Schrödinger denkleminin yayıcısı
Olarak fizik , bir üreticinin a, özel Yeşil işlevi kullanılan kuantum elektrodinamik olarak yorumlanabilir, olasılık genliği bir için temel parçacık , belirli bir süre içinde başka bir yerden bir yere taşımak için.
Tarih
Yayıcı terimi , 1948'de Feynman tarafından , olağan kanonik Hamilton temelli kuantizasyon prosedürünün aksine, Lagrange merkezli kuantizasyona yeni bir yaklaşım olan kuantum yolu integral mekaniğinin formülasyonu için tanıtıldı .
Çok kullanışlı bir matematiksel araç olan yayıcı , Dyson tarafından bir Green işlevinden başka bir şey olarak tanımlanmayacaktır . Bu açıklama Dyson'ın 1948'de Schwinger tarafından geliştirilen kuantum elektrodinamiğinin soyut formülasyonu ile Feynman tarafından bağımsız olarak icat edilen diyagramlara dayanan arasındaki eksik bağı kurmasına izin verecektir .
Schrödinger'in yayıcısı
Hamilton operatörünün yazdığı göreli olmayan tek boyutlu bir kütle parçacığını düşünün :
m{\ displaystyle m}![m](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc)
H^ = p^22m + V(q^){\ displaystyle {\ hat {H}} \ = \ {\ frac {{\ hat {p}} ^ {2}} {2m}} \ + \ V ({\ hat {q}})}
|
Schrödinger'in temsilinde, bu parçacık, Schrödinger denklemine uyan ket tarafından tanımlanmıştır :
|ψ(t)⟩{\ displaystyle | \ psi (t) \ rangle}![{\ displaystyle | \ psi (t) \ rangle}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe09d6c91bfdbae7a3aaa7f0ae7ff6b96f521eca)
benℏ d|ψ(t)⟩dt = H^ |ψ(t)⟩{\ displaystyle ı \ hbar \ {\ frac {d | \ psi (t) \ rangle} {dt}} \ = \ {\ hat {H}} \ | \ psi (t) \ rangle}
|
Kendimize sabit bir başlangıç zamanında bir başlangıç koşulu verirsek ve operatörün zamandan bağımsız olduğunu varsayarsak , Schrödinger denkleminin çözümünü daha sonraki zamanlarda şu şekilde yazabiliriz :
t0{\ displaystyle t_ {0}}
|ψ(t0)⟩{\ displaystyle | \ psi (t_ {0}) \ rangle}
H^{\ displaystyle \ {\ hat {H}}}
t>t0{\ displaystyle t> t_ {0}}![{\ displaystyle t> t_ {0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41e02e9ea5fe42219433e4140c99ee5235a956fd)
|ψ(t)⟩ = e-benH^(t-t0)/ℏ |ψ(t0)⟩{\ displaystyle | \ psi (t) \ rangle \ = \ e ^ {- ben {\ şapka {H}} (t-t_ {0}) / \ hbar} \ | \ psi (t_ {0}) \ rangle }
|
Bu denklemi pozisyonların temsiline yansıtalım:
⟨q|ψ(t)⟩ = ⟨q|e-benH^(t-t0)/ℏ |ψ(t0)⟩{\ displaystyle \ langle q | \ psi (t) \ rangle \ = \ \ langle q | e ^ {- ben {\ şapka {H}} (t-t_ {0}) / \ hbar} \ | \ psi ( t_ {0}) \ rangle}
|
ve sağdaki terime kapanış ilişkisini ekleyin:
1 = ∫dq0 |q0⟩ ⟨q0|{\ displaystyle 1 \ = \ \ int \ mathrm {d} q_ {0} \ | q_ {0} \ rangle \ \ langle q_ {0} |}
|
o gelir :
⟨q|ψ(t)⟩ = ∫dq0 ⟨q|e-benH^(t-t0)/ℏ |q0⟩ ⟨q0|ψ(t0)⟩{\ displaystyle \ langle q | \ psi (t) \ rangle \ = \ \ int \ mathrm {d} q_ {0} \ \ langle q | e ^ {- ben {\ şapka {H}} (t-t_ { 0}) / \ hbar} \ | q_ {0} \ rangle \ \ langle q_ {0} | \ psi (t_ {0}) \ rangle}
|
Önceki denklemin şu şekilde yazıldığı göz önüne alındığında :
⟨q|ψ(t)⟩=ψ(q,t){\ displaystyle \ langle q | \ psi (t) \ rangle = \ psi (q, t)}![{\ displaystyle \ langle q | \ psi (t) \ rangle = \ psi (q, t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16de887841ed5d7a7da12bdc7fb6f5e092412e87)
