Hakim yakınsama teoremi

In matematik ve daha doğrusu içinde analiz , egemen yakınsama teoremi biridir ana teoremler Lebesgue entegrasyonu teorisi .

Hakim yakınsama teoremi

Teorem  -  Izin vermek , gerçek veya karmaşık değerlerle ölçülen bir uzay üzerinde bir dizi ölçülebilir fonksiyon olsun , örneğin: (fdeğil)değil∈DEĞİL{\ displaystyle (f_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}} (E,AT,μ){\ displaystyle (E, {\ mathcal {A}}, \ mu)}

• fonksiyonların sekansı sadece yakınsayan üzerinde E bir fonksiyonu f  ;(fdeğil)değil∈DEĞİL{\ displaystyle (f_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}
• integrallenebilir bir g fonksiyonu vardır, öyle ki:

∀değil∈DEĞİL,∀x∈E,|fdeğil(x)|≤g(x).{\ displaystyle \ forall n \ mathbb {N} 'de, \ forall x \ E'de, | f_ {n} (x) | \ leq g (x).}

O zaman f integrallenebilir ve

limdeğil→∞∫E|fdeğil-f| dμ=0.{\ displaystyle \ lim _ {n \ ile \ infty} \ int _ {E} | f_ {n} -f | ~ \ mathrm {d} \ mu = 0.}

Özellikle :

limdeğil→∞∫Efdeğil dμ=∫Elimdeğil→∞fdeğil dμ=∫Ef dμ.{\ displaystyle \ lim _ {n \ - \ infty} \, \ int _ {E} f_ {n} ~ \ mathrm {d} \ mu = \ int _ {E} \ lim _ {n \ - \ infty} f_ {n} ~ \ mathrm {d} \ mu = \ int _ {E} f ~ \ mathrm {d} \ mu.} Fatou'nun lemasının kanıtı

Kaynak: Walter Rudin , Gerçek ve karmaşık analiz [ sürümlerin ayrıntıları ]

Göstererek başlayalım f integrallenebilirdir:

beri f ölçülebilir fonksiyonları bir dizi basit sınırıdır, bu ölçülebilir ve tüm gelince n elimizde , sınırı geçerek bu nedenle f integrallenebilirdir. |fdeğil(x)|≤g(x){\ displaystyle | f_ {n} (x) | \ leq g (x)}|f(x)|≤g(x),∀x∈E{\ displaystyle | f (x) | \ leq g (x), E içinde \ forall x \}

Öyleyse, bu nedenle Fatou'nun lemmasını uygulayabiliriz , 2g-|fdeğil-f|≥0{\ displaystyle 2g- | f_ {n} -f | \ geq 0}

∫2g dμ=∫lim inf(2g-|fdeğil-f|) dμ ≤lim inf∫(2g-|fdeğil-f|) dμ =∫2g dμ+lim inf∫-|fdeğil-f| dμ =∫2g dμ-lim sup∫|fdeğil-f| dμ{\ displaystyle {\ başlar {hizalı} \ int 2g ~ \ mathrm {d} \ mu & = \ int \ liminf (2g- | f_ {n} -f |) ~ \ mathrm {d} \ mu \\\ & \ leq \ liminf \ int (2g- | f_ {n} -f |) ~ \ mathrm {d} \ mu \\\ & = \ int 2g ~ \ mathrm {d} \ mu + \ liminf \ int - | f_ {n} -f | ~ \ mathrm {d} \ mu \\\ & = \ int 2g ~ \ mathrm {d} \ mu - \ limsup \ int | f_ {n} -f | ~ \ mathrm {d} \ mu \\\ uç {hizalı}}}

ve o zamanki gibi∫g dμ<∞{\ displaystyle \ int g ~ \ mathrm {d} \ mu <\ infty \;}lim sup∫|fdeğil-f| dμ≤0{\ displaystyle \ limsup \ int | f_ {n} -f | ~ \ mathrm {d} \ mu \ leq 0}

nereden

lim∫|fdeğil-f| dμ=0{\ displaystyle \ lim \ int | f_ {n} -f | ~ \ mathrm {d} \ mu = 0}

