Kısıtlama (matematik)

Gelen matematik , bir işlev restriksiyon $f$ a, fonksiyon , genellikle ile gösterilen $f | Bir$ ya da , kendisi için bir tarafından yapılan tek değerleri dikkate $f$ bir etki ile $bir$ yer tanımının etki bölgesinin $f$ . ${\ displaystyle f {\ upharpoonright _ {A}}}$

Tanım

Let $f : E \to F$ bir işlev kümesi üzerinde $E$ kümesine $F$ . Biz alırsak $A$ , bir alt kümesi $E$ , o zaman kısıtlanması $f$ üzerinde $A$ fonksiyonudur:

{\ displaystyle {\ başlar {hizalı} {f |} _ {A} \ iki nokta üst üste ve A & \ ila & F \\ & x & \ mapsto & f | _ {A} (x) = f (x) \ end {hizalı}}}

Kısıtlama $f$ ile $A$ , bu nedenle da eşit $f$ ile $A$ , ancak etki geri kalanı üzerinde tanımlanmamış $f$ .

Örnekler

Etki alanındaki enjekte edici olmayan işlevin kısıtlaması , enjeksiyon işlevidir . ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}, \ x \ mapsto x ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} _ {+} = [0, + \ infty [}$ ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} _ {+} \ to \ mathbb {R}, \ x \ mapsto x ^ {2}}$
Faktöryel kısıtlanması olarak görülebilir gama fonksiyonu bir sağ kayma ile pozitif tamsayılar, tarih: ${\ displaystyle {\ Gama |} _ {\ mathbb {Z} ^ {+}} \! (n) = (n-1)!}$

Özellikleri

Bir işlevin tüm tanım alanıyla sınırlandırılması, işlevin kendisine eşittir: $f | dom ( f ) = f$ .
İki kez kısıtlamak, bir kez kısıtlamakla aynıdır: evet , öyleyse . ${\ displaystyle A \ subseteq B \ subseteq \ operatorname {dom} f}$ ${\ displaystyle (f | _ {B}) | _ {A} = f | _ {A}}$
Kısıtlama işlevi kimliği bir dizi ile , X , bir alt kümesi için , A ve X basitçe kanonik dahil bir A ile X .
Kısıtlama sürekliliği korur.

Başvurular

Karşılıklı işlevler

Bir işlevin karşılıklı olması için, önyargılı olması gerekir . Durum böyle değilse, o zaman işlevin önyargılı olduğu bir etki alanında bir kısıtlama tanımlayabilir ve bu nedenle bir karşılıklı tanımlayabiliriz. Örneğin, kare işlevi :

{\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R}, f (x) = x ^ {2}}

( $f ( x ) = f (- x ) 'e$ sahip olduğumuz için enjekte edici değildir . Bununla birlikte, pozitif gerçek sayıların $[0, + \infty [$ yarım çizgisindeki kısıtlamayı göz önünde bulundurarak , tersini, kök kareyi tanımlayabiliriz :

{\ displaystyle \ forall y \ in \ mathbb {R} _ {+}, f ^ {- 1} (y) = {\ sqrt {y}}.}

Çift gücün kök fonksiyonları, ark kosinüs ve ark sinüs fonksiyonları aynı prensibe dayanmaktadır.

Referanslar

(fr) Bu makale kısmen veya tamamen alınır İngilizce Vikipedi başlıklı makalesinde " Kısıtlama (matematik) " ( yazarların listesini görmek ) .

(içinde) Robert Stoll, Kümeler, Mantık ve Aksiyomatik Teoriler , WH Freeman and Company , s. 5.
(in) Paul Halmos , Naive Set Theory , Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Springer-Verlag tarafından yeniden basıldı, New York, 1974 ( ISBN 0-387-90092-6 ) (Springer-Verlag baskısı). Martino Fine Books, 2011. ( ISBN 978-1-61427-131-4 ) (Ciltsiz Baskı) tarafından yeniden basılmıştır .
(inç) James R. Munkres, Topology , cilt. 2, Upper Saddle Nehri, Prentice Hall ,2000.
(in) Colin Conrad Adams ve Robert David Franzosa , Topolojiye Giriş: saf ve uygulamalı , Prentice Hall ,2008.