ψ(q,t) = ∫dq0 ⟨q|e-benH^(t-t0)/ℏ|q0⟩ ψ(q0,t0){\ displaystyle \ psi (q, t) \ = \ \ int \ mathrm {d} q_ {0} \ \ langle q | e ^ {- ben {\ şapka {H}} (t-t_ {0}) / \ hbar} | q_ {0} \ rangle \ \ psi (q_ {0}, t_ {0})}
|
Tanım
Schrödinger denkleminin yayıcısını şu şekilde tanımlıyoruz:
K(q,t|q0,t0) = ⟨q|e-benH^(t-t0)/ℏ|q0⟩{\ displaystyle {K (q, t | q_ {0}, t_ {0}) \ = \ \ langle q | e ^ {- i {\ hat {H}} (t-t_ {0}) / \ hbar } | q_ {0} \ rangle}}
|
böylece dalga fonksiyonu integral denkleme göre gelişir:
ψ(q,t) = ∫dq0 K(q,t|q0,t0) ψ(q0,t0){\ displaystyle \ psi (q, t) \ = \ \ int \ mathrm {d} q_ {0} \ K (q, t | q_ {0}, t_ {0}) \ \ psi (q_ {0}, t_ {0})}
|
Not
Olarak Schrödinger denkleminin bir çözüm, üreticinin bu denklemin bir çözeltisi aynı zamanda:
ψ(q,t){\ displaystyle \ psi (q, t)}![{\ displaystyle \ psi (q, t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ae63ac01548619f4c3c78988c4a0c54d1c73f3a)
benℏ ∂K(q,t|q0,t0)∂t = - ℏ22m Δq K(q,t|q0,t0) + V(q) K(q,t|q0,t0){\ displaystyle i \ hbar \ {\ frac {\ kısmi K (q, t | q_ {0}, t_ {0})} {\ kısmi t}} \ = \ - \ {\ frac {\ hbar ^ {2 }} {2m}} \ \ Delta _ {q} \ K (q, t | q_ {0}, t_ {0}) \ + \ V (q) \ K (q, t | q_ {0}, t_ {0})}
|
bu da başlangıç durumunu kontrol etmelidir :
limt→t0K(q,t|q0,t0) = δ(q-q0){\ displaystyle \ lim _ {t \ ile t_ {0}} K (q, t | q_ {0}, t_ {0}) \ = \ \ delta (q-q_ {0})}
|
Matematikçiler bu durumda Schrödinger denkleminin temel bir çözümünden bahsediyorlar , fizikçiler bunun yerine Green fonksiyonunun adını kullanıyorlar .
Bir geçiş genliğinin hesaplanmasına uygulama
İlk durumdan geçiş için parçacık için geçiş genliği
zamanda bir duruma zamanda matris elemanı tarafından verilir:
|ψ(t1)⟩{\ displaystyle | \ psi (t_ {1}) \ rangle}
t1{\ displaystyle t_ {1}}
|φ(t2)⟩{\ displaystyle | \ varphi (t_ {2}) \ rangle}
t2>t1{\ displaystyle t_ {2}> t_ {1}}![{\ displaystyle t_ {2}> t_ {1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64a8a08bdde332a69cc9c30b42c699553d058504)
S1→2 = ⟨φ(t2)|e-benH^(t2-t1)/ℏ |ψ(t1)⟩{\ displaystyle S_ {1 \ - 2} \ = \ \ langle \ varphi (t_ {2}) | e ^ {- i {\ hat {H}} (t_ {2} -t_ {1}) / \ hbar } \ | \ psi (t_ {1}) \ rangle}
|
Kapanış ilişkisini iki kez ekleyerek şunu elde ederiz:
S1→2 = ∫∫dq1dq2 ⟨φ(t2)|q2⟩ ⟨q2| e-benH^(t2-t1)/ℏ |q1⟩ ⟨q1|ψ(t1)⟩{\ displaystyle S_ {1 \ - 2} \ = \ \ int \ int \ mathrm {d} q_ {1} \ mathrm {d} q_ {2} \ \ langle \ varphi (t_ {2}) | q_ {2 } \ rangle \ \ langle q_ {2} | \ e ^ {- i {\ hat {H}} (t_ {2} -t_ {1}) / \ hbar} \ | q_ {1} \ rangle \ \ langle q_ {1} | \ psi (t_ {1}) \ rangle}
|
demek ki :
S1→2 = ∫∫dq1dq2 φ∗(q2,t2) K(q2,t2|q1,t1) ψ(q1,t1){\ displaystyle S_ {1 \ - 2} \ = \ \ int \ int \ mathrm {d} q_ {1} \ mathrm {d} q_ {2} \ \ varphi ^ {*} (q_ {2}, t_ { 2}) \ K (q_ {2}, t_ {2} | q_ {1}, t_ {1}) \ \ psi (q_ {1}, t_ {1})}
|
Bu nedenle, yayıcıyı bilmenin, en azından resmi olarak herhangi bir kuantum geçiş genliğini hesaplamayı mümkün kıldığı görülebilir.
Serbest parçacığın yayıcısının ifadesi
Fourier dönüşümü ile ilgili hatırlatmalar
İlişkileri hatırlıyoruz:
ψ^(p) = ∫dq2πℏ e-benpq/ℏ ψ(q){\ displaystyle {\ hat {\ psi}} (p) \ = \ \ int {\ frac {\ mathrm {d} q} {\ sqrt {2 \ pi \ hbar}}} \ e ^ {\, - \ , ipq / \ hbar} \ \ psi (q)}
ψ(q) = ∫dp2πℏ e+benpq/ℏ ψ^(p){\ displaystyle \ psi (q) \ = \ \ int {\ frac {\ mathrm {d} p} {\ sqrt {2 \ pi \ hbar}}} \ e ^ {\, + \, ipq / \ hbar} \ {\ hat {\ psi}} (p)}![{\ displaystyle \ psi (q) \ = \ \ int {\ frac {\ mathrm {d} p} {\ sqrt {2 \ pi \ hbar}}} \ e ^ {\, + \, ipq / \ hbar} \ {\ hat {\ psi}} (p)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e042884730ec95502f562c1a7bc31993a4cde350)
Dirac'ın gösterimleriyle ve dürtüler üzerindeki kapanış ilişkisini kullanarak:
1 = ∫dp |p⟩ ⟨p|{\ displaystyle 1 \ = \ \ int \ mathrm {d} p \ | p \ rangle \ \ langle p |}![{\ displaystyle 1 \ = \ \ int \ mathrm {d} p \ | p \ rangle \ \ langle p |}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f0336c78500d0fe422fb4e4eaade3a052e59e3b)
ikinci ilişki yazılır:
⟨q|ψ⟩ = ∫dp2πℏ e+benpq/ℏ ⟨p|ψ⟩ = ∫dp ⟨q|p⟩ ⟨p|ψ⟩{\ displaystyle \ langle q | \ psi \ rangle \ = \ \ int {\ frac {\ mathrm {d} p} {\ sqrt {2 \ pi \ hbar}}} \ e ^ {\, + \, ipq / \ hbar} \ \ langle p | \ psi \ rangle \ = \ \ int \ mathrm {d} p \ \ langle q | p \ rangle \ \ langle p | \ psi \ rangle}![{\ displaystyle \ langle q | \ psi \ rangle \ = \ \ int {\ frac {\ mathrm {d} p} {\ sqrt {2 \ pi \ hbar}}} \ e ^ {\, + \, ipq / \ hbar} \ \ langle p | \ psi \ rangle \ = \ \ int \ mathrm {d} p \ \ langle q | p \ rangle \ \ langle p | \ psi \ rangle}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/691af0a5d018525eb7c2b8b5eb7ec468d7254e97)
Aşağıdaki formülü çiziyoruz:
⟨q|p⟩ = e+benpq/ℏ2πℏ {\ displaystyle \ langle q | p \ rangle \ = \ {\ frac {e ^ {\, + \, ipq / \ hbar}} {\ sqrt {2 \ pi \ hbar}}} \}![{\ displaystyle \ langle q | p \ rangle \ = \ {\ frac {e ^ {\, + \, ipq / \ hbar}} {\ sqrt {2 \ pi \ hbar}}} \}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d77c5c3555464fab1d1dff1f624a1270910715c0)
Serbest parçacığın yayıcısının ifadesi
Çizgi üzerindeki serbest bir parçacık için Hamilton operatörü konumdan bağımsızdır:
H^ = p^22m{\ displaystyle {\ hat {H}} \ = \ {\ frac {{\ hat {p}} ^ {2}} {2m}}}![{\ displaystyle {\ hat {H}} \ = \ {\ frac {{\ hat {p}} ^ {2}} {2m}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73ee252b785be845d030f8af9111feb46589a648)
Bu durumda not ettiğimiz yayıcı daha sonra şöyle yazılır:
K0{\ displaystyle K_ {0}}![K_ {0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44b0af6cafb690d3dbb0f3f30a032631338dc476)
