Bileşik Poisson süreci

Teoremi  -  sipariş momenti 1- ise sırayla 1 bir an kabul sonra tüm rastgele değişken için 1 bir an vardır ve Y1{\ displaystyle Y_ {1}}t∈[0,+∞[{\ displaystyle t \ in [0, + \ infty [} Zt{\ displaystyle Z_ {t}}

E(Zt)=λtE(Y1),{\ displaystyle \ mathbb {E} (Z_ {t}) = \ lambda t \ mathbb {E} (Y_ {1}),}

λ{\ displaystyle \ lambda}

(DEĞİLt)t∈[0,+∞[{\ displaystyle (N_ {t}) _ {t \ in [0, + \ infty [}}

Bunun entegre edilebilir olduğunu düzeltelim ve gösterelim . t{\ displaystyle t}Zt{\ displaystyle Z_ {t}}

E(|Zt|)=∑değil≥1∫11DEĞİLt=değil|∑k=1değilYk|dP≤∑değil≥1E(11DEĞİLt=değil∑k=1değil|Yk|){\ displaystyle \ mathbb {E} (| Z_ {t} |) = \ toplamı _ {n \ geq 1} \ int 1 \! \! 1_ {N_ {t} = n} | \ toplamı _ {k = 1 } ^ {n} Y_ {k} | d \ mathbb {P} \ leq \ sum _ {n \ geq 1} \ mathbb {E} (1 \! \! 1_ {N_ {t} = n} \ toplam _ {k = 1} ^ {n} | Y_ {k} |)}

Ancak ve bağımsızdır, bu nedenle 11DEĞİLt=değil{\ displaystyle 1 \! \! 1_ {N_ {t} = n}}∑k=1değil|Yk|{\ displaystyle \ toplamı _ {k = 1} ^ {n} | Y_ {k} |}

E(|Zt|)≤∑değil≥1P(DEĞİLt=değil)E(∑k=1değil|Yk|)≤∑değil≥1P(DEĞİLt=değil)değilE(|Y1|)≤E(DEĞİLt)E(|Y1|){\ displaystyle \ mathbb {E} (| Z_ {t} |) \ leq \ toplamı _ {n \ geq 1} \ mathbb {P} (N_ {t} = n) \ mathbb {E} (\ toplamı _ { k = 1} ^ {n} | Y_ {k} |) \ leq \ sum _ {n \ geq 1} \ mathbb {P} (N_ {t} = n) n \ mathbb {E} (| Y_ {1 } |) \ leq \ mathbb {E} (N_ {t}) \ mathbb {E} (| Y_ {1} |)}

Şimdi bir Poisson parametre yasasını izler , bu nedenle . DEĞİLt{\ displaystyle N_ {t}}λt{\ displaystyle \ lambda t}E(|Zt|)<λtE(|Y1|)<+∞{\ displaystyle \ mathbb {E} (| Z_ {t} |) <\ lambda t \ mathbb {E} (| Y_ {1} |) <+ \ infty}

Aynı şekilde ve Hakim Yakınsama Teoremini kullanarak, bu sefer bunu gösterebiliriz . E(Zt)=λtE(Y1){\ displaystyle \ mathbb {E} (Z_ {t}) = \ lambda t \ mathbb {E} (Y_ {1})}

Teorem  -  varyans-Eğer 2 seviyesinde bir anı itiraf, o zaman herkes için , 2 seviyesinde bir anı itiraf ve sahip olduğumuz Y1{\ displaystyle Y_ {1}}t{\ displaystyle t}Zt{\ displaystyle Z_ {t}}

V-der(Zt)=λtE(Y12){\ displaystyle Var (Z_ {t}) = \ lambda t \ mathbb {E} (Y_ {1} ^ {2})}

Düzeltelim . Olayların bir anı 2'ye sahip olduğunu göstermek için tüm olaylar sistemine koşulluyoruz. t{\ displaystyle t} {DEĞİLt=değil}{\ displaystyle \ {N_ {t} = n \}}Zt{\ displaystyle Z_ {t}}

