Ürün (matematik)

Sayıların çarpımı olarak adlandırılan tamsayı , gerçek , karmaşık veya diğer çarpımlarının sonuçları . Çarpılan elemanlara çarpım faktörleri denir . İfade , bir ürünün, örneğin yazı, "ürün" olarak adlandırılan $3$ $, bir$ dizi üç arasında $bir$ çarpma sembolüdür gösterildiği iki faktör, bir ürünüdür.

Reel veya karmaşık sayıların çarpılma sırası ve bu terimlerin nasıl gruplandırıldığı önemli değildir; bu nedenle, hiçbir terim permütasyonu ürünün sonucunu değiştirmez. Bu özelliklere , yasanın değişebilirliği ve çarpma yasasının birleşebilirliği denir .

Vektörler ve matrisler ( matris çarpımı , tensör çarpımı , vb.) Gibi nesnelerin çarpımı değişmeli değildir.

Örnekler

Beşli üç paket

Eğer üç paket her içeren beş davranır , daha sonra toplam içerdikleri $3 x 5$ davranır. Bu ürün, bir üç ile beş , bir eşit toplam bir üç eşit şartlar beş . Ve üç kere beş , on beştir .

{\ Displaystyle 5 \; + \; 5 \; + \; 5 \; = \; 3 \ çarpı 5 \; = \; 15.}

Beş sağa dönüş

Fransız ifadesi "olarak bir fraksiyonun ait ' bir büyüklük ', edat " arasında bir sembolü ile matematik sonuçlar" çarpma . Bu sembol, ürünün ima $fg$ fraksiyonu temsil $f$ bir miktar $g$ . Eşittir Ürün beşte ikisi arasında üç yüz altmış derecede ise $f = 2 / 5$ ve $g = 360 °$

{\ displaystyle {\ frac {2} {5}} \, \ times \, 360 \, ^ {\ circ} \, = \, {\ frac {4} {10}} \, \ times \, 360 \ , ^ {\ circ} \, = \, 0 {,} 4 \, \ times \, 360 \, ^ {\ circ} \, = \, 4 \, \ times 36 \, ^ {\ circ} \, = \, 144 \, ^ {\ circ}.}

Aynı uzunlukta birbirini izleyen doğrusal yollar gerçekleştiren bir mobil robot düşünelim $d$ . Bu kısmi yollar, ardışık eşit parçalarla düzlem geometrisinde temsil edilir . İki düz yol arasında, sabit robotun kendi üzerine $144 °$ döndüğünü varsayalım . O tamamlandığında tekrarlanan şu manevrayı beş kez: dosdoğru bir uzunluk gitmek $d$ sonra sağ kendisi açmak $144 °$ , onun başlangıç noktasına döner. Kapalı poligonal rotası, çevresi $5$ $d$ olan normal bir yıldız beşgeni ( Schläfli sembolü {5/2}) ile temsil edilir . Robot, tüm kapalı yolu boyunca $5 \times 144 ° = 720 ° = 2 \times 360 °$ açıyla normal çokgenin merkezi etrafında saat yönünde döner . Yıldız beşgenin merkezi etrafında iki tam dönüş yapar.

Basit durumlar ve gösterimler

Bütün çarpımının temel prensip doğal sayılar bir elemanlarını saymak birlik içinde , n iki tarafından iki ayrık setleri ( n olduğu çarpanı ) her set aynı sayıda içeren, s elemanlarının ( s olan çarpılan ) .

Kelime bilgisi

İki faktörden oluşan bir üründe, ilk faktör kural çarpanı ve ikinci çarpan ile adlandırılır . Bir bölümdeki temettü ve bölenin tersine çevrilmesinin aksine, değerlerinin tersine çevrilmesi sonucu asla değiştirmez .

çarpan × çarpan

Operatör olan çarpma işareti "×", bir dönem ". » Ondalık ayırıcı virgül olduğunda satırda ve Anglo-Sakson sözleşmesinde olduğu gibi, çizgi üzerindeki nokta ondalık ayırıcı olarak zaten kullanıldığında bir operatör noktası "⋅" ( medyan ); içinde bilgisayar programlama , dil genellikle kullanmak yıldız işareti "*" (yıldız işareti). Örneğin 3a gibi bir ifadede net bir şekilde mevcut olduğunda atlanır .

Tamsayılar için prensip

Doğal tam sayılar söz konusu olduğunda , çarpma aynı sayıların toplamasını yapmak anlamına gelir. Örneğin, "beş, yedi ile çarpılır" dediğimizde, bu, beş öğeden oluşan bir kümeyi yedi kez tekrarladığımız anlamına gelir. Yani :

5 \ times 7 = 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 35.

Dahası, sayıların çarpımının farklı cebirsel özellikleri arasında, değişme açıklanabilir: faktörlerin sırası sonucu etkilemez:

7 \ times 5 = 7 + 7 + 7 + 7 = 35 = 5 \ times 7.

Bu ifadeler sırasıyla "beş çarpı yedi" (veya "7 çarpı 5") ve "yedi çarpı beş" (veya "5 çarpı 7") şeklindedir.

Bu işlem ayrıca teknik ihtiyaçlar için not edilebilir,

	$5$
$\times$	$7$

	$35$

Sonuç şu şekilde elde edilebilir:

çarpım tablosu gibi bilinen sonuçların bulunduğu bir dizine başvurarak ;
bir algoritma yürüterek (kafa kafaya, bir yazı aracıyla elle veya bir bilgisayar kullanarak ):
- en basit algoritma, ardışık eklemelerle özetlenebilir (küçük sayılar için sıktır, ancak hızlı bir şekilde kullanılamaz),
- daha büyük sayılar için, ancak yine de makul boyutta, kültürel bagajın bir parçası olan daha etkili yöntemler vardır,
- modern bilgi işlem, bazıları araştırma nesneleri olan daha da karmaşık tekniklerin ortaya çıkmasına neden olmuştur.

Ondalık sayılar ilkesi

Bir ondalık sayı on bir güç ile ayrılmıştır bir tam sayı olduğu (1 - bu daha sonra bir tam sayı olduğu -, 10, 100, 1000 ...). Bölmedeki çarpmanın dağıtılabilirliği, tam sayılarınki gibi ondalık sayıların çarpımlarının hesaplanmasına izin verir:

virgülleri yok sayarız ve sayıları tamsayılarmış gibi çarparız;
Nihai sonucun ondalık basamaklarının sayısı, çarpanın ve çarpanın ondalık basamaklarının sayısının toplamıdır.

Örneğin 5,3 × 0,21 hesaplamak için:

1113'ü veren 53 × 21'i hesaplıyoruz;
çarpanın ondalık noktadan sonra bir rakamı vardır, çarpanın iki rakamı vardır, dolayısıyla sonuç üç (1 + 2) olur: sonuç 1.113'tür.

Genelleme

Daha genel olarak, bir ürün, dahili bir çarpım yasası için bir kümenin iki öğesinin bileşiminin sonucudur . Ne zaman matrisler veya çeşitli diğer nesneler halkalar çarpılır, ürün genellikle faktörlere sırasına bağlıdır; başka bir deyişle, matrislerin çarpımı ve bu diğer halkaların çarpım yasaları değişmeli değildir .

Ürün konseptinin genellemeleri ve uzantıları matematikte mevcuttur :

iç çarpım ve çapraz çarpım , vektör çarpma türleridir ;
Matris ürün , matris çarpımı önemsiz alt kümeleri haricinde değişmeli değildir;
iki işlevin olağan ürünü ;
ürünlerin halkalar veya değişmeli (veya sol ) organları her türlü.

Normların değişmezliğine saygı gösteren çarpımlar ("iki nesnenin ürününün normu, normlarının ürününe eşittir") yalnızca birkaç nesne için tanımlanabilir: gerçek sayılar , kompleksler , kuaterniyonlar ve oktonyonlar .

Endekslenmiş ürün

Birçok endeksli faktör söz konusu olduğunda ürün ∏ ( pi sermaye ) olarak not edilebilir . Örneğin, bir diziyi ele alırsak , o zaman: $(u_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}$ $\ prod _ {{i = 1}} ^ {N} u_ {i} = u_ {1} \ times u_ {2} \ times \ cdots \ times u_ {N}.$

Notlar

Çarpma işareti elde edilebilir
- içerisinde Unicode , karakteri ile U+00D7 ;
- içinde HTML , kurum tarafından ×ya × ;
- içerisinde LateX , matematik ortamda ( $…$veya \[…\]komutu ile), \times.
"Operatör noktası" sembolü elde edilebilir:
- içerisinde Unicode , karakteri ile U+22C5 ;
- içinde HTML , varlık tarafından ⋅ (skaler nokta) ya da ⋅ ;
- içerisinde LateX ile \textperiodcentered, ve matematik ortamda ( $…$veya \[…\]), komut tarafından \cdot.
Bununla birlikte, ifadenin anlamı (pratik bir bakış açısından) biraz farklıdır: bir durumda 5 öğeden oluşan 7 yığın vardır, diğerinde 7 öğeden oluşan 5 yığın vardır.
Bu işaret elde edilebilir
- içinde HTML , arayarak tt ;
- içinde LaTeX , matematik ortamında ( $ ... $ ya \ [... \] ), komut tarafından \ prod_ { index } ^ { üs } .

Ayrıca görün