Manyetik alanın vektör potansiyeli
Manyetik alanın vektör potansiyeli ya da daha basit bir şekilde vektör potansiyel olası bir karışıklık olup, bir alan kıyaslanabilir fiziksel bir miktar olan vektörler yer elektromanyetik . Doğrudan ölçülebilir değildir, ancak varlığı bir elektrik alanı ve / veya bir manyetik alan ile yakından bağlantılıdır . Onun SI birim Kg.C olduğunu -1 .MS -1 .
Temel formül
Manyetik alanın vektör potansiyeli genellikle bir sonucu olarak tanıtıldı Maxwell denklemlerinin manyetik alan devlet, B taşımaktadır sıfır sapma . Vektör analizi sıfır vektör alanının üç boyutlu bir ıraksama her zaman şeklinde ifade edilebileceğini belirtir kıvrılma gösterilen bir vektör alanının, bir . Biz böyleyiz
B=∇∧AT{\ displaystyle {\ boldsymbol {B}} = {\ boldsymbol {\ nabla}} \ wedge {\ boldsymbol {A}}}.
Ayrıca, Maxwell-Faraday denklem (olgusunun kökeni olan elektrik alanının uzamsal varyasyonlara manyetik alanın geçici varyasyonları ile ilgilidir elektromanyetik indüksiyon formüle göre)
∇∧E=-∂B∂t{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} \ wedge {\ boldsymbol {E}} = - {\ frac {\ kısmi {\ kalın sembol {B}}} {\ kısmi t}}},
bundan çıkardığımız
∇∧(E+∂AT∂t)=0{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} \ wedge ({\ boldsymbol {E}} + {\ frac {\ kısmi {\ kalın sembol {A}}} {\ kısmi t}}) = {\ kalın sembol {0} }}.
Vektör analizi, elektrik alanın, vektör potansiyelinin zaman türevinin tersinin toplamı şeklinde ifade edilebileceğini ve bir sıfır dönme terimi, adı verilen bir miktarın gradyanı şeklinde ifade edilebilen bir terim olduğunu gösterir. bu bağlamda elektrik potansiyeli ve not edilen V :
E=-∇V-∂AT∂t{\ displaystyle {\ boldsymbol {E}} = - {\ boldsymbol {\ nabla}} V - {\ frac {\ kısmi {\ kalın sembol {A}}} {\ kısmi t}}}.
Başlangıçta A ve B arasındaki ilişkinin tamamen yerel bir ilişki olduğuna dikkat edin. Belirli bir uzayda bir potansiyel vektörü küresel olarak tanımlayıp tanımlayamayacağımızı bilme sorunu, bu uzayın kohomolojisi hakkında sorular sormamıza yol açar , bu, diferansiyel geometriden kaynaklanan bir kavramdır .
Vektör potansiyeli ve ölçü değişmezliği
Vektör potansiyeli ve elektrik potansiyeli, elektrik ve manyetik alanlardan daha temel varlıklardır, ancak kesin olarak tanımlanmamıştır. Aslında, bir gradyanın rotasyoneli sıfırdır, her zaman bir gradyan vektör potansiyeli A ekleyebiliriz, böylece eşit bir manyetik alan B oluşturur . Bu yapıldıktan sonra, elektrik potansiyelini yeniden tanımlayarak aynı elektrik alanını elde ederiz: vektör potansiyelini A'yı şu şekilde değiştirirsek :
AT′=AT+∇ϕ{\ displaystyle {\ boldsymbol {A}} '= {\ boldsymbol {A}} + {\ boldsymbol {\ nabla}} \ phi},
E elektrik alanı şu şekilde verilir:
E=-∇V+∇∂ϕ∂t-∂AT′∂t{\ displaystyle {\ boldsymbol {E}} = - {\ boldsymbol {\ nabla}} V + {\ boldsymbol {\ nabla}} {\ frac {\ kısmi \ phi} {\ kısmi t}} - {\ frac { \ kısmi {\ boldsymbol {A}} '} {\ kısmi t}}},
bu, sahip olduğumuz anlamına gelir
E=-∇V′-∂AT′∂t{\ displaystyle {\ boldsymbol {E}} = - {\ boldsymbol {\ nabla}} V '- {\ frac {\ kısmi {\ boldsymbol {A}}'} {\ kısmi t}}},
ile
AT′=AT+∇ϕ{\ displaystyle {\ boldsymbol {A}} '= {\ boldsymbol {A}} + {\ boldsymbol {\ nabla}} \ phi},
V′=V-∂ϕ∂t{\ displaystyle V '= V - {\ frac {\ kısmi \ phi} {\ kısmi t}}}.
Vektör potansiyelinin (ve elektrik potansiyelinin) bu belirsizliği özelliği , elektrik yükünün korunumunun daha sezgisel olanıyla yakından bağlantılıdır ve gösterge değişmezliği adı verilen genel bir matematiksel özellikten kaynaklanır .
Bazı göstergeler
Vektör potansiyelinin içsel belirsizliğine rağmen, elektromanyetizma denklemlerini çözmek için onu kullanmak genellikle uygundur. Bu durumda, mümkün olan fiziksel olarak eşdeğer çözümler arasından vektör potansiyeline ek bir kısıtlama getirilmesi (yapay bir şekilde) gereklidir. Bu durumda bir ölçü seçiminden bahsediyoruz. Aşağıdaki gibi tanımlıyoruz:
- göstergesi Lorenz tarafından
1vs2∂V∂t+∇⋅AT=0{\ displaystyle {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ kısmi V} {\ kısmi t}} + {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot {\ boldsymbol {A}} = 0} ;
- Coulomb göstergesi ile
∇⋅AT=0{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot {\ boldsymbol {A}} = 0}.
O zaman bile, göstergeler her zaman açık bir şekilde tanımlanmaz. Eğer, çünkü böylece, Coulomb göstergesi, çeşitli konfigürasyonlar kabul bir Coulomb ölçerin kısıt olarak sorun için itaat, o zaman için aynıdır A ' ile tanımlanan
AT′=AT+∇ϕ{\ displaystyle {\ boldsymbol {A}} '= {\ boldsymbol {A}} + {\ boldsymbol {\ nabla}} \ phi}işlevin eğer φ itaat ek kısıtlama
Δϕ=0{\ displaystyle \ Delta \ phi = 0},
Δ Laplacian operatörüdür . Benzer şekilde, Lorenz göstergesi ek kısıtlamaya uyuyorsa
ϕ üzerindeki bir belirsizliğe kadar tanımlanır.
◻ϕ=0{\ displaystyle \ Box \ phi = 0},
nerede temsil d'Alembertian .
◻{\ displaystyle \ Box}
Vektör potansiyelinin hesaplanması
Gelen Manyetostatiğin , Biot ve Savart yasası elektrik akımları günümüze göre manyetik alanın ifadesini verir:
B(r)=μ04π∫j(r′)∧(r-r′)|r-r′|3dr′{\ displaystyle {\ boldsymbol {B}} ({\ boldsymbol {r}}) = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} \ int {\ frac {{\ boldsymbol {j}} ({\ boldsymbol {r}} ') \ wedge ({\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}}')} {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} '| ^ {3}}} \; {\ rm {d}} {\ boldsymbol {r}} '}.
Dahası, yarıçap vektörü r etrafında merkezlenmiş bir bölgeye göre şunlara sahip olduğumuzu biliyoruz:
∇r∧j(r′)|r-r′|=1|r-r′|∇r∧j(r′)-j(r′)∧∇r1|r-r′|=j(r′)∧r-r′|r-r′|3{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} _ {\ boldsymbol {r}} \ wedge {\ frac {{\ boldsymbol {j}} ({\ boldsymbol {r}} ')} {| {\ boldsymbol {r }} - {\ boldsymbol {r}} '|}} = {\ frac {1} {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}}' |}} \; {\ boldsymbol {\ nabla }} _ {\ boldsymbol {r}} \ wedge {\ boldsymbol {j}} ({\ boldsymbol {r}} ') - {\ boldsymbol {j}} ({\ boldsymbol {r}}') \ wedge { \ boldsymbol {\ nabla}} _ {\ boldsymbol {r}} {\ frac {1} {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} '|}} = {\ boldsymbol {j}} ({\ boldsymbol {r}} ') \ wedge {\ frac {{\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}}'} {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} '| ^ {3}}}}.
Bu ilişkiyi kullanarak manyetik alan kendisini şu şekilde yeniden ifade edebilir:
B(r)=μ04π∫∇r∧j(r′)|r-r′|dr′{\ displaystyle {\ boldsymbol {B}} ({\ boldsymbol {r}}) = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} \ int {\ boldsymbol {\ nabla}} _ {\ kalın sembol {r}} \ kama {\ frac {{\ boldsymbol {j}} ({\ boldsymbol {r}} ')} {| {\ boldsymbol {r}} - {\ kalın sembol {r}}' |}} \; {\ rm {d}} {\ kalın sembol {r}} '}.
Bu formülde, r yarıçap vektörü r için geçerli olduğu için, dönüşü integralin dışına çıkarabiliriz , dolayısıyla
B(r)=∇∧(μ04π∫j(r′)|r-r′|dr′){\ displaystyle {\ boldsymbol {B}} ({\ boldsymbol {r}}) = {\ boldsymbol {\ nabla}} \ wedge \ left ({\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} \ int {\ frac {{\ boldsymbol {{\ boldsymbol {j}} ({\ boldsymbol {r}} ')} {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}}' |}} \; {\ rm {d}} {\ boldsymbol {r}} '\ sağ)}.
Vektör potansiyelinin tanımından nihayet şunu çıkardık:
AT(r)=μ04π∫j(r′)|r-r′|dr′{\ displaystyle {\ boldsymbol {A}} ({\ boldsymbol {r}}) = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} \ int {\ frac {{\ boldsymbol {j}} ({\ boldsymbol {r}} ')} {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}}' |}} \; {\ rm {d}} {\ boldsymbol {r}} '},
Yükleri akımlarla değiştirirsek, temelde elektrik potansiyeli ile aynı olan bir formül.
Ayrıca görün
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">