E(|Zt|2)=∑değil≥1E(|∑k=1DEĞİLtYk|2|DEĞİLt=değil)P(DEĞİLt=değil){\ displaystyle \ mathbb {E} (| Z_ {t} | ^ {2}) = \ toplamı _ {n \ geq 1} \ mathbb {E} (| \ toplamı _ {k = 1} ^ {N_ {t }} Y_ {k} | ^ {2} | N_ {t} = n) \ mathbb {P} (N_ {t} = n)}

Süitte işlemden bağımsız olarak , (DEĞİLt)t{\ displaystyle (N_ {t}) _ {t}}(Yben)ben{\ displaystyle (Y_ {i}) _ {i}}

E(|∑k=1DEĞİLtYk|2|DEĞİLt=değil)=E(|∑k=1değilYk|2){\ displaystyle \ mathbb {E} (| \ toplamı _ {k = 1} ^ {N_ {t}} Y_ {k} | ^ {2} | N_ {t} = n) = \ mathbb {E} (| \ toplam _ {k = 1} ^ {n} Y_ {k} | ^ {2})}

Yani

E(|Zt|2)=∑değil≥1E(|∑k=1değilYk|2)P(DEĞİLt=değil)≤∑değil≥1E(∑k=1değil|Yk|2)P(DEĞİLt=değil){\ displaystyle \ mathbb {E} (| Z_ {t} | ^ {2}) = \ toplamı _ {n \ geq 1} \ mathbb {E} (| \ toplamı _ {k = 1} ^ {n} Y_ {k} | ^ {2}) \ mathbb {P} (N_ {t} = n) \ leq \ sum _ {n \ geq 1} \ mathbb {E} (\ sum _ {k = 1} ^ {n } | Y_ {k} | ^ {2}) \ mathbb {P} (N_ {t} = n)}

O zaman bizde

E(|Zt|2)≤∑değil≥1(değilV-der(|Y1|)+(değilE(|Y1|))2)P(DEĞİLt=değil)≤E(DEĞİLt)V-der(|Y1|)+E(DEĞİLt2)(E(|Y1|))2{\ displaystyle \ mathbb {E} (| Z_ {t} | ^ {2}) \ leq \ toplamı _ {n \ geq 1} (nVar (| Y_ {1} |) + (n \ mathbb {E} ( | Y_ {1} |)) ^ {2}) \ mathbb {P} (N_ {t} = n) \ leq \ mathbb {E} (N_ {t}) Var (| Y_ {1} |) + \ mathbb {E} (N_ {t} ^ {2}) (\ mathbb {E} (| Y_ {1} |)) ^ {2}}

(Zt)t{\ displaystyle (Z_ {t}) _ {t}}bu nedenle kare ile integrallenebilir. Bu nedenle şimdi ifade etmeliyiz . E(Zt2){\ displaystyle \ mathbb {E} (Z_ {t} ^ {2})}

E(Zt2)=∑değil≥1E(Zt2|DEĞİLt=değil)P(DEĞİLt=değil)=E(DEĞİLt)V-der(Y1)+E(DEĞİLt2)(E(Y1))2{\ displaystyle \ mathbb {E} (Z_ {t} ^ {2}) = \ toplamı _ {n \ geq 1} \ mathbb {E} (Z_ {t} ^ {2} | N_ {t} = n) \ mathbb {P} (N_ {t} = n) = \ mathbb {E} (N_ {t}) Var (Y_ {1}) + \ mathbb {E} (N_ {t} ^ {2}) (\ mathbb {E} (Y_ {1})) ^ {2}}

Nereden

V-der(Zt)=E(DEĞİLt)V-der(Y1)+V-der(DEĞİLt)(E(Y1))2=λtE(Y12).{\ displaystyle Var (Z_ {t}) = \ mathbb {E} (N_ {t}) Var (Y_ {1}) + Var (N_ {t}) (\ mathbb {E} (Y_ {1})) ^ {2} = \ lambda t \ mathbb {E} (Y_ {1} ^ {2}).}

Büyük Sayılar Kanunu

Bileşik Poisson süreci için büyük sayılardan oluşan bir Kanun yazabiliriz .

Teorem  -  Eğer les bir sıra 2'ye sahipse, o zaman Yben{\ displaystyle Y_ {i}}

P(limt→+∞ZtDEĞİLt=E(Y1))=1{\ displaystyle \ mathbb {P} (\ lim _ {t \ ila + \ infty} {\ dfrac {Z_ {t}} {N_ {t}}} = \ mathbb {E} (Y_ {1})) = 1}

Büyük sayılar yasasına göre , biz var . Nereden neredeyse kesinlikle. (DEĞİLt)t{\ displaystyle (N_ {t}) _ {t}}limt→+∞DEĞİLtt=λ{\ displaystyle \ lim _ {t \ ile + \ infty} {\ dfrac {N_ {t}} {t}} = \ lambda}limt→+∞DEĞİLt=+∞{\ displaystyle \ lim _ {t \ ila + \ infty} N_ {t} = + \ infty}

Y1,Y2,⋯,YDEĞİL{\ displaystyle Y_ {1}, Y_ {2}, \ cdots, Y_ {N}}iid ve kare ile entegre edilebilir. sahip olduğumuz için büyük sayıların güçlü yasasına göre(Yben)ben{\ displaystyle (Y_ {i}) _ {i}}

∑ben=1DEĞİLYbenDEĞİL↦DEĞİL→+∞E(Y1).{\ displaystyle {\ dfrac {\ sum _ {i = 1} ^ {N} Y_ {i}} {N}} \ mapsto _ {N \ to + \ infty} \ mathbb {E} (Y_ {1}) .}

Neredeyse kesin olarak bir sonuca yöneldiği gibi . DEĞİLt{\ displaystyle N_ {t}}+∞{\ displaystyle + \ infty}

Fonksiyon Karakteristiği

Karakteristik fonksiyonu arasında tam olarak belirler olasılık teorisini(Zt)t{\ displaystyle (Z_ {t}) _ {t}}

Teorem  -  Yoğunluktan oluşan bir Poisson sürecinin karakteristik işlevi yazılır (Zt)t{\ displaystyle (Z_ {t}) _ {t}}λ{\ displaystyle \ lambda}

ΦZt(ξ)=eλt(ΦY1(ξ)-1){\ displaystyle \ Phi _ {Z_ {t}} (\ xi) = e ^ {\ lambda t (\ Phi _ {Y_ {1}} (\ xi) -1)}}

Karakteristik fonksiyonun tanımı ve toplam beklenti formülünün formülü ile ,

ΦZt(ξ)=∑değil≥0E(e-benξZt|DEĞİLt=değil)P(DEĞİLt=değil)=∑değil≥0E(e-benξ∑j=0DEĞİLtYj|DEĞİLt=değil)P(DEĞİLt=değil){\ displaystyle \ Phi _ {Z_ {t}} (\ xi) = \ toplamı _ {n \ geq 0} \ mathbb {E} (e ^ {- i \ xi Z_ {t}} | N_ {t} = n) \ mathbb {P} (N_ {t} = n) = \ sum _ {n \ geq 0} \ mathbb {E} (e ^ {- i \ xi \ sum _ {j = 0} ^ {N_ { t}} Y_ {j}} | N_ {t} = n) \ mathbb {P} (N_ {t} = n)}

