Kümenin bölüm a, boyutsuz bir miktar bir yüzey ya da bir katı yuvarlaklığını veya küreselliğe değerlendirmek için kullanılır. Çalışılan nesnenin boyutuna değil şekline bağlıdır. Başlangıçta aynı çevre ile iki yüzeyi karşılaştırmak için planda tanımlanan bu, tüm izoperimetri problemleriyle bağlantılıdır .
Daha sonra kavram, aynı adı korurken üst boşluklara genelleştirilir.
Kaynaklarda, izoperimetrik bölümün eşdeğer olmayan birkaç ifadesini buluyoruz.
Doğrultulabilir bir sınırı olan , yani sonlu bir alana sahip ve çevresi sonlu uzunlukta olan ölçülebilir bir S yüzeyini ele alıyoruz .
S'nin izoperimetrik bölümü, yüzey alanı ile aynı çevre için elde edilen maksimum yüzey alanı arasındaki oran olarak tanımlanabilir. O zaman her zaman 0 ile 1 arasında bir sayıdır ve yüzey bir disk olduğunda 1'e ulaşır.
Eğer bir S ve alanıdır s , çevresi isoperimetric katsayısı q, 1 eşittir:
Örnek: n kenarlı normal bir çokgenin izoperimetrik bölümü:
İzoperimetrik bölüm ise çevrenin karesi ile alan arasındaki oran olarak tanımlanabilir. Bu yeni bir anlam ile isoperimetric bölüm minimum ulaşır 4π diskin ve S alanı 0 doğru eğilimi ve çevre sabit kaldığı durumlarda sonsuz büyük değerleri alabilir.
V hacminin katı K'si ve S yüzeyi için iki tanımı buluyoruz
Q 1 bölümü 0 ile 1 arasında değişir ve top için maksimuma ulaşır. Q 2 bölümü 36π ile sonsuz arasında değişir ve top için minimuma ulaşır.
Bir katının izoperimetrik bölümü, alan / hacim oranı ile karıştırılmamalıdır .
Bir için kompakt bir K'dan Öklid alan n verilen boyutun Lebesgue ölçümü isoperimetric bölüm genellikle eşitlik ile tanımlanır: K.'nın sınırı nerede
Bu bölüm top için minimuma ulaşır.
Bazen izoperimetrik bölümün üçüncü bir tanımını buluruz: