqrt {3}} a ^ {2}}
|
iki yineleme arasındaki% varyasyon
|
-50%{\ displaystyle -50 \%} |
0%{\ displaystyle 0 \%}
|
Sonsuzluğa
|
DEĞİLsenl{\ displaystyle Nul} |
3-de2{\ displaystyle {\ sqrt {3}} a ^ {2}}
|
ile = orijinal çokyüzlünün kenarının uzunluğu.
-de{\ displaystyle a}
Fraktal oktahedron
Fraktal oktahedron, hacmi bir iterasyondan diğerine en yavaş azalan fraktal çokyüzlüdür.
İki komşu görüntünün çokyüzlü görüntüsünün kesişimi bir köşe değil, bir kenardır.
Her yüz bir Sierpinski üçgenidir.
Nihayetinde, sonsuz yüzeyi sıfır hacmi kaplar.
|
Ses |
Alan
|
Yinelemede n
|
3değil-1222değil-de3{\ displaystyle {\ frac {3 ^ {n-1} {\ sqrt {2}}} {2 ^ {2n}}} a ^ {3}} |
3değil32değil-1-de2{\ displaystyle {\ frac {{3 ^ {n}} {\ sqrt {3}}} {2 ^ {n-1}}} a ^ {2}}
|
iki yineleme arasındaki% varyasyon
|
-25%{\ displaystyle -25 \%} |
+50%{\ displaystyle +50 \%}
|
Sonsuzluğa
|
DEĞİLsenl{\ displaystyle Nul} |
∞{\ displaystyle \ infty}
|
ile = orijinal çokyüzlünün kenarının uzunluğu.
-de{\ displaystyle a}
Fraktal dodecahedron
Fraktal dodekahedron, hacmi bir iterasyondan diğerine en hızlı şekilde azalan platonik fraktal çokyüzlüdür.
Nihayetinde, sonsuz yüzeyi sıfır hacmi kaplar.
|
Ses |
Alan
|
Yinelemede n
|
20değil(2+7φ/2)(2+φ)3değil-de3{\ displaystyle {\ frac {20 ^ {n} (2 + 7 \ varphi / 2)} {(2+ \ varphi) ^ {3n}}} a ^ {3}} |
3∗20değil5(3+4φ)(2+φ)2değil-de2{\ displaystyle {\ frac {3 * 20 ^ {n} {\ sqrt {5 (3 + 4 \ varphi)}}} {(2+ \ varphi) ^ {2n}}} a ^ {2}}
|
iki yineleme arasındaki% varyasyon
|
-57,7%{\ displaystyle -57,7 \%} |
+53,8%{\ displaystyle +53,8 \%}
|
Sonsuzluğa
|
DEĞİLsenl{\ displaystyle Nul} |
∞{\ displaystyle \ infty}
|
ile = orijinal çokyüzlünün kenarının uzunluğu ve altın oran .
-de{\ displaystyle a}φ=(1+5)/2{\ displaystyle \ scriptstyle {\ varphi = (1 + {\ sqrt {5}}) / 2}}
Fraktal Icosahedron
Fraktal ikosahedron, alanı bir iterasyondan diğerine en hızlı şekilde artan platonik fraktal çokyüzlüdür.
Nihayetinde, sonsuz yüzeyi sıfır hacmi kaplar.
|
Ses |
Alan
|
Yinelemede n
|
5∗12değil6(1+φ)3değil-1-de3{\ displaystyle {\ frac {5 * 12 ^ {n}} {6 (1+ \ varphi) ^ {3n-1}}} a ^ {3}} |
5∗12değil3(1+φ)2değil-de2{\ displaystyle {\ frac {5 * 12 ^ {n} {\ sqrt {3}}} {(1+ \ varphi) ^ {2n}}} a ^ {2}}
|
iki yineleme arasındaki% varyasyon
|
-33,1%{\ displaystyle -33,1 \%} |
+75,1%{\ displaystyle +75,1 \%}
|
Sonsuzluğa
|
DEĞİLsenl{\ displaystyle Nul} |
∞{\ displaystyle \ infty}
|
ile = orijinal çokyüzlünün kenarının uzunluğu ve altın oran .
-de{\ displaystyle a}φ=(1+5)/2{\ displaystyle \ scriptstyle {\ varphi = (1 + {\ sqrt {5}}) / 2}}
Genelleme
Yapıyı genelleştirebilir ve bağlantılılık özelliğini kendimize kritik değerden kesinlikle daha düşük bir orana izin vererek göz ardı edebiliriz.
Bu durumda, sonuç kümesi artık bağlantılı değildir ve artık bir çokyüzlüden söz edemeyiz.
Örneğin, bir homotiyet oranını uyguladığımız küp , kendi parçası için fraktal ve boyuta sahip ayrık bir kümeye yol açar . Cantor Küpü olarak adlandırılır .
R=1/3{\ displaystyle R = 1/3}ldeğil(8)/ldeğil(3)=1,8928{\ displaystyle ln (8) / ln (3) = 1.8928}
Ayrıca görün
Dış bağlantılar
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">