Ve süreç ve rastgele değişken dizisi arasındaki bağımsızlık sayesinde , buna sahibiz Nereden (DEĞİLt)t{\ displaystyle (N_ {t}) _ {t}}(Yj)j{\ displaystyle (Y_ {j}) _ {j}}E(e-benξ∑j=0DEĞİLtYj|DEĞİLt=değil)=E(e-benξ∑j=1değilYj).{\ displaystyle \ mathbb {E} (e ^ {- i \ xi \ toplamı _ {j = 0} ^ {N_ {t}} Y_ {j}} | N_ {t} = n) = \ mathbb {E} (e ^ {- i \ xi \ toplam _ {j = 1} ^ {n} Y_ {j}}).}

ΦZt(ξ)=∑değil≥0E(e-benξ∑j=1değilYj)e-λt(λt)değildeğil!.{\ displaystyle \ Phi _ {Z_ {t}} (\ xi) = \ toplamı _ {n \ geq 0} \ mathbb {E} (e ^ {- i \ xi \ toplamı _ {j = 1} ^ {n } Y_ {j}}) e ^ {- \ lambda t} {\ dfrac {(\ lambda t) ^ {n}} {n!}}.}

Ve aralarındaki bağımsızlık sayesinde , biz var . Böylece sahibiz Yj{\ displaystyle Y_ {j}}E(e-benξ∑j=1değilYj)=ΦY1(ξ)değil{\ displaystyle \ mathbb {E} (e ^ {- i \ xi \ toplamı _ {j = 1} ^ {n} Y_ {j}}) = \ Phi _ {Y_ {1}} (\ xi) ^ { değil}}

ΦZt(ξ)=e-λt∑değil≥0(ΦY1(ξ))değil(λt)değildeğil!=eλt(ΦY1(ξ)-1).{\ displaystyle \ Phi _ {Z_ {t}} (\ xi) = e ^ {- \ lambda t} \ toplamı _ {n \ geq 0} (\ Phi _ {Y_ {1}} (\ xi)) ^ {n} {\ dfrac {(\ lambda t) ^ {n}} {n!}} = e ^ {\ lambda t (\ Phi _ {Y_ {1}} (\ xi) -1)}.}

Merkezi Limit Teoremi

Süreç için bir yakınsama teoremi oluşturabiliriz . (Zt)t{\ displaystyle (Z_ {t}) _ {t}}

Teorem  -  Poisson sürecinin yoğunluktan oluşmasına izin verin . Merkezlenmiş, küçültülmüş ve bağımsız ve aynı şekilde dağıtılmış olduklarını varsayıyoruz . Daha sonra aşağıdaki yasada Yakınsama var(Zt)t{\ displaystyle (Z_ {t}) _ {t}}Λ{\ displaystyle \ Lambda}Yben{\ displaystyle Y_ {i}}

Zt→t→+∞LDEĞİL(0,1).{\ displaystyle Z_ {t} {\ xrightarrow [{t \ ila + \ infty}] {\ mathcal {L}}} {\ mathcal {N}} (0,1).}

Karakteristik fonksiyonunu kullanırız ve 0'ın komşuluğunda sınırlı bir genişleme yaparız (bu, t'yi sonsuzluğa doğru eğilimi gösterir). Normal bir yasaya göre rastgele bir değişkenin karakteristik fonksiyonunu tanıyacağız. daha sonra Paul-Levy süreklilik teoremi ile sonuca varıyoruz(Zt)t{\ displaystyle (Z_ {t}) _ {t}}ΦY1{\ displaystyle \ Phi _ {Y_ {1}}}

Ekler

Kaynakça

• D. Applebaum, Lévy Processes and Stochastic Calculus , PPUR presleri politeknikleri, 2009
• J. Bertoin , Lévy Processes , Cambridge University Press, Cambridge, 1996. ( ISBN  0-52164-632-4 )
• Y. Caumel, Olasılıklar ve Stokastik Süreçler , Springer Verlag Fransa, 2011, ( ISBN  2817801628 )

Notlar ve referanslar

• (tr) Bu makale kısmen veya tamamen alınır İngilizce Vikipedi başlıklı makalesinde “  Bileşik Poisson süreci  ” ( yazarların listesini görmek ) .