Prouhet-Tarry-Escott sorunu

Gelen matematik , özellikle de sayı teorisi ve kombinatorik , sorun Prouhet-Tarry-Escott , arayan her bir tamsayı için olan , iki set ve bir gibi tamsayılar, her biri: değil{\ displaystyle n}AT{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}değil{\ displaystyle n}

∑-de∈AT-deben=∑b∈Bbben{\ displaystyle \ toplamı _ {a \ içinde A} a ^ {i} = \ toplamı _ {b \ B} b ^ {i}}

belirli bir tam sayıya kadar her biri için . Bu koşulları varsa ve doğrularsak, yazıyoruz . ben{\ displaystyle i}1{\ displaystyle 1}k{\ displaystyle k}AT{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}AT=kB{\ displaystyle A = _ {k} B}

Belirli bir derece için minimum boyutta bir çözüm arıyoruz . Hâlâ açık olan bu soruna, 1851'de onu inceleyen Eugène Prouhet ve 1910'ların başlarında bunu düşünen Gaston Tarry ve Edward Brind Escott'ın adı verilmiştir. değil{\ displaystyle n}k{\ displaystyle k}

En büyük değer olan biz bir çözüm biliyorum DİR . Aşağıdaki setlerde karşılık gelen bir çözüm verilmiştir: k{\ displaystyle k}değil=k+1{\ displaystyle n = k + 1}k=11{\ displaystyle k = 11}

AT={±22,±61,±86,±127,±140,±151} ,B={±35,±47,±94,±121,±146,±148}{\ displaystyle A = \ {\ pm 22, \ pm 61, \ pm 86, \ pm 127, \ pm 140, \ pm 151 \} \, \ qquad B = \ {\ pm 35, \ pm 47, \ pm 94, \ pm 121, \ pm 146, \ pm 148 \}}

Misal

Tam sayı tanımının olduğunu derecesi ve tam sayı olduğu boyutu . Herhangi bir çözüm için elimizde olduğunu görmek kolaydır . Bu nedenle minimum boyutta bir çözüm arıyoruz. k{\ displaystyle k}değil{\ displaystyle n}değil>k{\ displaystyle n> k}

Boyut ve derece için her iki set değil=6{\ displaystyle n = 6}k=5{\ displaystyle k = 5}

{0,5,6,16,17,22}{\ displaystyle \ {0,5,6,16,17,22 \}} ve {1,2,10,12,20,21}{\ displaystyle \ {1,2,10,12,20,21 \}}

sorunun çözümüdür, çünkü:

0+5+6+16+17+22=66=1+2+10+12+20+21{\ displaystyle 0 + 5 + 6 + 16 + 17 + 22 = 66 = 1 + 2 + 10 + 12 + 20 + 21}02+52+62+162+172+222=1090=12+22+102+122+202+212{\ displaystyle 0 ^ {2} + 5 ^ {2} + 6 ^ {2} + 16 ^ {2} + 17 ^ {2} + 22 ^ {2} = 1090 = 1 ^ {2} + 2 ^ { 2} + 10 ^ {2} + 12 ^ {2} + 20 ^ {2} + 21 ^ {2}}03+53+63+163+173+223=19998=13+23+103+123+203+213{\ displaystyle 0 ^ {3} + 5 ^ {3} + 6 ^ {3} + 16 ^ {3} + 17 ^ {3} + 22 ^ {3} = 19998 = 1 ^ {3} + 2 ^ { 3} + 10 ^ {3} + 12 ^ {3} + 20 ^ {3} + 21 ^ {3}}04+54+64+164+174+224=385234=14+24+104+124+204+214{\ displaystyle 0 ^ {4} + 5 ^ {4} + 6 ^ {4} + 16 ^ {4} + 17 ^ {4} + 22 ^ {4} = 385234 = 1 ^ {4} + 2 ^ { 4} + 10 ^ {4} + 12 ^ {4} + 20 ^ {4} + 21 ^ {4}} 05+55+65+165+175+225=7632966=15+25+105+125+205+215{\ displaystyle 0 ^ {5} + 5 ^ {5} + 6 ^ {5} + 16 ^ {5} + 17 ^ {5} + 22 ^ {5} = 7632966 = 1 ^ {5} + 2 ^ { 5} + 10 ^ {5} + 12 ^ {5} + 20 ^ {5} + 21 ^ {5}}.

Bir yere çözeltisi , büyüklüğü derecesi + 1 eşit olan bir çözümdür. Yukarıdaki çözüm idealdir.

Tarih

1851 yılında, Eugene Prouhet tamsayı bölen daha genel bir sorun teşkil x , 1'den n m içine n güçlerin toplamı böylece, sınıflar k her sınıfın tamsayılar -ths için, aynı k = 0, 1 ... o, 0 ila sınıfları numaralandırma miktarda önermektedir yöntem n - 1, her bir tam sayı ayrıştırılması için x - numarası 1 bir baz , n kalan hesaplamak için, bunun basamak kadar eklemek, r , bu miktar modulonun n ve x tamsayısını r sınıfına atayın .

Durumunda burada , n = 2 ise, tam sayı yerleştirilmesi x indeksi 0 ya da 1 olarak iki sınıftan birine olsun göre yapılır x arasında inci terimi Prouhet-Thue-Morse sekansı , 0 ya da 1'dir; örneğin, ilk 8 tam sayı şu şekilde bölünür: bir yanda 1, 4, 6, 7 ve diğer yanda 2, 3, 5, 8 ve bu iki sınıfın tam sayılarının k kuvvetlerinin toplamı çakışır k = 2'ye kadar .

Leonard Eugene Dickson onun bir bölüm ayırıyor Numarası Kuram Tarihinden için "  eşit güçler gibi toplamının tamsayılar Setleri  " az Bu konuda 70 makaleleri daha ve listeleri. Edward Maitland Wright tarihi makalesinde, Prouhet'in makalesinin 1948'e kadar yeniden keşfedilmediğine dikkat çekiyor.

Son gelişmeler Peter Borwein ve yardımcı yazarları tarafından anlatılıyor ; Filaseta ve Markovich'in makalesine de bakınız. İki boyutlu versiyonu Alpers ve Tijdeman (2007) tarafından incelenmiştir .

Özellikler ve sonuçlar

• Çift ve derece bir çözüm ise , o zaman herkes ve tüm çift ​​içinAT={-de1,-de2,...,-dedeğil}{\ displaystyle A = \ {a_ {1}, a_ {2}, \ ldots, a_ {n} \}}B={b1,b2,...,bdeğil}{\ displaystyle B = \ {b_ {1}, b_ {2}, \ ldots, b_ {n} \}}k{\ displaystyle k}DEĞİL≠0{\ displaystyle N \ neq 0}M{\ displaystyle M}AT′={DEĞİL-de1+M,DEĞİL-de2+M,...,DEĞİL-dedeğil+M}etB′={DEĞİLb1+M,DEĞİLb2+M,...,DEĞİLbdeğil+M}{\ displaystyle A '= \ {Na_ {1} + M, Na_ {2} + M, \ ldots, Na_ {n} + M \} \ quad {\ rm {ve}} \ quad B' = \ {Nb_ {1} + M, Nb_ {2} + M, \ ldots, Nb_ {n} + M \}}hala aynı derecede bir çözüm. Yani çözüm{0,5,6,16,17,22}=5{1,2,10,12,20,21}{\ displaystyle \ {0,5,6,16,17,22 \} = _ {5} \ {1,2,10,12,20,21 \}}ayrıca çözüm verir{1,6,7,17,18,23}=5{2,3,11,13,21,22}.{\ displaystyle \ {1,6,7,17,18,23 \} = _ {5} \ {2,3,11,13,21,22 \}.}Bu gözlem, örneğin sadece pozitif veya sıfır tamsayılar içerdiklerini ve içlerinde sıfır göründüğünü empoze ederek çözümleri standartlaştırmayı mümkün kılar.
• Her derece için ideal bir çözüm bilmiyoruz ama biliyoruz ki her derece için büyüklükte bir çözüm var .k{\ displaystyle k}değil≤k(k+1)/2+1{\ displaystyle n \ leq k (k + 1) / 2 + 1}
• Simetrik çözeltiler: uygun büyüklükte bir çözeltisi olan simetrik her bir bileşen formu ise,değil=2m{\ displaystyle n = 2 milyon}{±vs1,±vs2,...,±vsm}.{\ displaystyle \ {\ pm c_ {1}, \ pm c_ {2}, \ ldots, \ pm c_ {m} \}.}Giriş bölümünde verilen çözüm bu biçimdedir.
• Garip boyutlu bir çözüm, çözümün bileşenleri zıt ise simetriktir , yani.AT={-de1,-de2,...,-dedeğil}{\ displaystyle A = \ {a_ {1}, a_ {2}, \ ldots, a_ {n} \}} ve B={--de1,--de2,...,--dedeğil}.{\ displaystyle B = \ {- a_ {1}, - a_ {2}, \ ldots, -a_ {n} \}.}

