Yol integrali

Bir tam yol ( " yol integrali İngilizce") bir olan fonksiyonel ayrılmaz entegre işlevseldir ve toplamı fonksiyonları üzerinde alınır ve söylemek değil, üzerinde reel sayılar (veya kompleks gibi) sıradan integral . Bu nedenle burada sonsuz boyutta bir integral ile uğraşıyoruz. Böylece, matematikçilerin eğrisel integral dediği fiziksel uzay yolunda hesaplanan sıradan bir integralden yol integralini (fonksiyonel integral) dikkatlice ayırt edeceğiz .

Öyleydi Richard Feynman tezi yılında fizik yolu integraller tanıtıldı kim savunulanMayıs 1942Lagrangian'a dayanan kuantum mekaniğinin formülasyonu ile ilgileniyor . Orijinal motivasyon , Wheeler ve Feynman'ın soğurucu teorisinin kuantum formülasyonunu bir Lagrangian'dan ( Hamiltoniyen yerine ) bir başlangıç noktası olarak elde etme arzusundan gelir . İkinci Dünya Savaşı nedeniyle , bu sonuçlar 1948'e kadar yayınlanmadı. Bu matematiksel araç, kuantum alan teorisine genelleştirmesiyle , özellikle Abelian olmayan ayar teorilerinin nicelleştirilmesine izin vererek, teorik fizikte hızla kendini kanıtladı . Kanonik niceleme prosedüründen daha basit .

Ek olarak, matematikçi Mark Kac , 1920'lerde Norbert Wiener tarafından elde edilen sonuçlardan esinlenerek Brownian hareketinin teorik açıklaması için benzer bir kavram geliştirdi.Bu durumda, bir integral olan Feynman-Kac formülünden bahsediyoruz Wiener ölçüsü.

Yol integrali kavramının oluşumu

Bir öğrenci olarak 3 e liderliğindeki döngüsünde Wheeler içinde Princeton Üniversitesi , genç Feynman dayanan bir miktar yöntemi arar Lagrange'ına mutlaka gerek kalmadan bir sistemi tanımlamak için Hamiltonyene . Birincil motivasyonu, Wheeler ile yeni geliştirdiği uzaktan harekete dayalı yeni klasik elektrodinamik formülasyonunu ölçmektir .

1941 baharında, o sırada Princeton'ı ziyaret eden Herbert Jehle ile tanıştı ve Nassau Tavern'de bir akşam ona Dirac tarafından özellikle Lagrangian'dan alınan miktarın ölçülmesini tartışan bir makalenin varlığını anlattı . Jehle, Feynman'a bu formülasyonun, Hamiltoniyen'e dayalı olandan çok daha kolay bir kovaryant göreceli yaklaşıma izin verdiğini belirtir. Ertesi gün iki fizikçi Dirac'ın makalesini incelemek için kütüphaneye gider. Özellikle şu cümleyi okurlar:

İki anlar için ve komşuları, ilköğretim geçiş genliği olan benzer etmek

t

{\ displaystyle t + \ epsilon \,}

{\ displaystyle \ langle q_ {2} (t + \ epsilon) | q_ {1} (t) \ rangle \,}

{\ displaystyle \ exp (iS [q] / \ hbar) \,}

Bu formülde, S [ q ( t )] miktarı klasik eylemdir :

{\ displaystyle S [q_ {2} (t + \ epsilon), q_ {1} (t)] \ = \ \ int _ {t} ^ {t + \ epsilon} L (q, {\ nokta {q} }) \ \ mathrm {d} t \ = \ L \ left (q_ {1}, {\ frac {q_ {2} -q_ {1}} {\ epsilon}} \ sağ) \ \ epsilon \,}

Dirac'ın analogla ne anlama geldiğini anlamak için , Feynman , Lagrangian'ın yazıldığı m kütleli göreli olmayan bir m kütleli parçacığı durumunu inceler :

{\ displaystyle L (q, {\ nokta {q}}) \ = \ {\ frac {m} {2}} {\ nokta {q}} ^ {2} \ - \ V (q)}

Biz biliyoruz ki :

{\ displaystyle \ langle q_ {2} | \ psi (t + \ epsilon) \ rangle \ = \ \ psi (q_ {2}, t + \ epsilon) \ = \ \ int \ mathrm {d} q_ {1} \, \ langle q_ {2} (t + \ epsilon) | q_ {1} (t) \ rangle \, \ langle q_ {1} | \ psi (t) \ rangle}

Feynman daha sonra bir orantılılık ilişkisi varsayar :

{\ displaystyle \ psi (q_ {2}, t + \ epsilon) \ = \ A \ \ int \ mathrm {d} q_ {1} \, \ exp \, \ sol (\, i \, {\ frac { S [q (t)]} {\ hbar}} \, \ sağ) \ \ psi (q_ {1}, t)}

burada A bilinmeyen bir sabittir. Jehle'nin huzurunda Feynman , bu denklemin Schrödinger denklemine uyduğunu ima ettiğini gösterir : ${\ displaystyle \ psi (q, t) \,}$

{\ displaystyle \ sol [\, - \ {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ {\ frac {\ kısmi ^ {2} ~~} {\ kısmi q ^ {2}}} \ + \ V (q) \, \ sağ] \ \ psi (q, t) \ = \ i \, \ hbar \ {\ frac {\ kısmi ~~} {\ kısmi t}} \ psi (q, t) }

bilinmeyen A sabitinin şuna eşit olması koşuluyla :