K0(q,t|q0,t0) = ⟨q|e-benp^2(t-t0)/(2mℏ)|q0⟩{\ displaystyle K_ {0} (q, t | q_ {0}, t_ {0}) \ = \ \ langle q | e ^ {- i {\ şapka {p}} ^ {2} (t-t_ { 0}) / (2d \ hbar)} | q_ {0} \ rangle}![{\ displaystyle K_ {0} (q, t | q_ {0}, t_ {0}) \ = \ \ langle q | e ^ {- i {\ şapka {p}} ^ {2} (t-t_ { 0}) / (2d \ hbar)} | q_ {0} \ rangle}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d98b7568dd92b989e3a99cb8fe4b843a60c04627)
O halde, yayıcı tanımındaki dürtüler için kapanış ilişkisinin iki katını ekleyelim:
K0(q,t|q0,t0) = ∫dp∫dp0 ⟨q|p⟩ ⟨p|e-benp^2(t-t0)/(2mℏ)|p0⟩ ⟨p0|q0⟩{\ displaystyle K_ {0} (q, t | q_ {0}, t_ {0}) \ = \ \ int \ mathrm {d} p \ int \ mathrm {d} p_ {0} \ \ langle q | p \ rangle \ \ langle p | e ^ {- i {\ hat {p}} ^ {2} (t-t_ {0}) / (2m \ hbar)} | p_ {0} \ rangle \ \ langle p_ { 0} | q_ {0} \ rangle}![{\ displaystyle K_ {0} (q, t | q_ {0}, t_ {0}) \ = \ \ int \ mathrm {d} p \ int \ mathrm {d} p_ {0} \ \ langle q | p \ rangle \ \ langle p | e ^ {- i {\ hat {p}} ^ {2} (t-t_ {0}) / (2m \ hbar)} | p_ {0} \ rangle \ \ langle p_ { 0} | q_ {0} \ rangle}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8e87a8d0faeb8423bb3337faf53733700ad02c3)
Ket , tanım gereği operatör dürtüsünün bir özdurumudur , biri vardır:
|p0⟩{\ displaystyle | p_ {0} \ rangle}
p^{\ displaystyle {\ şapka {p}}}![\ hat {p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bd4c026f1b3413adc58b9b65e89e62bce92c85a)
p^|p0⟩ = p0|p0⟩{\ displaystyle {\ hat {p}} \, | p_ {0} \ rangle \ = \ p_ {0} \, | p_ {0} \ rangle}![{\ displaystyle {\ hat {p}} \, | p_ {0} \ rangle \ = \ p_ {0} \, | p_ {0} \ rangle}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ad35027a2ac21f429c74b34896ca6d9385ad443)
ve matris öğesi şöyle olur:
⟨p|e-benp^2(t-t0)/(2mℏ)|p0⟩ = e-benp02(t-t0)/(2mℏ) ⟨p|p0⟩{\ displaystyle \ langle p | e ^ {- i {\ hat {p}} ^ {2} (t-t_ {0}) / (2m \ hbar)} | p_ {0} \ rangle \ = \ e ^ {-ip_ {0} ^ {2} (t-t_ {0}) / (2d \ hbar)} \ \ langle p | p_ {0} \ rangle}![{\ displaystyle \ langle p | e ^ {- i {\ hat {p}} ^ {2} (t-t_ {0}) / (2m \ hbar)} | p_ {0} \ rangle \ = \ e ^ {-ip_ {0} ^ {2} (t-t_ {0}) / (2d \ hbar)} \ \ langle p | p_ {0} \ rangle}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/520ca2b713db2abe5fe83ecb29c86f859fd6347e)
Bunu bilerek , yayıcı için elde ederiz:
⟨p|p0⟩=δ(p-p0){\ displaystyle \ langle p | p_ {0} \ rangle = \ delta (p-p_ {0})}![{\ displaystyle \ langle p | p_ {0} \ rangle = \ delta (p-p_ {0})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/197a3ccfd92c10a26d200181e23a10cb3e0f9eb5)
K0(q,t|q0,t0) = ∫dp ⟨q|p⟩ e-benp2(t-t0)/(2mℏ) ⟨p|q0⟩{\ displaystyle K_ {0} (q, t | q_ {0}, t_ {0}) \ = \ \ int \ mathrm {d} p \ \ langle q | p \ rangle \ e ^ {- ip ^ {2 } (t-t_ {0}) / (2m \ hbar)} \ \ langle p | q_ {0} \ rangle}![{\ displaystyle K_ {0} (q, t | q_ {0}, t_ {0}) \ = \ \ int \ mathrm {d} p \ \ langle q | p \ rangle \ e ^ {- ip ^ {2 } (t-t_ {0}) / (2m \ hbar)} \ \ langle p | q_ {0} \ rangle}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/615595a7a99258e00062dc05294c7659433f1e5a)
