Gelen lineer cebir , bir projektör (veya projeksiyon ) bir olan doğrusal haritası iki denk şekilde sunulabilir:
Bir Hilbertian veya hatta sadece prehilbertian uzayda , ek ikisinin ortogonal olduğu bir projeksiyona ortogonal izdüşüm denir .
Let F vektörü bir alt uzayı E ve G, bir ilave F içinde D . Herhangi bir vektör X ve E , bir vektör toplamı olarak benzersiz bir şekilde yazılabilir F ve bir vektör G : . Çıkıntı K paralel G sonra haritasıdır:
Bu şekilde kurulan uygulama p , im ( p ) = F ve çekirdek ker ( p ) = G resminin bir endomorfizmi , idempotentidir ( p ∘ p = p ) . Bu endomorfizm köşegenleştirilebilir .
Biz projektörler kümesini tanımlamak E endomorfizmaları olarak p ve e tatmin p 2 = p . Az önce herhangi bir projeksiyonun bir projektör olduğunu gördük. Karşılıklı olarak :
Projektör karakterizasyon teoremi - Herhangi bir E projektörü bir projeksiyondur, tam olarak ker ( p ) 'ye paralel im ( p ) üzerindeki izdüşümdür , bu iki alt uzay daha sonra ilave olur.
F'ye paralel G üzerindeki izdüşüm, q = id - p haritasıdır , p ile "ilişkili" projektör olarak da adlandırılır .
Görüntü q sonra çekirdeği olan p , görüntü p çekirdeği bunun q . Başka bir deyişle: ker ( p ) = im (id - p ) ve im ( p ) = ker (id - p ) .
Aynı vektör uzayının iki endomorfizmi p ve r , ancak ve ancak p ∘ r = r ve r ∘ p = p ise aynı görüntünün projektörleridir .
GösteriBir vektör uzayı E , ancak ve ancak aşağıdakileri tatmin eden (için ) bir projektör ailesi varsa ve i ≠ j ise , vektör alt uzaylarının doğrudan toplamıdır .
Bir vektör simetri bir Endomorfizma s şekildedir s 2 (değil "ile karıştırılmamalıdır kimlik simetrik Endomorfizma ").
Gibi Endomorfizmlerin arama p 2 = p , ya da s 2 burada = kimliği gerçekleştirilir üzerinden denklem tedavisi için basit bir özel durum , P ( u için = 0) P polinom ve u Endomorfizma; Genellemeler için " Endomorfizmin Polinomu " makalesine bakın .
Bir de karesel alan bir özellikle prehilbertian boşluk , bir projektör bir olup simetrik Endomorfizma ancak ve ancak . Daha sonra ortogonal bir projektörümüz veya ortogonal bir projeksiyonumuz var .
Sonlu boyutlu bir uzayın herhangi bir projektörü, sadece 1 ve 0 özdeğerleri ile köşegenleştirilebilir (eğer sıfır veya özdeş değilse).
Biz gösterdiği takdirde Gerçekten de, bir temel E ile vektörleri im ( p ) ve vektörleri ker ( s ) (görüntü ve çekirdek, çünkü mümkün olan p ek olarak), daha sonra matris p bu uyarlanmış bir baz içinde yazılı:
Bu nedenle aşağıdaki özelliklere sahibiz: