Yukawa potansiyeli
Bir Yukawa potansiyeli (aynı zamanda 'olarak adlandırılan , Coulomb potansiyeli filtrelenmiş' ) a, potansiyel formunun
V(r)=-g2e-mrr{\ displaystyle V (r) = - g ^ {2} \; {\ frac {e ^ {- mr}} {r}}}Hideki Yukawa , 1930'larda böyle bir potansiyelin , bir kütle pionununki gibi büyük bir skaler alanın değişiminden kaynaklandığını gösterdi . Alanın aracı parçacığı bir kütleye sahiptir, karşılık gelen kuvvet, kütlesiyle ters orantılı bir aralığa sahiptir. Sıfır kütle için, Yukawa potansiyeli bir Coulomb potansiyeline eşdeğer hale gelir ve aralığı sonsuz olarak kabul edilir.
m{\ displaystyle m}
Yukarıdaki denklemde, potansiyel negatiftir ve kuvvetin çekici olduğunu gösterir. Sabit g , gerçek bir sayıdır ; mesonik alan ile etkileştiği fermiyonik alan arasındaki bağlantı sabitine eşittir . Nükleer fizik durumunda , fermiyonlar proton ve nötron olacaktır .
Yukawa Potansiyelinin Elde Edilmesi
Klein-Gordon denkleminden başlayalım :
∂2Ψ∂x2+∂2Ψ∂y2+∂2Ψ∂z2+∂2Ψ∂(benvst)2=(2πm0vsh)2Ψ{\ displaystyle {\ frac {\ kısmi ^ {2} \ Psi} {\ kısmi x ^ {2}}} + {\ frac {\ kısmi ^ {2} \ Psi} {\ kısmi y ^ {2}}} + {\ frac {\ kısmi ^ {2} \ Psi} {\ kısmi z ^ {2}}} + {\ frac {\ kısmi ^ {2} \ Psi} {\ kısmi (ict) ^ {2}}} = \ left ({\ frac {2 \ pi m_ {0} c} {h}} \ sağ) ^ {2} \ Psi}İkinci üye sıfır ise, elektromanyetik dalgaların denklemini elde ederiz:
∂2Ψ∂x2+∂2Ψ∂y2+∂2Ψ∂z2+∂2Ψ∂(benvst)2=0{\ displaystyle {\ frac {\ kısmi ^ {2} \ Psi} {\ kısmi x ^ {2}}} + {\ frac {\ kısmi ^ {2} \ Psi} {\ kısmi y ^ {2}}} + {\ frac {\ kısmi ^ {2} \ Psi} {\ kısmi z ^ {2}}} + {\ frac {\ kısmi ^ {2} \ Psi} {\ kısmi (ict) ^ {2}}} = 0}
Ek olarak, dalga fonksiyonu zamandan bağımsız ise, elektrostatik alanın denklemini, yani Laplace denklemini elde ederiz:
ΔΨ=0{\ displaystyle \ Delta \ Psi = 0}Son olarak, küresel simetride, r mesafesinin nokta yüküne bir fonksiyonu olarak, Coulomb alanının Laplace denklemini elde ederiz:
1r2ddr(r2dΨdr)=0{\ displaystyle {\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} r}} \ sol (r ^ {2} {\ frac {\ mathrm {d} \ Psi} {\ mathrm {d} r}} \ sağ) = 0}Yukawa potansiyeli küresel simetriye sahiptir ve statiktir, ancak ikinci kolu tutar. Klein-Gordon denklemi gibi olur:
1r2ddr(r2dΨdr)=(2πm0vsh)2Ψ{\ displaystyle {\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} r}} \ sol (r ^ {2} {\ frac {\ mathrm {d} \ Psi} {\ mathrm {d} r}} \ right) = \ left ({\ frac {2 \ pi m_ {0} c} {h}} \ right) ^ {2} \ Psi}Mezon veya pionun kütlesi nerede olurdu . Bu diferansiyel denklemin fiziksel olarak kabul edilebilir çözümü Yukawa'nın potansiyeli veya V (r) 'dir (dalga fonksiyonu potansiyele dönüşür):
m0{\ displaystyle m_ {0}}Ψ(r){\ displaystyle \ Psi (r)}
Ψ(r)=-g2e-(2πm0vsh)rr=-g2e-2πrλVSr{\ displaystyle \ Psi (r) = - g ^ {2} \; {\ frac {e ^ {- \ sol ({\ frac {2 \ pi m_ {0} c} {h}} \ sağ) r} } {r}} = - g ^ {2} \; {\ frac {e ^ {- {\ frac {2 \ pi r} {\ lambda _ {C}}}}} {r}}}Compton dalga boyu nerede . Potansiyel negatiftir çünkü bir bağlayıcı kuvvettir, güçlü etkileşimdir, r mesafesindeki iki nükleon arasındaki çekim potansiyelidir. Protonun yarıçapı aralığı, varlığı Yukawa tarafından tahmin edilen mezon kütlesine karşılık gelir .