İdeal ve simetrik çözümler

İdeal ve simetrik çözümler , aşağıdakiler dışında derecelerle bilinir  : k≤11{\ displaystyle k \ leq 11}k=10{\ displaystyle k = 10}

• k=1{\ displaystyle k = 1}

{±2}=1{±1}{\ displaystyle \ {\ pm 2 \} = _ {1} \ {\ pm 1 \}}

• k=2{\ displaystyle k = 2}

{-2,-1,3}=2{2,1,-3}{\ displaystyle \ {- 2, -1,3 \} = _ {2} \ {2.1, -3 \}}

• k=3{\ displaystyle k = 3}

{±3,±11}=3{±7,±9}{\ displaystyle \ {\ pm 3, \ pm 11 \} = _ {3} \ {\ pm 7, \ pm 9 \}}

• k=4{\ displaystyle k = 4}

{-8,-7,1,5,9}=4{8,7,-1,-5,-9}{\ displaystyle \ {- 8, -7,1,5,9 \} = _ {4} \ {8,7, -1, -5, -9 \}}

• k=5{\ displaystyle k = 5}

{±4,±9,±13}=5{±1,±11,±12}{\ displaystyle \ {\ pm 4, \ pm 9, \ pm 13 \} = _ {5} \ {\ pm 1, \ pm 11, \ pm 12 \}}

• k=6{\ displaystyle k = 6}

{-51,-33,-24,7,13,38,50}=6{51,33,24,-7,-13,-38,-50}{\ displaystyle \ {- 51, -33, -24,7,13,38,50 \} = _ {6} \ {51,33,24, -7, -13, -38, -50 \}}

• k=7{\ displaystyle k = 7}

{±2,±16,±21,±25}=7{±5,±14,±23,±24}{\ displaystyle \ {\ pm 2, \ pm 16, \ pm 21, \ pm 25 \} = _ {7} \ {\ pm 5, \ pm 14, \ pm 23, \ pm 24 \}}

• k=8{\ displaystyle k = 8}

{-98,-82,-58,-34,13,16,69,75,99}=8{98,82,58,34,-13,-16,-69,-75,-99}{\ displaystyle \ {- 98, -82, -58, -34,13,16,69,75,99 \} = _ {8} \ {98,82,58,34, -13, -16, - 69, -75, -99 \}}

• k=9{\ displaystyle k = 9}

{±99,±100,±188,±301,±313}=9{±71,±131,±180,±307,±308}{\ displaystyle \ {\ pm 99, \ pm 100, \ pm 188, \ pm 301, \ pm 313 \} = _ {9} \ {\ pm 71, \ pm 131, \ pm 180, \ pm 307, \ pm 308 \}}

Bu son çözüm diğerleriyle birlikte Borwein ve ark. (2003) . İdeal bir çözüm bilinmemektedir . k=10{\ displaystyle k = 10}

Cebirsel bir formülasyon

Problemi formüle etmenin daha cebirsel bir yolu var:

Teklif  -  Aşağıdaki koşullar eşdeğerdir:

1. ∑ben=1değil-debenj=∑ben=1değilbbenj,(j=1,...,k){\ displaystyle \ toplam _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} ^ {j} = \ toplam _ {i = 1} ^ {n} b_ {i} ^ {j}, \ quad (j = 1, \ ldots, k)}
2. derece⁡(∏ben=1değil(x--deben)-∏ben=1değil(x-bben))≤değil-(k+1){\ displaystyle \ deg \ sol (\ prod _ {i = 1} ^ {n} (x-a_ {i}) - \ prod _ {i = 1} ^ {n} (x-b_ {i}) \ sağ) \ leq n- (k + 1)}
3. (x-1)k+1|∑ben=1değilx-deben-∑ben=1değilxbben.{\ displaystyle (x-1) ^ {k + 1} \ sol | \ toplamı _ {i = 1} ^ {n} x ^ {a_ {i}} - \ toplamı _ {i = 1} ^ {n} x ^ {b_ {i}} \ sağ ..}

Notlar ve referanslar

(fr) Bu makale kısmen veya tamamen alınır İngilizce Vikipedi başlıklı makalesinde “  - Tarry - Prouhet Escott sorun  ” ( yazarların listesini görmek ) .

Notlar

1. Borwein (2002) , s.  85
2. Nuutti Kuosa, Jean-Charles Meyrignac ve Chen Shuwen tarafından 1999'da verilen çözüm, bkz. The Prouhet-Tarry-Escott problemi .
3. ME Prouhet, Sayıların kuvvetleri arasındaki bazı ilişkiler üzerine Anı , CR Acad. Sci. Paris, seri I, cilt. 33, 1851, s.  225 .
4. (in) Leonard Eugene Dickson , History of the Theory of Numbers  (en) [ detay sürümleri ], uçuş. 2, 1919, yak. XXIV, s.  705-716 .
5. Wright (1959)
6. Borwein ve Ingalls (1944)
7. Borwein (2002)
8. Borwein, Lisonĕk ve Percival 2003
9. (inç) Michael Filaseta ve Maria Markovich , "  Newton poligonları ve Prouhet-Tarry-Escott problemi  " , Journal of Number Theory , cilt.  174, 2017, s.  384–400 ( DOI  10.1016 / j.jnt.2016.10.009 ).
10. Borwein (2002) ve The Prouhet-Tarry-Escott problemi .
11. See Borwein ve Ingalls (1944) referanslar için.

Referanslar

• (tr) Andreas Alpers ve Robert Tijdeman , "  İki boyutlu Prouhet-Tarry-Escott problemi  " , J. Number Theor. , cilt.  123,2007, s.  403-412
• (en) Peter Borwein , Analiz ve Sayı Teorisinde Hesaplamalı Geziler , New York / Berlin / Heidelberg, Springer , der.  "Matematikte CMS Kitapları",2002, 220  p. ( ISBN  0-387-95444-9 , çevrimiçi okuyun )Bölüm 11: Prouhet - Tarry - Escott sorunu (sayfa 85-96) soruna ayrılmıştır.
• (tr) Peter Borwein ve Colin Ingalls , "  Prouhet-Tarry-Escott sorunu yeniden ele alındı  " , Öğretmen. Matematik. , cilt.  40, n kemik  1-2,1994, s.  3-27 ( çevrimiçi okuyun )
• (tr) Peter Borwein , Petr Lisonĕk ve Colin Percival , "  Prouhet-Tarry-Escott probleminin hesaplamalı araştırmaları  " , Math. Comp. , cilt.  72, n o  244,2003, s.  2063-2070 ( çevrimiçi okuyun )
• (de) Albert Gloden  (lb) , Mehrgradige Gleichungen: Mit einem Vorwort von Maurice Kraitchik , Groningen, P.Noordhoff ,1944( Matematik İncelemeleri  0019638 )
• GH Hardy ve EM Wright (  İngilizce'den F. Sauvageot tarafından çevrilmiştir ), Sayılar teorisine giriş ["  Sayılar Teorisine Giriş  "], Paris ve Heidelberg, Vuibert ve Springer,2007Bölüm 20.5 "Dört Kare Teoremi" bu konuyu ele almaktadır. Bölüm 21.9 “Prouhet ve Tarry sorunu: sayı  ” ve 21.10, s. 423-427, Prouhet-Tarry problemine adanmıştır.P(k,j){\ displaystyle P (k, j)}
• (tr) Edward M. Wright , "  Prouhet'in 1910 Tarry-Escott sorununun 1851 çözümü  " , Amer. Matematik. Aylık , cilt.  66,Mart 1959, s.  199-201

Ayrıca görün

İlgili Makaleler

• Prouhet-Thue-Morse Süit
• Euler'in Varsayımı
• Erdős-Suranyi teoremi

Dış bağlantılar

• (tr) Chen Shuwen , Prouhet-Tarry-Escott sorunu
• (tr) Eric W. Weisstein , "  Prouhet-Tarry-Escott problemi  " , MathWorld'de

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">