Etkileşim gösterimi
Etkileşimi temsil veya Dirac temsil kuantum mekaniği zamana bağlı problemlerle uğraşmak için bir yöntemdir.
Etkileşim temsilinin uygulama koşulu
Etkileşim temsilinde aşağıdaki varsayımları uygularız:
Aşağıdaki forma sahip bir Hamiltonyalı olduğunu düşünüyoruz :
H^=H^0+V^(t){\ displaystyle {\ hat {H}} = {\ hat {H}} _ {0} + {\ hat {V}} (t)}![{\ hat H} = {\ hat H} _ {0} + {\ hat V} (t)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c208f713f24a0aa5628e6dcc1e0e79f0c0346d05)
nerede zaman içinde sabittir ve zamana bağlı olabilen tedirgin edici bir etkileşimi tanımlar.
H^0{\ displaystyle {\ hat {H}} _ {0}}
V^(t){\ displaystyle {\ şapka {V}} (t)}![{\ displaystyle {\ şapka {V}} (t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/294ac05837b4472c7c1a64c75ec720aafe04efaf)
- Öz durumlar zamana bağlıdır
- Operatörler de bağımlı zaman vardır
- Durumların dinamikleri Schrödinger'in temsiline göre tanımlanırken, operatörlerin dinamikleri Heisenberg'in temsiline göre tanımlanır .
- Dirac'ın temsili yalnızca belirli sorunlar için etkili bir şekilde geçerlidir. En açıklayıcı örnek, zamana bağlı rahatsızlıklardır.
Propagatörler
Etkileşim temsilinde çalıştığımızı kabul etmek için, durumları ve operatörleri "I" endeksi (etkileşim olarak) takip edecektir. Bu temsilin anlamı, zamana bağlı zaman bağımlılığının, zamanın bir fonksiyonu olarak gözlemlenebilirlerin açık bağımlılığında ve dalga fonksiyonunun gelişiminden kaynaklanan zaman bağımlılığında dikkate alınacak olmasıdır . Bu, aynı fiziği tanımlamanın başka bir yoludur. Bu, önemli fiziksel büyüklüklerin değişmediği anlamına gelir.
H^0{\ displaystyle {\ hat {H}} _ {0}}
V^(t){\ displaystyle {\ şapka {V}} (t)}![{\ displaystyle {\ şapka {V}} (t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/294ac05837b4472c7c1a64c75ec720aafe04efaf)
Zaman içinde iki evrim operatörü vardır:
- tam Hamiltoniyene göre "normal" operatör :H^{\ displaystyle {\ hat {H}}}
![{\ hat H}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bb06de5217295d7fbdbf68fb9c5309a513fc99e)
U^(t,t0)=e-benH^(t-t0)/ℏ{\ displaystyle {\ hat {U}} (t, t_ {0}) = e ^ {- i {\ hat {H}} (t-t_ {0}) / \ hbar}}![{\ displaystyle {\ hat {U}} (t, t_ {0}) = e ^ {- i {\ hat {H}} (t-t_ {0}) / \ hbar}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9ef0e2cf3758291130dcc893ff7538ef4ec1379)
- rahatsız edilmemiş Hamiltonian ile ilgili operatör :H^0{\ displaystyle {\ hat {H}} _ {0}}
![{\ displaystyle {\ hat {H}} _ {0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9747fcac2bfac1d234c2dccd5cb0266995d03b2c)
U^0(t,t0)=e-benH^0(t-t0)/ℏ{\ displaystyle {\ hat {U}} _ {0} (t, t_ {0}) = e ^ {- i {\ hat {H}} _ {0} (t-t_ {0}) / \ hbar }}![{\ displaystyle {\ hat {U}} _ {0} (t, t_ {0}) = e ^ {- i {\ hat {H}} _ {0} (t-t_ {0}) / \ hbar }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffaa3d50b27a495299d69bbe4ff9c7cd65355990)
Hamiltonianların tanımı ve etkileşim dalgası fonksiyonu
Zamana bağlı operatör Heisenberg temsilinde olduğu gibi yazılır
AT^ben(t){\ displaystyle {\ şapka {A}} _ {I} (t)}![{\ displaystyle {\ şapka {A}} _ {I} (t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0f25757c48d4fbf37e74595a0eb5b13f4ab1c45)
ATben(t)=U^0†(t,t0)AT^S(t0)U^0(t,t0)=ebenH^0(t-t0)ℏAT^S(t0)e-benH^0(t-t0)ℏ.{\ displaystyle A_ {I} (t) = {\ hat {U}} _ {0} ^ {\ hançer} (t, t_ {0}) {\ hat {A}} _ {S} (t_ {0 }) {\ hat {U}} _ {0} (t, t_ {0}) = {\ rm {e}} ^ {\ frac {i \, {\ hat {H}} _ {0} (t -t_ {0})} {\ hbar}} {\ hat {A}} _ {S} (t_ {0}) {\ rm {e}} ^ {- {\ frac {i \, {\ hat { H}} _ {0} (t-t_ {0})} {\ hbar}}} \,.}![{\ displaystyle A_ {I} (t) = {\ hat {U}} _ {0} ^ {\ hançer} (t, t_ {0}) {\ hat {A}} _ {S} (t_ {0 }) {\ hat {U}} _ {0} (t, t_ {0}) = {\ rm {e}} ^ {\ frac {i \, {\ hat {H}} _ {0} (t -t_ {0})} {\ hbar}} {\ hat {A}} _ {S} (t_ {0}) {\ rm {e}} ^ {- {\ frac {i \, {\ hat { H}} _ {0} (t-t_ {0})} {\ hbar}}} \,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a79d48385393b86f858c00a89f74153c1445fc94)
zamana bağlı duruma sadece dolaylı olarak, tam dinamiklerin durumunun azaltılmasıyla (Schrödinger'in temsilinde), tanımlamak için erişilebilir .