{\ displaystyle A \ = \ {\ sqrt {\ frac {m} {2 \ pi \ hbar i \ epsilon}}}}

1946 sonbaharında, Princeton Üniversitesi'nin iki yüzüncü yılında, Feynman Dirac'la tanıştı ve şu kısa görüş alışverişi gerçekleşti:

Feynman. - " Bu iki boyutun orantılı olduğunu biliyor muydunuz?" " Dirac. - " Öyle mi? " Feynman. - " Evet. " Dirac. - " Ah! İlginç. "

Bu kısa ve öz cevap, tartışmaya son verecek… Daha fazla tarihsel ayrıntı için, Schweber'in makalesi kârlı bir şekilde okunacaktır.

Schrödinger denkleminin yayıcısı ile ilgili hatırlatmalar

Gösterimleri basitleştirmek için, aşağıda kendimizi tek bir uzay boyutu durumuyla sınırlıyoruz. Sonuçlar, herhangi bir sayıda boyuta kolayca genişletilebilir.

Tanım

Kuantum mekaniğinde bir dalga fonksiyonu ile tanımlanan, m kütleli göreli olmayan bir parçacığı ele alalım . Kendimize başlangıç koşulunu sabit bir başlangıç anında verdiğimizi varsayalım . Daha sonra, dalga fonksiyonu daha sonraki bir anda , Schrödinger denkleminin çözümü , integral denklem ile verilir: ${\ displaystyle \ psi (q_ {0}, t_ {0}) \,}$ ${\ displaystyle t_ {0} \,}$ ${\ displaystyle t_ {1}> t_ {0} \,}$

{\ displaystyle \ psi (q_ {1}, t_ {1}) \ = \ \ int \ mathrm {d} q_ {0} \ K (q_ {1}, t_ {1} | q_ {0}, t_ { 0}) \ \ psi (q_ {0}, t_ {0})}

burada bir yayıcısı partikülün: ${\ displaystyle K (q_ {1}, t_ {1} | q_ {0}, t_ {0}) \,}$

{\ displaystyle {K (q_ {1}, t_ {1} | q_ {0}, t_ {0}) \: = \ \ sol \ langle q_ {1} {\ Büyük |} e ^ {- i {\ şapka {H}} (t_ {1} -t_ {0}) / \ hbar} {\ Büyük |} q_ {0} \ right \ rangle}}

Ĥ , parçacığın Hamilton operatörüdür.

Chapman-Kolmogorov denklemi

Üreticinin Chapman-Kolmogorov denklemine uyması durumunda şunu hatırlayın : ${\ displaystyle t_ {2}> t_ {1}> t_ {0} \,}$

{\ displaystyle K (q_ {2}, t_ {2} | q_ {0}, t_ {0}) \ = \ \ int \ mathrm {d} q_ {1} \ K (q_ {2}, t_ {2 } | q_ {1}, t_ {1}) \ K (q_ {1}, t_ {1} | q_ {0}, t_ {0})}

Bu ilişki, yayıcının ifadesini bir yol integrali cinsinden bulmamızı sağlayacaktır.

Yayıcının yol integrali cinsinden ifadesi

Üreticinin ilk an ile son an arasındaki ifadesine bakalım . ${\ displaystyle K (q_ {f}, t_ {f} | q_ {i}, t_ {i}) \,}$ $t_ {i} \,$ ${\ displaystyle t_ {f} \,}$

Chapman-Kolmogorov denkleminin uygulanması

Zaman aralığı ayrılmıştır içine , N süresi temel zaman aralıklarında sokulmasıyla K + 1 kez: ${\ displaystyle \ Delta t = t_ {f} -t_ {i} \,}$ $\ epsilon \,$

{\ displaystyle t_ {k} \ = \ t_ {0} \ + k \ epsilon}

için

{\ displaystyle \, k \ in \ {0, \ noktalar, N \}}

ile ve . Bu nedenle , ilk zaman ile son zaman arasında N - 1 ara zaman vardır . Zaman aralıklarının temel bir süreye sahip olması için sınır ima edilir. ${\ displaystyle t_ {0} = t_ {i} \,}$ ${\ displaystyle t_ {N} = t_ {f} \,}$ ${\ displaystyle t_ {k} \,}$ $t_ {0} \,$ ${\ displaystyle t_ {N} \,}$ ${\ displaystyle \ epsilon = t_ {k + 1} -t_ {k} \,}$ ${\ displaystyle N \ - + \ infty \,}$

Chapman-Kolmogorov denklemini ilk kez uygulamak, yazmayı mümkün kılar:

{\ displaystyle K (q_ {N}, t_ {N} | q_ {0}, t_ {0}) \ = \ \ int \ mathrm {d} q_ {N-1} \ K (q_ {N}, t_ {N} | q_ {N-1}, t_ {N-1}) \ K (q_ {N-1}, t_ {N-1} | q_ {0}, t_ {0})}

ardından ikinci kez uygulayarak:

{\ displaystyle K (q_ {N}, t_ {N} | q_ {0}, t_ {0}) \ = \ \ int \ mathrm {d} q_ {N-1} \ mathrm {d} q_ {N- 2} \ K (q_ {N}, t_ {N} | q_ {N-1}, t_ {N-1}) \ K (q_ {N-1}, t_ {N-1} | q_ {N- 2}, t_ {N-2}) \ K (q_ {N-2}, t_ {N-2} | q_ {0}, t_ {0})}

Ve benzeri. Nihayet N - 1 ara zamanlarına N - 1 uygulamasından sonra elde ederiz :

{\ displaystyle K (q_ {N}, t_ {N} | q_ {0}, t_ {0}) \ = \ \ int \ sol [\, \ prod _ {k = 1} ^ {N-1} \ mathrm {d} q_ {k} \, \ right] \ K (q_ {N}, t_ {N} | q_ {N-1}, t_ {N-1}) \ times \ cdots \ times K (q_ { k + 1}, t_ {k + 1} | q_ {k}, t_ {k}) \ times \ cdots \ times K (q_ {1}, t_ {1} | q_ {0}, t_ {0}) }

Böylelikle temel propagandacıyı düşünmeye yönlendiriliyoruz :

{\ displaystyle K (q_ {k + 1}, t_ {k + 1} | q_ {k}, t_ {k}) \ = \ \ sol \ langle q_ {k + 1} {\ Büyük |} e ^ { -i {\ hat {H}} \ epsilon / \ hbar} {\ Büyük |} q_ {k} \ sağ \ rangle}

Elemental yayıcı: Feynman-Dirac formülü

Hamilton operatörünün yazıldığı bir potansiyeldeki tek boyutlu göreli olmayan kütle parçacığı için: $m \,$

{\ displaystyle {\ hat {H}} \ = \ {\ hat {H}} _ {0} \ + \ V ({\ hat {q}})}

ve temel yayıcı şöyle yazılmıştır:

{\ displaystyle K (q_ {k + 1}, t_ {k + 1} | q_ {k}, t_ {k}) \ = \ <q_ {k + 1} | e ^ {- i \, [\, {\ hat {H}} _ {0} + V ({\ hat {q}}) \,] \, \ epsilon / \ hbar} | q_ {k}>}

Biz kullanmak Trotter-Kato formülü :

{\ displaystyle e ^ {t ({\ hat {A}} + {\ hat {B}})} \ = \ \ lim _ {n \ - \ infty} \ \ sol [\ e ^ {{\ hat { A}} t / n} \ \ times \ e ^ {{\ hat {B}} t / n} \ \ sağ] ^ {n}}

Bu formül önemsiz değildir, çünkü operatörler ve genellikle işe gidip gelmezler! Buraya geliyoruz: ${\ displaystyle {\ şapka {A}} \,}$ ${\ displaystyle {\ şapka {B}} \,}$

{\ displaystyle K (q_ {k + 1}, t_ {k + 1} | q_ {k}, t_ {k}) \ = \ <q_ {k + 1} | e ^ {- i \ epsilon {\ şapka {H}} _ {0} / \ hbar} \ \ times \ e ^ {- i \ epsilon V ({\ hat {q}}) / \ hbar} | q_ {k}>}

Yalnızca konuma bağlı olan potansiyeli içeren üsteli çıktı verebiliriz:

{\ displaystyle K (q_ {k + 1}, t_ {k + 1} | q_ {k}, t_ {k}) \ = \ <q_ {k + 1} | e ^ {- i \ epsilon {\ şapka {H}} _ {0} / \ hbar} | q_ {k}> \ \ times \ e ^ {- i \ epsilon V (q_ {k}) / \ hbar}}

Kalan matris elemanı, serbest parçacığın yayıcısıdır , bu yüzden sonunda ifadeyi yazabiliriz:

{\ displaystyle K (q_ {k + 1}, t_ {k + 1} | q_ {k}, t_ {k}) \ = \ K_ {0} (q_ {k + 1}, t_ {k + 1} | q_ {k}, t_ {k}) \ \ times \ e ^ {- i \ epsilon V (q_ {k}) / \ hbar}}

Şimdi özgür yayıcının ifadesi tam olarak biliniyor:

{\ displaystyle K_ {0} (q_ {k + 1}, t_ {k + 1} | q_ {k}, t_ {k}) \ = \ {\ sqrt {\ frac {m} {2 \ pi i \ hbar \ epsilon}}} \ \ exp \ left ({\ frac {+ im (q_ {k + 1} -q_ {k}) ^ {2}} {2 \ hbar \ epsilon}} \ sağ)}

Üstel argümanın, hızın ayrıklaştırılmış bir ifadesi olarak yeniden yazılabileceğini unutmayın :

{\ displaystyle {\ dot {q}} _ {k} \ = \ {\ frac {(q_ {k + 1} -q_ {k})} {\ epsilon}}}

gibi :

{\ displaystyle K_ {0} (q_ {k + 1}, t_ {k + 1} | q_ {k}, t_ {k}) \ = \ {\ sqrt {\ frac {m} {2 \ pi i \ hbar \ epsilon}}} \ \ exp \ left ({\ frac {+ im {\ dot {q}} _ {k} ^ {2} \ epsilon} {2 \ hbar}} \ sağ)}

Temel yayıcının yazıldığı sonucuna varıyoruz:

{\ displaystyle K (q_ {k + 1}, t_ {k + 1} | q_ {k}, t_ {k}) \ = \ \ {\ sqrt {\ frac {m} {2 \ pi i \ hbar \ epsilon}}} \ \ exp \ left ({\ frac {+ im {\ dot {q}} _ {k} ^ {2} \ epsilon} {2 \ hbar}} \ sağ) \ times \ \ exp \ left ({\ frac {-i \ epsilon V (q_ {k})} {\ hbar}} \ sağ)}

İki üstelin argümanları artık karmaşık sayılar olduğundan, zorluk çekmeden yazabiliriz:

{\ displaystyle K (q_ {k + 1}, t_ {k + 1} | q_ {k}, t_ {k}) \ = \ \ {\ sqrt {\ frac {m} {2 \ pi i \ hbar \ epsilon}}} \ \ exp \ left ({\ frac {+ im {\ dot {q}} _ {k} ^ {2} \ epsilon} {2 \ hbar}} \ - \ i \ epsilon {\ frac { V (q_ {k})} {\ hbar}} \ sağ)}

veya tekrar:

{\ displaystyle K (q_ {k + 1}, t_ {k + 1} | q_ {k}, t_ {k}) \ = \ \ {\ sqrt {\ frac {m} {2 \ pi i \ hbar \ epsilon}}} \ \ exp \ left [+ {\ frac {i} {\ hbar}} \ \ left ({\ frac {m} {2}} {\ dot {q}} _ {k} ^ {2 } \ - \ V (q_ {k}) \ sağ) \ \ epsilon \ \ sağ]}

Parantez içindeki terim, parçacığın Lagrangian'ını temsil eder:

{\ displaystyle L (q_ {k}, {\ nokta {q}} _ {k}) \ = \ {\ frac {m} {2}} {\ nokta {q}} _ {k} ^ {2} \ - \ V (q_ {k})}

dolayısıyla temel yayıcı için Feynman-Dirac formülü:

{\ displaystyle K (q_ {k + 1}, t_ {k + 1} | q_ {k}, t_ {k}) \ = \ \ {\ sqrt {\ frac {m} {2 \ pi i \ hbar \ epsilon}}} \ \ exp \ left [+ {\ frac {i} {\ hbar}} \ L (q_ {k}, {\ dot {q}} _ {k}) \ \ epsilon \ \ sağ]}

Yol integrali

Feynman-Dirac ifadesini genel formüle enjekte ediyoruz:

{\ displaystyle K (q_ {N}, t_ {N} | q_ {0}, t_ {0}) \ = \ \ int \ sol [\, \ prod _ {k = 1} ^ {N-1} dq_ {k} \, \ right] \ K (q_ {N}, t_ {N} | q_ {N-1}, t_ {N-1}) \ times \ dots \ times K (q_ {k + 1}, t_ {k + 1} | q_ {k}, t_ {k}) \ times \ dots \ times K (q_ {1}, t_ {1} | q_ {0}, t_ {0})}

O gelir :

{\ displaystyle K (q_ {N}, t_ {N} | q_ {0}, t_ {0}) \ = \ \ sol (\, {\ frac {m} {2 \ pi i \ hbar \ epsilon}} \, \ sağ) ^ {N / 2} \ \ int \ left [\, \ prod _ {k = 1} ^ {N-1} dq_ {k} \, \ sağ] \ \ exp \ left [+ { \ frac {i} {\ hbar}} \ L (q_ {N-1}, {\ dot {q}} _ {N-1}) \ \ epsilon \ \ sağ] \ times \ dots \ times \ exp \ sol [+ {\ frac {i} {\ hbar}} \ L (q_ {k}, {\ dot {q}} _ {k}) \ \ epsilon \ \ sağ] \ times \ dots \ times \ exp \ sol [+ {\ frac {i} {\ hbar}} \ L (q_ {0}, {\ dot {q}} _ {0}) \ \ epsilon \ \ sağ]}

Üstellerin karmaşık sayılar olduğu argümanı şöyle yazabiliriz:

{\ displaystyle K (q_ {N}, t_ {N} | q_ {0}, t_ {0}) \ = \ \ sol (\, {\ frac {m} {2 \ pi i \ hbar \ epsilon}} \, \ sağ) ^ {N / 2} \ \ int \ left [\, \ prod _ {k = 1} ^ {N-1} dq_ {k} \, \ sağ] \ \ exp \ left [+ { \ frac {i} {\ hbar}} \ \ left [\, L (q_ {N-1}, {\ dot {q}} _ {N-1}) + \ dots + L (q_ {k}, {\ nokta {q}} _ {k}) + \ dots + L (q_ {0}, {\ dot {q}} _ {0}) \, \ sağ] \ \ epsilon \ \ sağ]}

Üstel argümanda klasik eylemin ayrıklaştığını kabul ediyoruz :

{\ displaystyle \ lim _ {N \ - \ infty} \ toplamı _ {k = 1} ^ {N-1} L (q_ {k}, {\ nokta {q}} _ {k}) \ epsilon \ = \ \ int _ {t_ {0}} ^ {t_ {N}} L (q (t), {\ nokta {q}} (t)) dt \ = \ S \ sol [\, q (t) \ , \ sağ]}

Feynman'la birlikte, yayıcının ifadesini tüm sürekli yollarda işlevsel bir integral olarak çıkardık:

{\ displaystyle K (q_ {N}, t_ {N} | q_ {0}, t_ {0}) \ = \ \ int {\ mathcal {D}} q (t) \ {\ textrm {e}} ^ {+ {\ frac {i \, S \ sol [\, q (t) \, \ sağ]} {\ hbar}}}}

resmi ölçü ile:

{\ displaystyle {\ mathcal {D}} q (t) \ = \ \ lim _ {N \ - \ infty} \ sol (\, {\ frac {m} {2 \ pi i \ hbar \ epsilon}} \ , \ sağ) ^ {N / 2} \ \ sol [\, \ prod _ {k = 1} ^ {N-1} dq_ {k} \, \ sağ]}

Yorumlama

Feynman'ın formülü:

{\ displaystyle K (q_ {f}, t_ {f} | q_ {i}, t_ {i}) \ = \ \ int {\ mathcal {D}} q (t) \ {\ textrm {e}} ^ {+ {\ frac {i \, S \ sol [\, q (t) \, \ sağ]} {\ hbar}}}}

Aşağıdaki yorumlama kabul: başlangıç noktasından geçiş genliğini hesaplamak için şu anda son noktasına doğru şu anda , göz önüne alınması gerekmektedir tüm sürekli yolları sınır koşulları kontrol: ve . Her yola, birim modülünün karmaşık bir "ağırlığı" atanır: burada klasik eylem bu yolda hesaplanır. Daha sonra karmaşık ağırlıkların bu sayılamaz sonsuzluğunu "toplar" ve nihayetinde istenen geçiş genliğini elde ederiz . $q_i \,$ $t_ {i} \,$ ${\ displaystyle q_ {f} \,}$ $t_f$ ${\ displaystyle q (t) \,}$ ${\ displaystyle q (t_ {i}) = q_ {i} \,}$ ${\ displaystyle q (t_ {f}) = q_ {f} \,}$ ${\ displaystyle \ exp (IS [q (t)] / \ hbar) \,}$ ${\ displaystyle S [q (t)] \,}$

Bu yorum tek başına Feynman'ın eseridir, Dirac dalmaya kalkışmamıştı. Bu, 1942'deki tezinde ve 1948 yayınında açıkça belirtilmiştir.

Yarı klasik limit

Sistemin eyleminin çok daha büyük olduğu sınırda , klasik yörüngede küçük bir bozulma olan yarı klasik tipte bir geliştirme kullanılabilir : $\ hbar$ $y$ ${\ displaystyle x_ {c}}$ ${\ displaystyle x = x_ {c} + y}$

Standart bir Lagrange düşünün:

${\ displaystyle {\ mathcal {L}} [x, {\ dot {x}}] = {\ frac {m {\ dot {x}} ^ {2}} {2}} - V (x)}$

Daha sonra eylemi, kendimizi ikinci sırayla sınırlayarak aşağıdaki biçimde yazıyoruz:

${\ displaystyle S [x] \ yaklaşık S [x_ {c}] + \ int _ {t_ {i}} ^ {t_ {f}} \ mathrm {d} t \ underbrace {\ left. {\ frac {\ kısmi S} {\ kısmi x (t)}} \ sağ | _ {x_ {c}}} _ {= 0} y (t) + {\ frac {1} {2}} \ int _ {t_ {i }} ^ {t_ {f}} \ mathrm {d} t_ {1} \, \ mathrm {d} t_ {2} \ left. {\ frac {\ kısmi ^ {2} S} {\ kısmi x (t_ {1}) \ kısmi x (t_ {2})}} \ sağ | _ {x_ {c}} y (t_ {1}) y (t_ {2}) \ Longrightarrow}$

${\ displaystyle S [x] \ yaklaşık S [x_ {c}] + {\ frac {1} {2}} \ int _ {t_ {i}} ^ {t_ {f}} \ mathrm {d} t ( m {\ nokta {y}} ^ {2} -V '' (x_ {c}) y ^ {2})}$

bu nedenle yayıcıyı yaklaşık olarak tahmin edebiliriz:

${\ displaystyle K (x_ {f}, t_ {f}; x_ {i}, t_ {i}) \ yaklaşık \ mathrm {e} ^ {iS [x_ {c}] / \ hbar} \ int {\ mathcal {D}} [y] \ mathrm {e} ^ {i \ int _ {t_ {i}} ^ {t_ {f}} \ mathrm {d} t (m {\ dot {y}} ^ {2} -V '' (x_ {c}) y ^ {2}) / 2 \ hbar}}$

üssün parçalarından oluşan bir entegrasyon bir Gauss biçimine yol açar:

${\ displaystyle K (x_ {f}, t_ {f}; x_ {i}, t_ {i}) \ yaklaşık \ mathrm {e} ^ {iS [x_ {c}] / \ hbar} \ int {\ mathcal {D}} [y] \ mathrm {e} ^ {i \ int _ {t_ {i}} ^ {t_ {f}} \ mathrm {d} t (y [-m {\ frac {d ^ {2 }} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} - V '' (x_ {c})] y) / 2 \ hbar}}$

Operatörü tanımlayın ${\ displaystyle {\ hat {O}} = - m {\ frac {d ^ {2}} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} - V '' (x_ {c})}$

Gauss integrallerini hesaplama kuralları şunları sağlar:

${\ displaystyle K (x_ {f}, t_ {f}; x_ {i}, t_ {i}) \ yaklaşık cste \ cdot {\ sqrt {\ frac {1} {\ mathrm {Det} ({\ hat { O}})}}} \ cdot \ mathrm {e} ^ {iS [x_ {c}] / \ hbar}}$

Şimdi aşağıdaki gibi tanımlanan işlevi düşünün : ${\ displaystyle \ Psi (t)}$

${\ displaystyle {\ hat {O}} \ Psi = \ sol (-m {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2}} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} - V '' ( x_ {c}) \ sağ) \ Psi = 0}$

kenar koşullarında:

${\ displaystyle \ Psi (t_ {i}) = 0}$

${\ displaystyle \ Psi '(t_ {i}) = 1}$

Daha sonra şunu gösterebiliriz:

${\ displaystyle Det ({\ hat {O}}) = cste \ cdot \ Psi (t_ {f})}$

bu bize yayıcı yaklaşımı verir:

${\ displaystyle K (x_ {f}, t_ {f}; x_ {i}, t_ {i}) \ yaklaşık {\ sqrt {\ frac {A} {\ Psi (t_ {f})}}} \ cdot \ mathrm {e} ^ {iS [x_ {c}] / \ hbar}}$

A sabitini serbest parçacığın yayıcısından belirleriz:

${\ displaystyle K_ {fp} (x_ {f}, t_ {f}; x_ {i}, t_ {i}) = {\ sqrt {\ frac {m} {2 \ pi i \ hbar (t_ {f} -t_ {i})}}} \ mathrm {e} ^ {iS [x_ {c}] / \ hbar}}$

Serbest parçacık durumunda, yukarıda açıklanan koşulları sağlayan işlev , bize hemen A için bir ifade verir. Sonunda, yayıcının sözde yarı klasik yaklaşımını elde ederiz: $\ Psi$ ${\ displaystyle \ Psi (t) = t-t_ {i}}$

${\ displaystyle K (x_ {f}, t_ {f}; x_ {i}, t_ {i}) \ yaklaşık {\ sqrt {\ frac {m} {2 \ pi i \ hbar \ Psi (t_ {f} )}}} \ cdot \ mathrm {e} ^ {iS [x_ {c}] / \ hbar}}$

bu yaklaşım güçlüdür ve potansiyelin bir harmonik frekans osilatörününki olduğu durumda olduğu gibi bazen kesin bir sonuç bile verebilir . Bu durumda, işlev , sınır koşullarına ek olarak şunları sağlamalıdır: $\omega$ $\ Psi$

${\ displaystyle \ sol (-m {\ frac {d ^ {2}} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} - m \ omega ^ {2} \ sağ) \ Psi = 0 \ Longrightarrow \ Psi (t) = {\ frac {\ sin \ omega (t-t_ {i})} {\ omega}}}$

ve yarı klasik yaklaşımla harmonik osilatörün yayıcısının tam ifadesini elde ederiz:

${\ displaystyle K_ {ho} (x_ {f}, t_ {f}; x_ {i}, t_ {i}) = {\ sqrt {\ frac {m \ omega} {2 \ pi i \ hbar \ sin \ omega (t_ {f} -t_ {i})}}} \ cdot \ mathrm {e} ^ {iS [x_ {c}] / \ hbar}}$

harmonik osilatörün klasik hareketi ile:

${\ displaystyle S_ {cl} [x] = \ int _ {t_ {i}} ^ {t_ {f}} \ mathrm {d} t {\ mathcal {L}} [x, {\ dot {x}} ] = {\ frac {m \ omega} {2}} \ left [(x_ {f} ^ {2} + x_ {i} ^ {2}) \ cot \ omega (t_ {f} -t_ {i} ) - {\ frac {2x_ {i} x_ {f}} {\ sin \ omega (t_ {f} -t_ {i})}} \ sağ]}$

Van Vleck - Pauli - Morette olarak bilinen yarı klasik yaklaşımın bir başka eşdeğer formülasyonuna dikkat edin ;

${\ displaystyle K (x_ {f}, t_ {f}; x_ {i}, t_ {i}) _ {sc} = {\ sqrt {- {\ frac {1} {2 \ pi i \ hbar}} {\ frac {\ kısmi ^ {2} S_ {cl}} {\ kısmi x_ {i} \ kısmi x_ {f}}}}} \ cdot \ mathrm {e} ^ {iS_ {cl} / \ hbar}}$

Kaynakça

Tarihsel metinler

Richard P. Feynman; Kuantum mekaniğinde en az eylem ilkesi, Princeton Üniversitesi'nden tez. Bu tez, Laurie M. Brown tarafından yayınlandı (aşağıya bakınız).

Richard P. Feynman; Göreli olmayan kuantum mekaniğine uzay-zaman yaklaşımı , Review of Modern Physics 20 (1948) 267. Bu makale Julian Schwinger (ed); Kuantum elektrodinamiği üzerine seçilmiş makaleler , Dover Publications, Inc. (1958) ( ISBN 0-486-60444-6 ) .

PAM Dirac; Kuantum mekaniğinde lagrangian , Physikalische Zeitschrift der Sowjetunion 3 (1) (1932) 64. Bu makale Julian Schwinger (ed); Kuantum elektrodinamiği üzerine seçilmiş makaleler , Dover Publications, Inc. (1958) ( ISBN 0-486-60444-6 ) .

Laurie M. Brown (Editör); Feynman'ın tezi: kuantum teorisine yeni bir yaklaşım , World Scientific (2005), ( ISBN 981-256-380-6 ) . Feynman'ın orijinal tezini ve önceki iki makaleyi içerir.

Referans kitapları

Jean Zinn-Justin ; Kuantum mekaniğinde integral yol: Giriş , Koleksiyon güncel bilgiler, EDP Bilimleri / CNRS Sürümleri (2003), ( ISBN 2-86883-660-7 ) . Konuya mükemmel bir giriş olan bu kitap, ENS Üniversitelerarası Fizik Magisterium'unda uzun yıllar süren öğretimin sonucudur.
Claude Cohen-Tannoudji ; Kuantum mekaniğinin tamamlayıcıları , (1966). 1966'da 1997 Nobel Ödülü ile verilen kurs (Collège de France, Paris). Kuantum mekaniğinin Lagrangian formülasyonuna ve Green fonksiyonlarının kullanımına yaklaşır. 1966'da Serge Haroche (Collège de France, Paris) tarafından yazılan ders notları.
Richard P. Feynman ve André R. Hibbs, Kuantum Mekaniği ve Yol İntegralleri , New York: McGraw-Hill (1965), ( ISBN 0-07-020650-3 ) .
Larry S. Schulman; Yol Entegrasyonunun Teknikleri ve Uygulamaları , Jonh Wiley & Sons (New York-1981), ISBN. Dover Publications, Inc. (2005), ( ISBN 0-486-44528-3 ) tarafından yeniden basılmıştır . Başka bir referans, öncekinden biraz daha modern.
Christian Grosche ve Frank Steiner; Handbook of Feynman Path Integrals , Springer Tracts in Modern Physics 145, Springer-Verlag (1998), ( ISBN 3-540-57135-3 ) .
Philippe A. Martin; Fonksiyonel integral ; Presler Polytechniques Universitaires Romandes (1996), ( ISBN 2-88074-331-1 ) .
Lundqvist & co; Yol Toplamı ; Dünya bilimsel (1988), ( ISBN 9971-5-0597-5 ) .
Martin Veltman; Diagrammatica , CambridgeLNP
Lewis H. Ryder; Kuantum Alan Teorisi (Cambridge University Press, 1985), ( ISBN 0-521-33859-X ) .
RJ Nehirler; Kuantum Alan Teorisinde Yol İntegral Yöntemleri , Cambridge University Press (1987), ( ISBN 0-521-25979-7 ) .
Hagen Kleinert , Kuantum Mekaniği, İstatistik, Polimer Fiziği ve Finansal Piyasalarda Yol İntegralleri , 4. baskı, World Scientific (Singapur, 2004), ( ISBN 981-238-107-4 ) . (Çevrimiçi olarak pdf formatında da mevcuttur ).
Christian Grosche; Quantenfeldtheorie und deren Anwendung in der Elementarteilchen- und Festkörperphysik'te verilen Feynman yol integraline giriş , Universität Leipzig, 16-26 Kasım 1992. Tam metin ArXiv'de mevcuttur: hep-th / 9302097 .
Sanjeev Seahra; Kuantum Alan Teorisinde Yol İntegralleri, 2000 yılında Eric Poisson tarafından Waterloo Üniversitesi'nde (Kanada) verilen Kuantum Alan Teorisi dersinden notlar . Tam metin pdf formatında mevcuttur .
Richard MacKenzie; Yol integral yöntemleri ve uygulamaları , kurs Rencontres du Vietnam: VIth Vietnam School of Physics , Vung Tau, Vietnam, 27 Aralık 1999 - 8 Ocak 2000. ArXiv'de mevcut tam metin: quant-ph / 0004090 .
Gert Roepstorff; Kuantum Fiziğine Yol İntegral Yaklaşımı , Springer-Verlag (1994), ( ISBN 3-540-55213-8 ) .

Matematiksel olarak titiz yaklaşım

(en) Sergio Albeverio (en) ve Raphael Høegh-Krohn (en) , Feynman Yol İntegralinin Matematiksel Teorisi, Matematik 523 Ders Notları, Springer-Verlag, 1976
(tr) James Glimm ve Arthur Jaffe , Kuantum Fiziği: Bir Fonksiyonel İntegral Bakış Açısı , New York, Springer-Verlag, 1981 ( ISBN 0-387-90562-6 )
(en) Gerald W. Johnson ve Michel L. Lapidus, The Feynman Integral ve Feynman's Operational Calculus , Oxford Mathematical Monographs, Oxford University Press, 2002 ( ISBN 0-19-851572-3 )
(en) Pavel Etingof, Geometri ve Kuantum Alan Teorisi , MIT OpenCourseWare, 2002Matematikçiler için tasarlanmış bu çevrimiçi kurs, fonksiyonel integraller aracılığıyla kuantum alan teorisine sıkı bir giriş niteliğindedir.
(tr) Cécile DeWitt-Morette , "Feynman'ın yol integrali - Prosedürü sınırlamadan tanım", Comm. Matematik. Phys. , uçuş. 28, n o 1, 1972, s. 47–67 . [ çevrimiçi okuyun ]
(tr) Pierre Cartier ve Cécile DeWitt-Morette, J. Math. Phys. , uçuş. 36, 1995, s. 2137-2340 . " Funct-an / 9602005 " ücretsiz erişim, metin, arXiv .
Pierre Cartier, "Feynman'ın yollarının ayrılmaz bir parçası: sezgisel bir bakış açısıyla titiz bir çerçeveye", Bugün matematik derslerinde , Koleksiyon Le sel et le fer, Cassini, 2000 ( ISBN 2-84225-007 -9 ) , s. 27-59
(en) Alain Connes ve Dirk Kreimer , "Kuantum alan teorisinde yeniden normalleştirme ve Riemann-Hilbert problemi, I", Comm. Matematik. Phys. , uçuş. 210, n o 1, 2000 s. 249-273
(tr) Alain Connes ve Dirk Kreimer, "-fonksiyonu, diffeomorfizmler ve renormalizasyon grubu", Comm. Matematik. Phys. , uçuş. 216, n o 1, 2001, s. 215-241
(tr) Alain Connes, kişisel sayfa , makaleler 137, 148, 155, 157, 158, 162, 165, 167