λVS{\ displaystyle \ lambda _ {C}}10-15m{\ displaystyle 10 ^ {- 15} m}m0=140MeV{\ displaystyle m_ {0} = 140MeV}
Belirsizlik ilkesinin uygulanması
Yaklaşık bir hesaplama yapabiliriz. Belirsizlik ilkesi arasında Heisenberg yazılabilir:
ΔE×Δt≥ℏ{\ displaystyle \ Delta E \ times \ Delta t \ geq \ hbar}Zaman üzerindeki belirsizliğin, etkileşimin kendisinin zamanına eşit olduğunu varsayalım (bu nedenle, maksimum olacağı için bir minimumumuz olacak) ve hesaplayalım . Sahibiz:
ΔE{\ displaystyle \ Delta E}Δt{\ displaystyle \ Delta t}ΔEmbendeğil{\ displaystyle \ Delta E_ {min}}
Δt=dbenmedeğilsbenÖdeğil de l-de vsbenble (prÖtÖdeğil de r-deyÖdeğil 1 fm=10-15m)vbentesse dsen prÖjevstbenle (vs)=RPvs{\ displaystyle \ Delta t = {\ frac {\ mathrm {~ boyut ~ ~ hedef ~ (proton ~ ~ yarıçap ~ 1 ~ fm} = 10 ^ {- 15} \ mathrm {m)}} {\ mathrm {~ merminin ~ hızı ~ (} c \ mathrm {)}}} = {\ frac {R_ {P}} {c}}}ΔEmbendeğil=ℏΔtm-dex=ℏvsRp=6,6.10-34×3.1082π×1015=3,2.10-11J=3,2.10-11×6,24.1018=200MeV{\ displaystyle \ Delta E_ {min} = {\ frac {\ hbar} {\ Delta {t_ {max}}}} = {\ frac {\ hbar c} {R_ {p}}} = {\ frac {6 , 6.10 ^ {- 34} \ times 3.10 ^ {8}} {2 \ pi \ times 10 ^ {15}}} = 3,2.10 ^ {- 11} J = 3,2.10 ^ {- 11} \ times 6 , 24,10 ^ {18} = 200MeV}
Beklenen büyüklük sırasının bir değerini buluruz.
Biz kullanarak tamamen aynı sonucu elde ait De Broglie ilişkisini dalga uygulanan maddenin Compton dalga boyu proton :
m=hλv=hλPvs=ℏRPvs{\ displaystyle m = {\ frac {h} {\ lambda v}} = {\ frac {h} {\ lambda _ {P} c}} = {\ frac {\ hbar} {R_ {P} c}} }bu, mezonun enerjisine aynı yaklaşımı verir:
mvs2=ℏvsRp{\ displaystyle mc ^ {2} = {\ frac {\ hbar c} {R_ {p}}}}
Fourier dönüşümü
Yukawa'nın potansiyelinin devasa bir alanla ilişkili olduğunu anlamanın en kolay yolu, Fourier dönüşümüne bakmaktır . Sahibiz
V(r)=-g2(2π)3∫ebenk⋅r4πk2+m2d3k{\ displaystyle V (r) = {\ frac {-g ^ {2}} {(2 \ pi) ^ {3}}} \ int e ^ {i \ mathbf {k \ cdot r}} {\ frac { 4 \ pi} {k ^ {2} + m ^ {2}}} \; d ^ {3} k}İntegralin, momentum vektörünün tüm olası değerleri üzerinden hesaplandığı k . Bu formda, fraksiyonu görebilir
şekilde yayıcısı veya Green fonksiyonu arasında Klein-Gordon denklemi .
4π/(k2+m2){\ displaystyle 4 \ pi / (k ^ {2} + m ^ {2})}
Feynman genliği
Yukawa potansiyeli, bir çift birinci derece fermiyonun etkileşiminin genliği olarak çıkarılabilir. Yukawa etkileşim çiftler fermiyonik MESONIC alanına alan bağlama terimle
ψ(x){\ displaystyle \ psi (x)}ϕ(x){\ displaystyle \ phi (x)}
Lbendeğilt(x)=gψ¯(x)ϕ(x)ψ(x){\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {int}} (x) = g {\ overline {\ psi}} (x) \ phi (x) \ psi (x)}İki fermiyonlar, ilk ivme ile difüzyon genliği ve ivme ile diğer an bir meson alışverişi, k , ile verilmektedir Feynmann diyagram sağda.
p1{\ displaystyle p_ {1}}p2{\ displaystyle p_ {2}}
Feynman'ın kuralları her köşe için bir çarpım faktörünü g genlikle ilişkilendirir; iki köşesi olan bu diyagramda, toplam genlik bir çarpım faktöründen etkilenecektir . İki fermiyon çizgisini birbirine bağlayan orta çizgi, bir mezon değişimini temsil eder. Feynman'ın kuralına göre, bir parçacık değişimi, yayıcının kullanımını içerir; büyük bir mezon için ikincisi . Bu nedenle, bu grafiğin Feynman genliği basitçe
g2{\ displaystyle g ^ {2}}-4π/(k2+m2){\ displaystyle -4 \ pi / (k ^ {2} + m ^ {2})}
V(k)=-g24πk2+m2{\ displaystyle V (\ mathbf {k}) = - g ^ {2} {\ frac {4 \ pi} {k ^ {2} + m ^ {2}}}}Önceki bölümden, bunun Yukawa potansiyelinin Fourier dönüşümü olduğunu açıkça görebiliriz.
Referanslar
-
Escoubès, B, Leite Lopes, J, Kuantum fiziğinin kaynakları ve evrimi, Kurucu metinler, EDP Bilimleri, 2005
-
Foos, J, Kullanıcılar için radyoaktivite El Kitabı, Formascience, Orsay, 1993
-
(en) Gerald Edward Brown ve AD Jackson, The Nucleon-Nucleon Interaction , (1976) North-Holland Publishing, Amsterdam ( ISBN 0-7204-0335-9 )
Klein-Gordon denklemi
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">