Bir halkada asallık

İçinde değişmeli cebir , bir in , yekpare halka , bir elemanın s olduğu söylenir indirgenemez bu ne ise tersi de olmayan iki tersinir elemanların ürünü. Bu olduğu söylenir ana herhangi bir ürün için, ne sıfır ne de tersinirdir ve eğer ab bölünebilen p , iki faktörün bir bir ya da b bölünebilen p . Her asal eleman indirgenemez. Bir de faktör halka (gibi tamsayılar halkası veya polinom halka alanı katsayılı), bu iki kavram eşdeğerdir.

İki element bir ve b olduğu söylenen birbirine asal varsa bölen ortak bir ve b ters çevrilebilir.

Giriş

Tamsayılar halkası olarak, farklı nitelendirmeler vardır asal sayılar ve aralarındaki asal sayıların içinde, herhangi bir halkanın farklı kavramları üç çift yol açar. Aşağıda, A integral bir alandır ve a , b , p , A'nın öğeleridir . Bir İdeal ait A farklı ise kendi söylenir A . Gösterim , tarafından üretilen ana ideali belirtir (yani, katları kümesi ). $(içinde)$ $-de$ $-de$

Kendi aralarında asal olan elementler ve indirgenemez unsur

Biz demek bir ve b vardır aralarında asal veya bir olduğu b asal herhangi bölen ortak eğer bir ve b ise ters çevrilebilir .

Eşdeğer koşullar:

Elusyonu ait bir ve b (var ve) 1'e eşittir;
İdeal ( a ) + ( b ), A'nın hiçbir ana idealine dahil edilmez .

Muhtemelen polinomların etkisiyle , aşağıdaki kavram vaftiz edilmiş "asal öğe" değil, "indirgenemez öğe" dir:

Biz söylemek p olan indirgenemez o ne sıfır ne de tersinir olması için gerek ve bunun bölmek etmediğini herhangi bir öğe ile asal sayı ise.

Eşdeğer koşullar:

p ne tersinir ne de iki ters çevrilemez öğenin ürünüdür;
p ne sıfırdır ne de ters çevrilebilir ve onun tek bölenleri tersinmezler veya p ile ilişkili elemanlardır ;
( P ), A'nın sahip olduğu temel idealler kümesinde sıfır değildir ve maksimaldir .

Birincil eleman ile aralarında çözülemeyen elemanlar

A ve b sıfır olmadığında , A'nın herhangi bir x öğesi için , kendi aralarında çözülmez olduklarını (veya "kendi aralarında Gauss anlamında asal olduklarını " ) söyleriz ,

eğer bir bölme işlemlerini bx sonra bir böler x .

Eşdeğer koşullar (son ikisine göre, bu nedenle bu kavram a ve b'de simetriktir ):

b , A / ( a ) bölüm halkasında basitleştirilebilir (veya 0'ın bölen değildir );
herhangi bir katsayı , bir ve b bir katıdır ab ;
PPKM ait bir ve b (var ve) ürün eşittir ab .

Karşılık gelen tanım şu şekildedir:

p sıfır değilse, tersine çevrilemiyorsa ve bölünmediği herhangi bir elementle çözünmez ise asal (veya çözünmez ) olduğu söylenir .

Eşdeğer koşullar:

p , sıfır değildir, tersinemez ve herhangi bir ab çarpımı için p ile bölünebilir , a veya b faktörlerinden biri p'ye bölünebilir ;
p sıfır değildir ve A / ( p ) integraldir ;
( P ) bir olduğu ideal ilk sıfırdan farklı bir .

Yabancı unsurlar ve aşırı unsur

Yabancı unsurlar kavramı, aralarındaki asal sayıların Bachet-Bézout teoremi tarafından nitelendirilmesine karşılık gelir .

Söylenir bir ve b olan dış elemanlar olup olmadığını u ve v arasında bir gibi içinde + bv da (şekilde yazılabilir durumu = 1, bir ) + ( b ) = A .

Karşılık gelen tanım şu şekildedir:

Biz söylemek p olan extremal eğer sıfır olmayan ters çevrilebilir ve bölmek etmediğini herhangi bir öğeye yabancı ise.

Eşdeğer koşullar:

p , sıfır değildir ve tersine çevrilemez ve A'nın p'nin katı olmayan herhangi bir elemanı , tersine çevrilebilir modülo p'dir ;
( p ) A'nın sıfır olmayan maksimal idealidir ;
p sıfır değildir ve A / ( p ) bir alandır .

Bu üç kavram arasındaki bağlantılar

Aşağıdaki karşı örneklerde, K bir alanı ifade eder ve A = K [ X 2 , XY , Y 2 ] her bir tek terimliğin eşit toplam dereceye sahip olduğu polinomların oluşturduğu K [ X , Y ] alt halkasıdır (bu halka izomorf K [ U , V , W, ] / ( B 2 - UV ) tarafından indüklenen morfizma ile U ↦ x 2 , V ↦ Y 2 ve W, ↦ XY ).

yabancı ⇒ kendi aralarında kopmaz ⇒ ilk kendi aralarında .

Gösteri

A ve b'nin sıfır olmadığını varsayalım .

Eğer a ve b yabancı ise, o zaman aralarında çözülemezler:

Eğer au + bv = 1 ve eğer bir bölme bx , daha sonra BX yazılı ay , böylece X = ( au + bv ) X = aux + BXV = aux + ayv = bir ( ux + yv ) tarafından bölünebilen bir .

Eğer bir ve b aralarında kopmaz vardır o zaman onlar kendi aralarında asal şunlardır:

Eğer ab a PPKM olan bir ve b ve eğer d bir ortak böleni, sonra bir olduğu yazılı a'd ve b edilir yazılı b'd böylece, A'B'D , ortak çoklu bir ve b , bölünemeyen bir ab = a'b'd 2 , dolayısıyla d tersinebilir.

Not.

Bu gösterinin sonunda kullanılan bütünlük esastır. İntegral olmayan halka ℤ 2'de , asal eleman (1,0) indirgenemez.

Karşılıklar yanlıştır: Gelen K [ X , Y, ], X ve Y, kendi ancak yabancı değildir arasında çözülmez olan; Halka içinde A , elemanlar XY ve X, 2 birbirlerine asal ama (çünkü aralarında, çözülmez olan XY bölme x 2 , Y 2 , ancak , Y 2 ).

aşırı ⇒ üssü ⇒ indirgenemez .

Bu iki sonuç, önceki ikisinden hemen çıkarılabilir. Karşılıklar yanlıştır: Gelen K [ X , Y, ], X, (aslında bir ana olmayan uç değer K [ X , Y, ] herhangi bir uç değer elemanı içermez); İçinde A , eleman XY indirgenemez ama asal değildir (Çoğalmadan x 2 Y 2 , ancak ne x 2 , ne de Y, 2 ).

Bir OBEB halkasında (herhangi bir öğe çiftinin bir OBEB'ye sahip olduğu halka) ve bu nedenle özellikle faktöriyel bir halkada , aralarındaki asal, aralarında çözünmeze eşdeğerdir (bu nedenle indirgenemez, asal sayıya eşittir ).
Bir Bézout halkasında (sonlu tipin her idealinin temel olduğu integral halka) ve bu nedenle özellikle bir ana halkada (ℤ veya K [ X ] gibi), üç kavram ( yabancı , aralarında çözülemez , asal ) eşdeğer (bu nedenle indirgenemez eşdeğer asal olan eşdeğer extremal ).

Notlar ve referanslar

Notlar

İki elementten biri a, b sıfır ise, bu koşul diğerinin tersinirliğine eşdeğerdir.
Yukarıdaki "aralarında çözülemez" tanımı, iki öğenin sıfır olmadığı durumla sınırlıdır, ancak bu iki sonucu, iki öğeden biri a , b sıfırsa, o zaman bunların eğer ve ancak diğeri tersine çevrilebilirse aralarında çözülemez.

Referanslar

Dany-Jack Mercier, Cebir ve Aritmetiğin Temelleri , Yayın, 2010 ( ISBN 978-2-74835410-2 ) , s. 108, Tanım 60
Dany-Jack Mercier, op. cit. , s. 106, Tanım 57

Serge Lang , Algebra [ sürümlerin detayı ]

İlgili makale

Polinomların çarpanlara ayrılması