Notlar ve referanslar

Fizikçiler bir alanın eğrisel integralini dolaşım vektörü olarak nitelendirirler (örneğin, bir kuvvetin işi).
Richard P. Feynman; Kuantum mekaniğinde en az eylem ilkesi, Princeton Üniversitesi'nden tez. Bu tez, Laurie M. Brown'da (Editör) yayınlandı; Feynman'ın tezi: kuantum teorisine yeni bir yaklaşım , World Scientific (2005), ( ISBN 981-256-380-6 ) .
Richard P. Feynman; Göreli olmayan kuantum mekaniğine uzay-zaman yaklaşımı , Review of Modern Physics 20 (1948) 267. Bu makale Julian Schwinger (ed); Kuantum elektrodinamiği üzerine seçilmiş makaleler , Dover Publications, Inc. (1958) ( ISBN 0-486-60444-6 ) ve ayrıca Laurie M. Brown (Editör); Feynman'ın tezi: kuantum teorisine yeni bir yaklaşım , World Scientific (2005), ( ISBN 981-256-380-6 ) .
İki tür yol integrali arasında açıkça biçimsel bir bağlantı vardır - Feynman ve Wiener -, çünkü serbest büyük göreli olmayan bir parçacığın Schrödinger denklemi yazılırken: kuantum dalga fonksiyonu nerede , uzayda difüzyon denklemi Olasılık yoğunluğu yazılmıştır: Yayılma katsayısı için ve: Schrödinger denklemini yayının denklemine dönüştürmek için gereken zamanı ayarlamanın yeterli olduğunu açıkça görebiliriz . Bununla birlikte, Wiener yol integralinin - difüzyon denklemi için - matematiksel olarak kesin olarak tanımlanması, Schrödinger denklemi için Feynman'ınkinden daha kolay olduğu ortaya çıktı. Bu nedenle bazı yazarlar, hayali zamanlar için analitik bir uzantı yaparak, Wiener ölçüsünden Feynman integralini tanımlamayı önerdiler. ${\ displaystyle - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ \ Delta \ psi ({\ vec {r}}, t) \ = \ i \ hbar \ {\ frac {\ kısmi \ psi ({\ vec {r}}, t)} {\ kısmi t}}}$ $\ psi$ $P$ ${\ displaystyle D \ \ Delta P ({\ vec {r}}, \ tau) \ = \ {\ frac {\ kısmi P ({\ vec {r}}, \ tau)} {\ kısmi \ tau}} }$ ${\ displaystyle D = - \ hbar / 2m}$ ${\ displaystyle t = i \ tau}$
Bu teori 1945'e kadar yayınlanmayacaktır: John Archibald Wheeler & Richard P. Feynman; Modern Fizik Gözden Geçirme 17 (1945) 157.
PAM Dirac; Kuantum mekaniğinde lagrangian , Physikalische Zeitschrift der Sowjetunion 3 (1) (1932) 64. Bu makale Julian Schwinger (ed); Kuantum elektrodinamiği üzerine seçilmiş makaleler , Dover Publications, Inc. (1958) ( ISBN 0-486-60444-6 ) ve ayrıca Laurie M. Brown (Editör); Feynman'ın tezi: kuantum teorisine yeni bir yaklaşım , World Scientific (2005), ( ISBN 981-256-380-6 ) .
(in) Silvan S. Schweber , " Feynman'ın uzay-zaman süreçlerini görselleştirmesi " , Review of Modern Physics , Cilt. 58, n o 21 st Nisan 1986, s. 449–508 ( DOI 10.1103 / RevModPhys.58.449 ).
Bu denklem Dirac tarafından 1933 tarihli makalesinde yazılmıştır.
Bu tanımla ilgili büyük bir problem, bu "biçimsel ölçünün" matematikçinin tam anlamıyla gerçek bir ölçü olmamasıdır. Feynman integralinin titiz bir tanımı için, bibliyografyadaki - genellikle çok teknik - incelemelere bakın.
Brown hareketi ile analoji, Feynman integraline önemli ölçüde katkıda bulunan yolların sürekli olduğunu, ancak türevlenebilir olmadığını gösterir . Daha doğrusu, bunlar, üslerin 1/2 olan Lipchitzian yollarıdır.