Daha önce Fourier dönüşümü ile gösterilen formülü hesaba katarsak :
K0(q,t|q0,t0) = ∫dp e+benpq/ℏ2πℏ × e-benp2(t-t0)/(2mℏ) × e-benpq0/ℏ2πℏ{\ displaystyle K_ {0} (q, t | q_ {0}, t_ {0}) \ = \ \ int \ mathrm {d} p \ {\ frac {e ^ {\, + \, ipq / \ hbar }} {\ sqrt {2 \ pi \ hbar}}} \ \ times \ e ^ {- ip ^ {2} (t-t_ {0}) / (2d \ hbar)} \ \ times \ {\ frac { e ^ {\, - \, ipq_ {0} / \ hbar}} {\ sqrt {2 \ pi \ hbar}}}}![{\ displaystyle K_ {0} (q, t | q_ {0}, t_ {0}) \ = \ \ int \ mathrm {d} p \ {\ frac {e ^ {\, + \, ipq / \ hbar }} {\ sqrt {2 \ pi \ hbar}}} \ \ times \ e ^ {- ip ^ {2} (t-t_ {0}) / (2d \ hbar)} \ \ times \ {\ frac { e ^ {\, - \, ipq_ {0} / \ hbar}} {\ sqrt {2 \ pi \ hbar}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/167b8ec7c388f9610959f8b05dc0bbce440cbdbf)
yeniden yazılan:
K0(q,t|q0,t0) = ∫dp2πℏ tecrübe[benp(q-q0)ℏ - benp2(t-t0)2mℏ]{\ displaystyle K_ {0} (q, t | q_ {0}, t_ {0}) \ = \ \ int {\ frac {\ mathrm {d} p} {2 \ pi \ hbar}} \ \ exp \ sol [\, {\ frac {ip (q-q_ {0})} {\ hbar}} \ - \ {\ frac {ip ^ {2} (t-t_ {0})} {2m \ hbar}} \, \ sağ]}![{\ displaystyle K_ {0} (q, t | q_ {0}, t_ {0}) \ = \ \ int {\ frac {\ mathrm {d} p} {2 \ pi \ hbar}} \ \ exp \ sol [\, {\ frac {ip (q-q_ {0})} {\ hbar}} \ - \ {\ frac {ip ^ {2} (t-t_ {0})} {2m \ hbar}} \, \ sağ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8a7f7bf8b56c7ee4f601470fa11cd773018ceaf)
Üstel argüman aşağıdaki gibi yeniden yazılabilir:
benp(q-q0)ℏ - benp2(t-t0)2mℏ = - ben(t-t0)2mℏ × [ p2 - 2mp(q-q0)(t-t0) ]{\ displaystyle {\ frac {ip (q-q_ {0})} {\ hbar}} \ - \ {\ frac {ip ^ {2} (t-t_ {0})} {2m \ hbar}} \ = \ - \ {\ frac {i (t-t_ {0})} {2m \ hbar}} \ \ times \ \ left [\ p ^ {2} \ - \ {\ frac {2mp (q-q_ { 0})} {(t-t_ {0})}} \ \ sağ]}![{\ displaystyle {\ frac {ip (q-q_ {0})} {\ hbar}} \ - \ {\ frac {ip ^ {2} (t-t_ {0})} {2m \ hbar}} \ = \ - \ {\ frac {i (t-t_ {0})} {2m \ hbar}} \ \ times \ \ left [\ p ^ {2} \ - \ {\ frac {2mp (q-q_ { 0})} {(t-t_ {0})}} \ \ sağ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aae0c139bfa16f438ef34f4253d4a0424d9e43b9)
Ancak kanca, tam bir karenin başlangıcıdır:
p2 - 2mp(q-q0)(t-t0) = [ p - m(q-q0)(t-t0) ]2 - m2(q-q0)2(t-t0)2{\ displaystyle p ^ {2} \ - \ {\ frac {2mp (q-q_ {0})} {(t-t_ {0})}} \ = \ \ sol [\ p \ - \ {\ frac {m (q-q_ {0})} {(t-t_ {0})}} \ \ sağ] ^ {2} \ - \ {\ frac {m ^ {2} (q-q_ {0}) ^ {2}} {(t-t_ {0}) ^ {2}}}}![{\ displaystyle p ^ {2} \ - \ {\ frac {2mp (q-q_ {0})} {(t-t_ {0})}} \ = \ \ sol [\ p \ - \ {\ frac {m (q-q_ {0})} {(t-t_ {0})}} \ \ sağ] ^ {2} \ - \ {\ frac {m ^ {2} (q-q_ {0}) ^ {2}} {(t-t_ {0}) ^ {2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/baae139b24491dee81cf10457b98219eab9f9ab0)
bu nedenle üstel argüman şu hale gelir:
- ben(t-t0)2mℏ × [ ( p - m(q-q0)(t-t0) )2 - m2(q-q0)2(t-t0)2]{\ displaystyle - \ {\ frac {i (t-t_ {0})} {2m \ hbar}} \ \ times \ \ sol [\ \ sol (\ p \ - \ {\ frac {m (q-q_ {0})} {(t-t_ {0})}} \ \ sağ) ^ {2} \ - \ {\ frac {m ^ {2} (q-q_ {0}) ^ {2}} { (t-t_ {0}) ^ {2}}} \ sağ]}
= - ben(t-t0)2mℏ ( p - m(q-q0)(t-t0) )2 + benm(q-q0)22ℏ(t-t0){\ displaystyle = \ - \ {\ frac {i (t-t_ {0})} {2m \ hbar}} \ \ sol (\ p \ - \ {\ frac {m (q-q_ {0})} {(t-t_ {0})}} \ \ sağ) ^ {2} \ + \ {\ frac {im (q-q_ {0}) ^ {2}} {2 \ hbar (t-t_ {0 })}}}![{\ displaystyle = \ - \ {\ frac {i (t-t_ {0})} {2m \ hbar}} \ \ sol (\ p \ - \ {\ frac {m (q-q_ {0})} {(t-t_ {0})}} \ \ sağ) ^ {2} \ + \ {\ frac {im (q-q_ {0}) ^ {2}} {2 \ hbar (t-t_ {0 })}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f80675aa38a866c6f6b979b9b6e4b0724acad6a)
Son terim dürtüden bağımsızdır, integralden ayrılır ve yayıcı şöyle yazılır:
K0(q,t|q0,t0) = tecrübe(benm(q-q0)22ℏ(t-t0)) × ∫dp2πℏ tecrübe[- ben(t-t0)2mℏ ( p - m(q-q0)(t-t0) )2]{\ displaystyle K_ {0} (q, t | q_ {0}, t_ {0}) \ = \ \ exp \ sol ({\ frac {im (q-q_ {0}) ^ {2}} {2 \ hbar (t-t_ {0})}} \ sağ) \ \ times \ \ int {\ frac {\ mathrm {d} p} {2 \ pi \ hbar}} \ \ exp \ left [\, - \ {\ frac {i (t-t_ {0})} {2m \ hbar}} \ \ sol (\ p \ - \ {\ frac {m (q-q_ {0})} {(t-t_ {0 })}} \ \ sağ) ^ {2} \, \ sağ]}![{\ displaystyle K_ {0} (q, t | q_ {0}, t_ {0}) \ = \ \ exp \ sol ({\ frac {im (q-q_ {0}) ^ {2}} {2 \ hbar (t-t_ {0})}} \ sağ) \ \ times \ \ int {\ frac {\ mathrm {d} p} {2 \ pi \ hbar}} \ \ exp \ left [\, - \ {\ frac {i (t-t_ {0})} {2m \ hbar}} \ \ sol (\ p \ - \ {\ frac {m (q-q_ {0})} {(t-t_ {0 })}} \ \ sağ) ^ {2} \, \ sağ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2834d6667093884eaf7ba4b8d2e3876ce7902b5)
Biri, dürtüler üzerinde bir değişken değişikliği yapar, diğer parametreler sabitlenir:
p ⟶ k = p - m(q-q0)(t-t0) ⟹ dp ⟶ dk = dp{\ displaystyle p \ \ longrightarrow \ k \ = \ p \ - \ {\ frac {m (q-q_ {0})} {(t-t_ {0})}} \ \ Longrightarrow \ \ mathrm {d} p \ \ longrightarrow \ \ mathrm {d} k \ = \ \ mathrm {d} p}![{\ displaystyle p \ \ longrightarrow \ k \ = \ p \ - \ {\ frac {m (q-q_ {0})} {(t-t_ {0})}} \ \ Longrightarrow \ \ mathrm {d} p \ \ longrightarrow \ \ mathrm {d} k \ = \ \ mathrm {d} p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/239219a48c2ab1dbe64e584d4cb817bc25b81de7)
Hangi verir:
K0(q,t|q0,t0) = 12πℏ tecrübe(benm(q-q0)22ℏ(t-t0)) × ∫dk tecrübe[- ben(t-t0)k22mℏ]{\ displaystyle K_ {0} (q, t | q_ {0}, t_ {0}) \ = \ {\ frac {1} {2 \ pi \ hbar}} \ \ exp \ sol ({\ frac {im (q-q_ {0}) ^ {2}} {2 \ hbar (t-t_ {0})}} \ sağ) \ \ times \ \ int \ mathrm {d} k \ \ exp \ left [\, - \ {\ frac {i (t-t_ {0}) k ^ {2}} {2d \ hbar}} \, \ sağ]}![{\ displaystyle K_ {0} (q, t | q_ {0}, t_ {0}) \ = \ {\ frac {1} {2 \ pi \ hbar}} \ \ exp \ sol ({\ frac {im (q-q_ {0}) ^ {2}} {2 \ hbar (t-t_ {0})}} \ sağ) \ \ times \ \ int \ mathrm {d} k \ \ exp \ left [\, - \ {\ frac {i (t-t_ {0}) k ^ {2}} {2d \ hbar}} \, \ sağ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c21f4c497f9679b1645cde2c7364bd6f3de78c07)
Tam olarak hesaplanan bir Gauss integrali kalır:
∫dk e-αk2 = πα{\ displaystyle \ int \ mathrm {d} k \ e ^ {- \ alpha k ^ {2}} \ = \ {\ sqrt {\ frac {\ pi} {\ alpha}}}}![{\ displaystyle \ int \ mathrm {d} k \ e ^ {- \ alpha k ^ {2}} \ = \ {\ sqrt {\ frac {\ pi} {\ alpha}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b825f5bd5c480e978a06d32951018932671755b2)
Biz şunu anlıyoruz:
K0(q,t|q0,t0) = 12πℏ 2πmℏben(t-t0) tecrübe(+benm(q-q0)22ℏ(t-t0)){\ displaystyle K_ {0} (q, t | q_ {0}, t_ {0}) \ = \ {\ frac {1} {2 \ pi \ hbar}} \ {\ sqrt {\ frac {2 \ pi m \ hbar} {i (t-t_ {0})}}} \ \ exp \ left ({\ frac {+ im (q-q_ {0}) ^ {2}} {2 \ hbar (t-t_ {0})}} \ sağ)}![{\ displaystyle K_ {0} (q, t | q_ {0}, t_ {0}) \ = \ {\ frac {1} {2 \ pi \ hbar}} \ {\ sqrt {\ frac {2 \ pi m \ hbar} {i (t-t_ {0})}}} \ \ exp \ left ({\ frac {+ im (q-q_ {0}) ^ {2}} {2 \ hbar (t-t_ {0})}} \ sağ)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2386d9e87ccb9179c5ee48e45329bb1a978769f3)
dolayısıyla özgür yayıcının son ifadesi:
K0(q,t|q0,t0) = m2πbenℏ(t-t0) tecrübe(+benm(q-q0)22ℏ(t-t0)){\ displaystyle K_ {0} (q, t | q_ {0}, t_ {0}) \ = \ {\ sqrt {\ frac {m} {2 \ pi i \ hbar (t-t_ {0})} }} \ \ exp \ left ({\ frac {+ im (q-q_ {0}) ^ {2}} {2 \ hbar (t-t_ {0})}} \ sağ)}
|
Not
Bir bir serbest parçacık için d- boyutlu Öklid uzayında , biz benzer olduğunu kanıtlamak olabilir:
K0(q→,t|q→0,t0) = (m2benπℏ(t-t0))d/2 tecrübe(+benm(q→-q→0)22ℏ(t-t0)){\ displaystyle K_ {0} ({\ vec {q}}, t | {\ vec {q}} _ {0}, t_ {0}) \ = \ \ sol (\, {\ frac {m} { 2i \ pi \ hbar (t-t_ {0})}} \, \ sağ) ^ {d / 2} \ \ exp \ left ({\ frac {+ im ({\ vec {q}} - {\ vec {q}} _ {0}) ^ {2}} {2 \ hbar (t-t_ {0})}} \ sağ)}
|
Chapman-Kolmogorov denklemi
Bir andaki dalga fonksiyonu , integral denklem ile verilir:
t2>t1{\ displaystyle t_ {2}> t_ {1}}![{\ displaystyle t_ {2}> t_ {1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64a8a08bdde332a69cc9c30b42c699553d058504)
ψ(q2,t2) = ∫dq1 K(q2,t2|q1,t1) ψ(q1,t1){\ displaystyle \ psi (q_ {2}, t_ {2}) \ = \ \ int \ mathrm {d} q_ {1} \ K (q_ {2}, t_ {2} | q_ {1}, t_ { 1}) \ \ psi (q_ {1}, t_ {1})}