Bundan çıkarım yapıyoruz:

|∫fdeğil dμ-∫f dμ|=|∫(fdeğil-f) dμ|≤∫|fdeğil-f| dμ→0{\ displaystyle \ sol | \ int f_ {n} ~ \ mathrm {d} \ mu - \ int f ~ \ mathrm {d} \ mu \ sağ | = \ sol | \ int (f_ {n} -f) ~ \ mathrm {d} \ mu \ right | \ leq \ int | f_ {n} -f | ~ \ mathrm {d} \ mu \ to 0}

ve bu yüzden

∫fdeğil dμ→∫f dμ.{\ displaystyle \ int f_ {n} ~ \ mathrm {d} \ mu \ rightarrow \ int f ~ \ mathrm {d} \ mu.} Monotonik yakınsama teoremi ile kanıt

Hadi poz verelim

gdeğil=|fdeğil-f|,sonrahdeğil=supm≥değilgmvekdeğil=2g-hdeğil.{\ displaystyle g_ {n} = | f_ {n} -f |, \ quad {\ text {sonra}} \ quad h_ {n} = \ sup _ {m \ geq n} g_ {m} \ quad {\ metin {ve}} \ quad k_ {n} = 2g-h_ {n}.}

Pozitif ölçülebilir fonksiyonlar, limit artan bir dizi oluşturmak . Monotonik yakınsama teoremine göre bu nedenle elimizde kdeğil{\ displaystyle k_ {n}}2g{\ displaystyle 2g}

lim∫kdeğil dμ=∫2g dμ{\ displaystyle \ lim \ int k_ {n} ~ \ mathrm {d} \ mu = \ int 2g ~ \ mathrm {d} \ mu}

Dolayısıyla

lim∫hdeğil dμ=0,sonralim∫gdeğil dμ=0Çünkü0≤gdeğil≤hdeğil.{\ displaystyle \ lim \ int h_ {n} ~ \ mathrm {d} \ mu = 0, \ quad {\ text {sonra}} \ quad \ lim \ int g_ {n} ~ \ mathrm {d} \ mu = 0 \ quad {\ text {araba}} \ quad 0 \ leq g_ {n} \ leq h_ {n}.}

İspatın sonu öncekiyle aynıdır.

Örnekler

Basit ama kullanışlı bir özel durum

Izin bir dizi sürekli fonksiyonların bir aralık üzerinden gerçek veya karmaşık değerlerle I gerçek hattının. Aşağıdaki iki varsayımı yapıyoruz: (fdeğil)değil∈DEĞİL{\ displaystyle (f_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}

• dizi basitçe bir f fonksiyonuna yakınsar  ;(fdeğil)değil∈DEĞİL{\ displaystyle (f_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}
• sürekli bir g fonksiyonu vardır, öyle ki∀değil∈DEĞİL,∀x∈ben,|fdeğil(x)|≤g(x) ve ∫beng(x)dx<+∞.{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N}, \ forall x \ in I, | f_ {n} (x) | \ leq g (x) {\ text {ve}} \ int _ {I} g (x) {\ rm {d}} x <+ \ infty.}Yani∫ben|f(x)|dx<+∞ ve limdeğil→+∞∫benfdeğil(x)dx=∫benf(x)dx.{\ displaystyle \ int _ {I} \ vert f (x) \ vert {\ rm {d}} x <+ \ infty {\ text {et}} \ lim _ {n \ rightarrow + \ infty} \ int _ {I} f_ {n} (x) {\ rm {d}} x = \ int _ {I} f (x) {\ rm {d}} x.}

Hakimiyet hipotezi üzerine notlar

Bütünleştirilebilir bir fonksiyonun varlığı g tüm fonksiyonların üstesinden gelen | f n | sup n | fonksiyonunun integrallenebilirliğine eşdeğerdir f n |  : t ↦ sup n | f n ( t ) | (tüm işlevlerin üstesinden gelen en küçük işlev | f n | ).