|ψ(t)⟩ben{\ displaystyle | \ psi (t) \ rangle _ {I}}
|ψ(t)⟩S{\ displaystyle | \ psi (t) \ rangle _ {\ rm {S}}}![{\ displaystyle | \ psi (t) \ rangle _ {\ rm {S}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b65a3c9301cef14ecc738a214270a72afb8e25e)
|ψ(t)⟩ben=U^0†(t,t0)|ψ(t)⟩S=ebenH^0(t-t0)ℏ|ψ(t)⟩S.{\ displaystyle | \ psi (t) \ rangle _ {I} = {\ şapka {U}} _ {0} ^ {\ hançer} (t, t_ {0}) | \ psi (t) \ rangle _ { S} = {\ rm {e}} ^ {\ frac {i \, {\ hat {H}} _ {0} (t-t_ {0})} {\ hbar}} | \ psi (t) \ rangle _ {S} \,.}![{\ displaystyle | \ psi (t) \ rangle _ {I} = {\ şapka {U}} _ {0} ^ {\ hançer} (t, t_ {0}) | \ psi (t) \ rangle _ { S} = {\ rm {e}} ^ {\ frac {i \, {\ hat {H}} _ {0} (t-t_ {0})} {\ hbar}} | \ psi (t) \ rangle _ {S} \,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45976d4fc2ce5da361c913c3d966062339114f92)
Oradan zamana bağlı operatörü de tanımlıyoruz :
Hben(t){\ displaystyle H_ {I} (t)}![{\ displaystyle H_ {I} (t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34fa5cb5a2eaeda404215c59c40d177f944c9fab)
H^ben(t)=ebenH^0(t-t0)ℏH^0e-benH^0(t-t0)ℏ=H^0.{\ displaystyle {\ hat {H}} _ {I} (t) = {\ rm {e}} ^ {\ frac {i \, {\ hat {H}} _ {0} (t-t_ {0 })} {\ hbar}} {\ hat {H}} _ {0} {\ rm {e}} ^ {- {\ frac {i \, {\ hat {H}} _ {0} (t- t_ {0})} {\ hbar}}} \, = {\ hat {H}} _ {0}.}
Dalga fonksiyonu ve gözlenebilirlerin evrim denklemleri
Durum işlevinin evrimi bu gösterimde yazılmıştır:
benℏddt|ψben(t)⟩=V^ben(t)|ψben(t)⟩{\ displaystyle i \ hbar {\ frac {d} {dt}} | \ psi _ {I} (t) \ rangle = {\ hat {V}} _ {I} (t) | \ psi _ {I} (t) \ rangle}![{\ displaystyle i \ hbar {\ frac {d} {dt}} | \ psi _ {I} (t) \ rangle = {\ hat {V}} _ {I} (t) | \ psi _ {I} (t) \ rangle}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24ef78b9aa9a647fe552b7419190a8dbce0a5907)
.
Bu denklem olarak bilinir denklemi Schwinger - Tomonaga . A operatörü tarafından temsil edilen fiziksel miktarın evrimi şöyle yazılır:
benℏdAT^bendt=[AT^ben(t),H^0]+benℏ∂AT^ben∂t{\ displaystyle i \, \ hbar {\ frac {{\ rm {d}} {\ hat {A}} _ {I}} {{\ rm {d}} t}} = \ sol [{\ şapka { A}} _ {\ rm {I}} (t), {\ hat {H}} _ {0} \ right] + i \, \ hbar {\ frac {\ partici {\ hat {A}} _ { I}} {\ kısmi t}}}
|
Temsil:
|
|
Heisenberg
|
Etkileşim
|
Schrödinger
|
Ket
|
sabit
|
|Ψ(t)⟩ben=U0-1|Ψ(t)⟩S{\ displaystyle | \ Psi (t) \ rangle _ {I} = U_ {0} ^ {- 1} | \ Psi (t) \ rangle _ {S}}
|
|Ψ(t)⟩S=U|Ψ(t0)⟩S{\ displaystyle | \ Psi (t) \ rangle _ {S} = U | \ Psi (t_ {0}) \ rangle _ {S}}
|
Gözlenebilir
|
ATH(t)=U-1ATSU{\ displaystyle A_ {H} (t) = U ^ {- 1} A_ {S} U}
|
ATben(t)=U0-1ATSU0{\ displaystyle A_ {I} (t) = U_ {0} ^ {- 1} A_ {S} U_ {0}}
|
sabit
|
Evrim operatörü
|
H^=H^0+V^(t){\ displaystyle {\ hat {H}} = {\ hat {H}} _ {0} + {\ hat {V}} (t)}
|
U(t,t0)=e-benℏH^(t-t0){\ displaystyle U (t, t_ {0}) = e ^ {- {\ frac {i} {\ hbar}} {\ hat {H}} (t-t_ {0})}} U0(t,t0)=e-benℏH^0(t-t0){\ displaystyle U_ {0} (t, t_ {0}) = e ^ {- {\ frac {i} {\ hbar}} {\ hat {H}} _ {0} (t-t_ {0}) }}
|
Kuantum mekaniği :
|
Ayrıca görün
- A. Mesih, Kuantum Mekaniği (Dunod)
- JL Basdevant, Polytechnic'te ( Ellipses) Kuantum mekaniği kursu
-
JJ Sakurai ve s. F.Tuan, Modern Kuantum Mekaniği, Benjamin-Cummings 1985, Okuma, Addison-Wesley 2003
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">