|
Arasındaki ilişkiyi tanıştırarak ve bu denklemin içine elde ederiz
ψ(q1,t1){\ displaystyle \ psi (q_ {1}, t_ {1})}
ψ(q0,t0){\ displaystyle \ psi (q_ {0}, t_ {0})}![{\ displaystyle \ psi (q_ {0}, t_ {0})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b924b04e8ba2f0ccd17d6743db6a1de027ca0b8)
ψ(q2,t2) = ∫dq1 K(q2,t2|q1,t1) ∫dq0K(q1,t1|q0,t0) ψ(q0,t0){\ displaystyle \ psi (q_ {2}, t_ {2}) \ = \ \ int \ mathrm {d} q_ {1} \ K (q_ {2}, t_ {2} | q_ {1}, t_ { 1}) \ \ int \ mathrm {d} q_ {0} K (q_ {1}, t_ {1} | q_ {0}, t_ {0}) \ \ psi (q_ {0}, t_ {0} )}
|
yazabileceğimiz:
ψ(q2,t2) = ∫dq0 [ ∫dq1 K(q2,t2|q1,t1) K(q1,t1|q0,t0) ] ψ(q0,t0){\ displaystyle \ psi (q_ {2}, t_ {2}) \ = \ \ int \ mathrm {d} q_ {0} \ \ sol [\ \ int \ mathrm {d} q_ {1} \ K (q_ {2}, t_ {2} | q_ {1}, t_ {1}) \ K (q_ {1}, t_ {1} | q_ {0}, t_ {0}) \ \ sağ] \ \ psi ( q_ {0}, t_ {0})}
|
Ama doğrudan şunu da yazabildiğimiz için:
ψ(q2,t2) = ∫dq0 K(q2,t2|q0,t0) ψ(q0,t0){\ displaystyle \ psi (q_ {2}, t_ {2}) \ = \ \ int \ mathrm {d} q_ {0} \ K (q_ {2}, t_ {2} | q_ {0}, t_ { 0}) \ \ psi (q_ {0}, t_ {0})}
|
Aşağıdaki temel formülü çıkardık:
K(q2,t2|q0,t0) = ∫dq1 K(q2,t2|q1,t1) K(q1,t1|q0,t0){\ displaystyle K (q_ {2}, t_ {2} | q_ {0}, t_ {0}) \ = \ \ int \ mathrm {d} q_ {1} \ K (q_ {2}, t_ {2 } | q_ {1}, t_ {1}) \ K (q_ {1}, t_ {1} | q_ {0}, t_ {0})}
|
Bu ilişki, Brown hareketinin özel bir durum olduğu stokastik süreçler teorisinde Chapman-Kolmogorov denklemi olarak adlandırılır .
Notlar ve referanslar
-
Richard P. Feynman; Göreli olmayan kuantum mekaniğine uzay-zaman yaklaşımı , Review of Modern Physics 20 (1948) 267. Bu makale Julian Schwinger (ed); Quantum Electrodynamics Üzerine Seçilmiş Makaleler , Dover Publications, Inc. (1958) ( ISBN 0-486-60444-6 ) . Ayrıca aşağıdaki referansı da okuyun.
-
Hamiltonnian zamana bağlıysa, kullanılan kavramların ayrıntılı bir analizi, bu operatörün zamana göre integralini tanımlamayı ve kullanmayı mümkün kılar.
Ayrıca görün
Kaynakça
- Richard P. Feynman; Göreli olmayan kuantum mekaniğine uzay-zaman yaklaşımı , Review of Modern Physics 20 (1948) 267. Bu makale Julian Schwinger (ed); Quantum Electrodynamics Üzerine Seçilmiş Makaleler , Dover Publications, Inc. (1958) ( ISBN 0-486-60444-6 ) . Ayrıca aşağıdaki referansı da okuyun.
- Richard P. Feynman ve André R. Hibbs, Kuantum Fiziği ve Yol İntegralleri , New York: McGraw-Hill, 1965 [ ( ISBN 0-070-20650-3 ) ]. Usta ve öğrencilerinden biri tarafından yazılan tarihsel referans.
- Freeman Dyson; Georges Green ve fizik , Fizik Dünyası (Ağustos 1993), 33-38.
- Ayrıca makalenin kaynakçasına bakın: integral yol .
İlgili Makaleler
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">