Bu varsayım teoremi uygulamak için gereklidir: örneğin [0, + ∞ [ , f n = fonksiyonlarının dizisi1/değil1 [0, N [ - burada , n > 0 ve 1 [0, n, [ belirtmektedir gösterge işlevi arasında aralık [0, N [ - sadece yakınsamaktadır sıfır fonksiyonu (yakınsama da bir tek tip ), fakat entegrallerinin dizisidir f n , bu sınırın (sıfır) integraline doğru eğilimli olmaktan uzak, sürekli olarak 1'e eşittir. Teoreme göre, sup n | f n | bu nedenle entegre edilemez. (Etkili: sup n | f n ( t ) | =1/E ( t ) + 1, ancak harmonik serisi farklılaşır.)

Bununla birlikte, teoremden çıkarılmadan istenen sonucun doğru olduğu da olabilir: örneğin [0, + ∞ [ , f n = 1 [ n , n +1/değil[ hem basitçe hem de L 1'de 0'a yakınsar, ancak sup n | f n | entegre edilemez.

Bir dizi göstergenin yakınsaması

Her durumda teoremini f , n olan gösterge a kısmı, A , n ve E . Bu fonksiyonlar gerçek değerlere sahip olduklarından, bu fonksiyon serisinin basit yakınsaması, alt ve üst limitlerinin eşitliğine eşittir ve sırasıyla set serilerinin alt ve üst limitlerinin göstergelerine eşittir . Bu nedenle şunları elde ederiz:

Aşağıdakiler gibi ölçülen bir uzayın bir dizi ölçülebilir parçası olalım : (ATdeğil)değil∈DEĞİL{\ displaystyle (A_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}(E,AT,μ){\ displaystyle (E, {\ mathcal {A}}, \ mu)}

• dizinin alt ve üst sınırları eşittir;(ATdeğil)değil∈DEĞİL{\ displaystyle (A_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}
• μ(∪değil∈DEĞİLATdeğil)<∞.{\ displaystyle \ mu (\ cup _ {n \ in \ mathbb {N}} A_ {n}) <\ infty.}

Daha sonra ölçülebilir grubu A tarafından tanımlanan

AT: =lim infdeğilATdeğil=lim supdeğilATdeğil{\ displaystyle A: = \ liminf _ {n} A_ {n} = \ limsup _ {n} A_ {n}}

sonlu ölçüye sahiptir ve aşağıdakileri doğrular:

limdeğil→∞μ(ATdeğilΔAT)=0,{\ displaystyle \ lim _ {n \ ile \ infty} \ mu (A_ {n} \ Delta A) = 0,}

gösterim Δ simetrik farkı belirtir .

Özellikle :

limdeğil→∞μ(ATdeğil)=μ(AT).{\ displaystyle \ lim _ {n \ ile \ infty} \ mu (A_ {n}) = \ mu (A).}

Bununla birlikte, bu sonucu, hakim yakınsama teoremine başvurmadan doğrudan elde edebileceğimize dikkat edin. Aslında

μ(ATdeğilΔAT)=μ(ATdeğil∪AT)-μ(ATdeğil∩AT)≤μ(∪p≥değilATp)-μ(∩p≥değilATp)→değil→∞μ(lim supdeğilATdeğil)-μ(lim infdeğilATdeğil)=0.{\ displaystyle \ mu (A_ {n} \ Delta A) = \ mu (A_ {n} \ fincan A) - \ mu (A_ {n} \ kap A) \ leq \ mu (\ fincan _ {p \ geq n} A_ {p}) - \ mu (\ cap _ {p \ geq n} A_ {p}) {\ xrightarrow [{n \ ila \ infty}] {}} \ mu (\ limsup _ {n} A_ {n}) - \ mu (\ liminf _ {n} A_ {n}) = 0.}

Genelleme

Ölçüm teorisinde, mülkiyet kavramını hemen hemen her yerde tanımlayabiliriz , bu yüzden hakim yakınsama teoremini daha genel bir şekilde ifade edebiliriz:

Teorem  -  Izin ölçülü alan üzerinde ölçülebilir fonksiyonları bir dizi öyle ki ℝ veya ℂ değerleri ile,: (fdeğil)değil∈DEĞİL{\ displaystyle \ scriptstyle (f_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}(E,AT,μ){\ displaystyle \ scriptstyle (E, {\ mathcal {A}}, \ mu)}

• fonksiyonların sekansı , demek ki, neredeyse her bir sınır, kabul hemen hemen tüm mevcut x  ;(fdeğil)değil∈DEĞİL{\ displaystyle \ scriptstyle (f_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}limdeğil→∞fdeğil(x){\ displaystyle \ scriptstyle \ lim _ {n \ ila \ infty} f_ {n} (x)}
• integrallenebilir bir g fonksiyonu vardır, öyle ki her n doğal sayısı için , |fdeğil(x)|≤g(x){\ displaystyle | f_ {n} (x) | \ leq g (x)} μ-neredeyse her yerde.

O zaman orada bir integrallenebilir fonksiyonu var f öyle ki f n için yakınsak f hemen hemen her yerde ve

limdeğil→∞∫Efdeğil dμ=∫Ef dμ.{\ displaystyle \ lim _ {n \ ile \ infty} \ int _ {E} f_ {n} ~ \ mathrm {d} \ mu = \ int _ {E} f ~ \ mathrm {d} \ mu.}

Bu teoremi göstermek için ihmal edilebilir kısımları eleyerek bir önceki duruma geri döndüğünüzden emin olmak yeterlidir.

Gösteri

Her iki ek üzerinde ihmal edilebilir bir grubu yakınsak ve herhangi bir tam sayı için, olduğu , . Tüm bu setler önemsizdir, bu yüzden poz vererek her zaman sahibiz . Sonuç olarak, baskın yakınsama teoremini basit durumda (tamamlayıcısı üzerine ) uygulamak ve sınır tanımını boş olarak seçerek tamamlamak yeterlidir . DEĞİL0{\ displaystyle N_ {0}}fdeğil{\ displaystyle f_ {n}}k>0{\ displaystyle k> 0}DEĞİLk={x:|fk(x)|>g(x)}{\ displaystyle N_ {k} = \ {x: | f_ {k} (x) |> g (x) \}}DEĞİL=∪k=0∞DEĞİLk{\ displaystyle \ scriptstyle N = \ cup _ {k = 0} ^ {\ infty} N_ {k}}μ(DEĞİL)=0{\ displaystyle \ mu (N) = 0}DEĞİL{\ displaystyle N}f{\ displaystyle f}DEĞİL{\ displaystyle N}

Not :

Bir olasılık ölçüsü olması durumunda , ilk hipotez şu şekilde değiştirilebilir:

• fonksiyonlar dizisi olasılıkla ölçülebilir bir fonksiyona yakınsar f .(fdeğil)değil∈DEĞİL{\ displaystyle \ scriptstyle (f_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}

Uygulama örneği

Eğer , onun Fourier dönüşümü süreklidir. Hakimiyet hipotezinin doğrulanması acildir, çünkü  ; hakim yakınsama teoremi, bunun sıralı olarak sürekli , dolayısıyla sürekli olduğunu görmemizi sağlar . f∈L1(R){\ displaystyle f \ in L ^ {1} (\ mathbb {R})}f^(y)=∫-∞+∞f(x)e-benxydx{\ displaystyle {\ widehat {f}} (y) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} f (x) {\ rm {e}} ^ {- {\ rm {i}} xy } {\ rm {d}} x}|f(x)e-benxy|=|f(x)|{\ displaystyle \ vert f (x) {\ rm {e}} ^ {- {\ rm {i}} xy} \ vert = \ vert f (x) \ vert}f^{\ displaystyle {\ widehat {f}} \,}

Ayrıca görün

İlgili Makaleler

• Parametrik integral
• Seri-integral ters çevirme teoremi
• Monotonik yakınsama teoremi

Dış bağlantılar

• Lebesgue'in baskın yakınsama teoremi. Bağıntıların les-mathematiques.net üzerinde
• Riemann-integrallenebilen işlevler için Baskın yakınsaklık teoremi , J.-F. Burnol, bir gelen notlar DEUG elbette en Lille Üniversitesi
• Basit bir durumda Lebesgue teoremleri

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">