Gelen matematik ve daha özel olarak genel cebir , çekirdek a morfizmalar olmayan ölçen birebirlik bir morfizma.
Birçok durumda, bir morfizma çekirdek bir olan alt kümesi içinde morfizmanın tanımı gönderilen elemanların kümesi: setinin nötr elemanın bir geliş seti . Daha genel bağlamlarda çekirdek, tanım setinde bir eşdeğerlik ilişkisi olarak yorumlanır : morfizm ile aynı görüntü üzerine gönderilen öğeleri birbirine bağlayan ilişki .
Bu durumların her ikisinde de çekirdek önemsizdir, ancak ve ancak morfizm enjekte ediciyse. İlk durumda " önemsiz ", yalnızca nötr unsurdan oluşan anlamına gelirken, ikincisinde ilişkinin eşitlik olduğu anlamına gelir .
Bir morfizmin çekirdeği f , ker ( f ) veya Ker ( f ) olarak gösterilir. Bu kısaltma, "çekirdek" anlamına gelen (terimin her anlamıyla: analoji bir dilden diğerine yayılmıştır) İngilizce çekirdek kelimesinden gelir.
Bu makale, en sık kullanılan morfizm türleri için çekirdeğin çeşitli tanımlarını sunmaktadır.
Bir çekirdek grubu morfizmanın f a grubu G grubuna M tüm elemanlardan oluşur G gönderilir f ilgili kimlik eleman E , H ve H . Resmen:
Çekirdek a, alt grup arasında G .
İzomorfizm teoremlerinden biri , bölüm grubu G / ker ( f ) 'nin f imgesine izomorfik olduğunu belirtir . Bu izomorfizm f'nin kendisi tarafından indüklenir . Biraz daha genel bir önerme, morfizmlerin çarpanlara ayırma teoremidir .
F gruplarının morfizmi, ancak ve ancak çekirdeğinin önemsiz grup olması durumunda enjekte edicidir .
Karşılıklı görüntünün özelliklerine göre , bir bileşik morfizmin çekirdeği şuna eşittir:
Eğer f a, doğrusal harita , bir gelen vektör alan V bir vektör uzayı için W , daha sonra çekirdek f ile tanımlanır
Çekirdek, V vektör uzayının bir alt uzayıdır ve bölüm vektör uzayı V / ker ( f ) f imgesine izomorfiktir ; Özellikle, sıra teoremi ilgilidir boyutları :
Doğrusal harita f ancak ve ancak ker ( f ) = {0} ise enjektedir .
Eğer V ve W olan sonlu boyutlu vektör uzayı bir ile değişmeli alan K , ilgili boyutların, n ve p ise ve bazlar , bu boşlukların verilir, daha sonra da F edilebilir bir matris ile temsil edilen , ve çekirdek çözme belirlenebilir homojen doğrusal denklem sistemi M X = 0.
Bu gösterimde, bu sistemin çözümleri çekirdek vektörlerinin f koordinatlarına , ancak aynı zamanda matris M ile kanonik olarak ilişkilendirilmiş doğrusal eşleme vektörünün çekirdeğine de karşılık gelir .
Çekirdek büyüklüğü sütun sayısı ile verilir M az seviye arasında M .
Homojen diferansiyel denklemleri çözmek, genellikle belirli bir doğrusal haritanın çekirdeğini belirlemeye götürür .
Örneğin, iki kez türevlenebilir fonksiyonları belirlemek istiyorsanız f den R için R şekilde
Biz lineer dönüşümün çekirdeği dikkat edilmesi gereken hususlar , V bütün fonksiyonların vektör uzayı iki gelen türevlenebilir olan R ile R , W, tüm fonksiyonlar vektör uzayı R için R ile ve görüntü , bir elemanın, d , f ve V tanımlanmış şartına göre
Bir çekirdek halkası morfizmanın f bir mesafede halka A , bir halka içine B tüm öğelerden oluşur x ve A için de f ( x ), Resmi olarak 0 değerini =:
Çekirdek, bir iki taraflı yere ait A .
Yukarıda gruplar ve vektör uzayları için bahsedilen izomorfizm teoremi, halkalar durumunda geçerliliğini korur.
Bir gövde morfizma çekirdek (kabul halkalardır, yani bir halka morfizmanın organları ) her zaman, herhangi bir vücut morfizmanın birebirdir, nötr element 0 düşürülür.
Gerçek bir E vektör uzayında , ikinci dereceden bir form , 2. derece homojen bir polinom haritadır . Simetrik çift doğrusal form ile ilişkilidir.
.Çekirdek q vektörü alt uzay olan
Büzülmesi B ile v doğrusal ilk belirtmektedir , ve N lineer dönüşümün çekirdek olarak görünür
Görüntü, çekirdek N'nin iptal edicisi olan ikili uzay E * ' nin bir alt uzayıdır .
Tüm bu çekirdek kavramları, değişmeli kategoriler teorisi çerçevesinde genelleştirilmiştir .
Karmaşık üstel fonksiyon exp bir bir grup morfizma örneği (ℂ *, x) içerisine (ℂ, +) Şunlardan. Kendi çekirdek kümesidir karmaşık sayılar z öyle ki e z = 1 .
Not ederek , anlıyoruz
nereden