Lorenz göstergesi

Lorenz göstergesi sokulabilir bir durumdur elektromanyetizma ; bu durum adını Danimarkalı fizikçi Ludvig Lorenz'den alır ( muhtemelen Lorentz dönüşümleri altındaki değişmezliği nedeniyle fizikçi Hendrik Lorentz'e atfedilir ). Koşulun tanıtımı, skaler potansiyel ile elektrik ve manyetik alanlarla ilişkili vektör potansiyeli arasında bir bağlantı kurar; vektör potansiyelinin bileşenleri ve skaler potansiyel daha sonra potansiyel dört sürücüyü oluşturur . Bu özel ölçü, elektrodinamiğin tamamen göreceli bir tanımına izin vererek pratik olduğunu kanıtladı .

Genel form

Bu ölçü seçimini tanımlayan ilişki aşağıdaki gibidir:

{\ displaystyle \ nabla \ cdot {\ vec {A}} + \ mu _ {0} \ epsilon _ {0} {\ frac {\ kısmi V} {\ kısmi t}} = 0}

Kökeni, Maxwell denklemlerine sahip olmasından kaynaklanmaktadır, alanların yayılmasının ve boşlukta d'Alembert denklemini karşıladığı gösterilmiştir (bkz . Maxwell denklemlerinden yayılma denkleminin oluşturulması ). ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ vec {E}}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ vec {B}}}$

Bu gösterge seçimiyle, skaler potansiyelin d'Alembert denklemini de karşıladığını gösterebiliriz : $V$

İlk olarak Maxwell-Faraday denklemi yazılır:

{\ displaystyle \ nabla \ kama {\ vec {E}} = - {\ frac {\ kısmi {\ vec {B}}} {\ kısmi t}} = - {\ frac {\ kısmi} {\ kısmi t} } (\ nabla \ kama {\ vec {A}})}

nereden ; bu nedenle bir gradyandır ve statik ifadeyle tutarlı olması için gereklidir: ${\ displaystyle \ scriptstyle \ nabla \ kama ({\ vec {E}} + {\ frac {\ kısmi {\ vec {A}}} {\ kısmi t}}) = {\ vec {0}}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ vec {E}} + {\ frac {\ kısmi {\ vec {A}}} {\ kısmi t}}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ vec {E}} = - \ nabla V}$

{\ displaystyle {\ vec {E}} = - \ nabla V - {\ frac {\ kısmi {\ vec {A}}} {\ kısmi t}}}

Maxwell-Gauss denklemi ( sıfır yük yoğunluğu ile ) şöyle olur: $\ rho$

{\ displaystyle \ nabla \ cdot (- \ nabla V - {\ frac {\ kısmi {\ vec {A}}} {\ kısmi t}}) = 0}

bu nedenle ${\ displaystyle \ scriptstyle - {\ frac {\ kısmi} {\ kısmi t}} (\ nabla \ cdot {\ vec {A}}) - \ nabla \ cdot (\ nabla V) = 0}$

Bu nedenle (bu Lorenz göstergesi ) şunları yapmasını istemeliyiz : ${\ displaystyle \ scriptstyle \ nabla \ cdot {\ vec {A}} = - \ mu _ {0} \ epsilon _ {0} {\ frac {\ kısmi V} {\ kısmi t}}}$

{\ displaystyle \ Box V = \ epsilon _ {0} \ mu _ {0} {\ frac {\ kısmi ^ {2} V} {\ kısmi t ^ {2}}} - \ nabla ^ {2} V = 0}

Dahası, bu göstergenin vektör potansiyelinin d'Alembert denklemini doğrulamasına da izin verdiğini not ediyoruz . Sadece şunu yaz: ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ vec {A}}}$

{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {rot}}} ({\ vec {\ mathrm {rot}}} {\ vec {A}}) = {\ vec {\ mathrm {grad}}} (\ operatöradı { div} {\ vec {A}}) - \ nabla ^ {2} {\ vec {A}}}

ancak daha sonra Maxwell-Ampere ile vakumda (bu nedenle mevcut yoğunluk vektörü sıfırdır): ${\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {rot}}} {\ vec {A}} = {\ vec {B}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {j}}}$

{\ displaystyle \ mu _ {0} \ epsilon _ {0} {\ frac {\ kısmi {\ vec {E}}} {\ kısmi t}} = {\ vec {\ mathrm {grad}}} (\ operatöradı {div} {\ vec {A}}) - \ nabla ^ {2} {\ vec {A}}}

ama biz her zaman var: bu nedenle ${\ displaystyle {\ vec {E}} = - \ nabla V - {\ frac {\ kısmi {\ vec {A}}} {\ kısmi t}}}$

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} {\ vec {A}} - \ mu _ {0} \ epsilon _ {0} {\ frac {\ kısmi ^ {2} {\ vec {A}}} {\ kısmi t ^ {2}}} = {\ vec {\ mathrm {grad}}} (\ nabla \ cdot {\ vec {A}} + \ mu _ {0} \ epsilon _ {0} {\ frac {\ kısmi V} {\ kısmi t}})}

Bu nedenle ölçer Lorenz ile , tatmin denklemi d'Alembert: ${\ displaystyle \ nabla \ cdot {\ vec {A}} + \ mu _ {0} \ epsilon _ {0} {\ frac {\ kısmi V} {\ kısmi t}} = 0}$ $\ vec {A}$

{\ displaystyle \ Box {\ vec {A}} = \ epsilon _ {0} \ mu _ {0} {\ frac {\ kısmi ^ {2} {\ vec {A}}} {\ kısmi t ^ {2 }}} - \ nabla ^ {2} {\ vec {A}} = {\ vec {0}}}

Lorenz göstergesi bu nedenle potansiyeller (vektör ve skaler) üzerindeki durumdur, böylece ve alanları ile aynı şekilde hareket ederler . Yük ve akım dağılımlarının artık zorunlu olarak sıfır olmadığı genel durumda, skaler ve vektör potansiyelleri homojen olmayan d'Alembert denklemini karşılar: ${\ vec {E}}$ ${\ displaystyle {\ vec {B}}}$

{\ displaystyle \ Box V = {\ dfrac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ kısmi ^ {2} V} {\ kısmi t ^ {2}}} - \ nabla ^ {2} V = {\ dfrac {1} {\ epsilon _ {0}}} \ rho, \, \, \, \, \ Box {\ vec {A}} = {\ dfrac {1} {c ^ {2} }} {\ frac {\ kısmi ^ {2} {\ vec {A}}} {\ kısmi t ^ {2}}} - \ nabla ^ {2} {\ vec {A}} = \ mu _ {0 } {\ vec {J}}}

Bu denklemler, Lorenz göstergesi altında, elektromanyetik potansiyellerin özel göreliliğin biçimciliğiyle yakından bağlantılı olduğunu açıkça ortaya koymaktadır . Aslında, zaman ve mekân açısından, aynen Minkowski ölçütü altında olduğu gibi ele alınırlar (d'Alembertian , gradyan dört sürücüsünün kendisiyle birlikte Minkowskian skaler çarpımıdır). $\Kutu$

Skaler ve vektör potansiyellerinin açık çözümleri aşağıdaki gibidir (homojen olmayan d'Alembert denklemlerini ve Lorenz ayar koşulu denklemini doğrularlar ve bu nedenle benzersizlik teoremi ile benzersizdirler ):

{\ displaystyle V ({\ vec {r}}, t) = {\ dfrac {1} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} \ int \ limits _ {\ text {evren}} {\ dfrac { \ rho \ left ({\ vec {r}} ', t - {\ dfrac {|| {\ vec {r}} - {\ vec {r}}' ||} {c}} \ sağ)} { || {\ vec {r}} - {\ vec {r}} '||}} \, d ^ {3} {\ vec {r}}', \, \, \, \, {\ vec { A}} ({\ vec {r}}, t) = {\ dfrac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} \ int \ limits _ {\ text {universe}} {\ dfrac {{\ vec {J}} \ left ({\ vec {r}} ', t - {\ dfrac {|| {\ vec {r}} - {\ vec {r}}' ||} {c}} \ sağ )} {|| {\ vec {r}} - {\ vec {r}} '||}} \, d ^ {3} {\ vec {r}}'}

Bu potansiyeller açıkça zamana bağlıdır. Değerlendirilmesini, her bir noktada birleşmesi gerekmektedir gecikmiş bir zaman alanı zamana kıyasla, bir ışık sinyali noktası arasındaki mesafeyi kat etmesi gereken süre, potansiyeller değerlendirildiği ve noktasında hangi potansiyeller değerlendirilir. Bu nedenle Lorenz göstergesinde formüle edilen elektromanyetik potansiyellere gecikmiş potansiyeller denir . Hiçbir bilginin bir boşlukta ışıktan daha hızlı yayılamayacağını ima eden özel görelilik teorisinin elektromanyetizma üzerine kurulu olduğu düşünüldüğünde, pek de şaşırtıcı değiller. ${\ vec {r}} '$ $sen$ ${\ displaystyle {\ ce {t}}}$ ${\ vec {r}} '$ $\ vec {r}$

Coulomb'un göstergesi

Başka bir ölçü seçeneği mümkün görünmektedir; bu Coulomb göstergesi:

{\ displaystyle \ nabla \ cdot {\ vec {A}} = 0}

doğrudan açar, Poisson denklemi elektrostatik , . Bu gösterge, atomik ve moleküler fizikte ve statik yük ve akım dağılımlarında yaygın olarak kullanılmaktadır. ${\ displaystyle \ nabla ^ {2} V = - {\ dfrac {1} {\ epsilon _ {0}}} \ rho}$

Kaynakça

Lorenz ve Coulomb göstergelerine yapılan atıflar lejyondur. Örneğin Lev Landau ve Evgueni Lifchits: Theoretical Physics, t. 2: Alan teorisi Baskıları MIR, Moskova 1966

Aşağıdaki makalelerde bazı tarihsel yönler bildirilmekte ve bu göstergenin Ludwig Lorenz'e atfedilmesini a priori alakalı hale getirmektedir.

L. Lorenz, " Işık Titreşimlerinin Elektrik Akımlarıyla Özdeşliği Üzerine " Philos. Mag. 34, 287-301, 1867.
Bozhidar Z. Iliev, " " Lorenz göstergesi "Ludwig Valentin Lorenz onuruna adlandırılmıştır! ", 2008, arxiv.org/abs/0803.0047v1
Robert Nevels ve Chang-Seok Shin, " Lorenz, Lorentz, and the Gauge ", IEEE Antennas and Propagatlon Magazine, Cilt. 43, Hayır, 3, Haziran 2001.
JD Jackson ve LB Okun, " Gösterge değişmezliğinin tarihsel kökenleri ", Rev. Mod. Phys. 73, 663, 2001.
D. Griffiths, " Elektrodinamiğe Giriş ", Pearson, Dördüncü Baskı, 2012

İlgili Makaleler

Notlar ve referanslar

Örneğin bkz. Lev Landau ve Evgueni Lifchits , Teorik Fizik , t. 2: Alan teorisi [ baskıların detayı ].