R0 matrisi

Gelen matematik bir -Matris a, gerçek kare matris belirli özellikler veren doğrusal tamamlayıcılık sorunları . Birkaç kelimeyle ifade edilmesi zor olan bu özellikler aşağıda verilen tanımda anlatılmıştır. ${\ mathbf {R_ {0}}}$

Tanımlar

-Matrisler için bir tanım görevi görebilecek eşdeğer özellikler , bazı kavramların hatırlanmasını gerektirir. ${\ mathbf {R_ {0}}}$

Bir vektör için gösterim , vektörün tüm bileşenlerinin pozitif olduğu anlamına gelir . Kare bir gerçek matris verilen ve bir vektör , bir doğrusal tamamlayıcılık sorun bir vektörün bulunmasında meydana gelmektedir şekilde , ve aşağıdaki şekilde kısaltılmış şekilde yazılır: $\ mathbb {R} ^ {n} içinde v \$ $v \ geqslant 0$ $v_ {i}$ $\ Mathbb'de M \ {R} ^ {{n \ times n}}$ $q \ in \ mathbb {R} ^ {n}$ $x \ in \ mathbb {R} ^ {n}$ $x \ geqslant 0$ $Mx + q \ geqslant 0$ $x ^ {\! \ top} (Mx + q) = 0$

${\ mbox {CL}} (M, q): \ qquad 0 \ leqslant x \ perp (Mx + q) \ geqslant 0.$
Gerçek değerlerle tanımlanan bir işlevin , sınırlı alt düzey kümelerine sahip olması durumunda zorlayıcı olduğu söylenir; bu, eğer sonsuza eğilimli olduğu anlamına gelir . $\ mathbb {R} ^ {n}$ ${\ displaystyle \ | x \ | \ ila \ infty}$

Şimdi a -matrisin tanımını verebiliriz . ${\ mathbf {R_ {0}}}$

${\ mathbf {R_ {0}}}$ -matrix - Aşağıdaki eşdeğer özelliklerden biri geçerliyse , gerçek bir kare matrisin -matris olduğunu söyleriz : ${\ displaystyle M \ in \ mathbb {R} ^ {n \ times n}}$ ${\ mathbf {R_ {0}}}$

sorunun tek çözümü boş çözümdür, ${\ mbox {CL}} (M, 0)$
her neyse , işlev zorlayıcıdır, $q \ in \ mathbb {R} ^ {n}$ ${\ displaystyle x \ mapsto \ | \ min (x, Mx + q) \ |}$
işlev zorlayıcıdır. ${\ displaystyle x \ mapsto \ | \ min (x, Mx) \ |}$

Biz göstermek kümesini herhangi düzenin -matrisleri. Biz diyoruz -matricity ait olduğu bir matris özelliğini ${\ mathbf {R_ {0}}}$ ${\ mathbf {R_ {0}}}$ ${\ mathbf {R_ {0}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {R_ {0}}.}$

Problem ve fonksiyon arasındaki bağlantı , sadece ve sadece eğer (operatör her bileşene göre davranır) çözümünün olmasından gelir . ${\ mbox {CL}} (M, 0)$ ${\ displaystyle x \ mapsto \ | \ min (x, Mx) \ |}$ $x$ ${\ mbox {CL}} (M, 0)$ ${\ displaystyle \ min (x, Mx) = 0}$ $\ min$

Emlak

Ortak sahiplikle bağlantı

Simetrik bir gerçek matrisin bir özdeğer veya Pareto öz değeri, optimizasyon probleminin kritik bir değeridir ${\ displaystyle \ mu \ in \ mathbb {R}}$ $\ Mathbb'de M \ {R} ^ {{n \ times n}}$

${\ displaystyle \ min _ {{x \ in \ mathbb {R} ^ {n} \ atop \ | x \ | = 1} \ atop x \ geqslant 0} \; x ^ {\! \ top} Mx,}$

diğer bir deyişle bir kriter değeri bir de sabit alanına doğrusal tamamlayıcılık sorun altında yer alır demek anlamına gelir, bu sorunun, bir sıfır olmayan bir çözüm : ${\ displaystyle \ mu = x ^ {\! \ top} Mx}$ $x$

${\ displaystyle 0 \ leqslant x \ perp (M- \ mu I) x \ geqslant 0.}$

-Matrisitenin 1. tanımına göre , simetrik bir matris için bu fikrin, matrisin sıfır uygun kovalent değerine sahip olmadığını söylemek anlamına geldiğini görüyoruz. Bu tanımı , burada kullanılan pozitiflik kısıtı olmadan Rayleigh bölümünün kritik değerleri olarak elde edilebilen simetrik bir matrisin öz değerlerine yaklaştırmak faydalı olabilir . ${\ mathbf {R_ {0}}}$

Ekler

İlgili makale

Doğrusal tamamlayıcılık

Kaynakça

(tr) RW Cottle, J.-S. Pang, RE Stone (2009). Doğrusal tamamlayıcılık problemi . Uygulamalı Matematikte Klasikler 60. SIAM, Philadelphia, PA, ABD.
(en) F. Facchinei, J.-S. Pang (2003). Sonlu Boyutlu Varyasyon Eşitsizlikleri ve Tamamlayıcılık Problemleri (2 cilt). Yöneylem Araştırmasında Springer Serisi. Springer-Verlag, New York.