Gelen matematik , faktör a doğal tam sayı n, bir ürün katı pozitif tamsayılar az ya da eşit , n .
Bu işlem bir ile not edilir ünlem , n !, Ya "faktör okur n ", ya da "faktör n" veya "n faktöryel" (ikinci sentezleme az kullanılır). Bu gösterim 1808'de Christian Kramp tarafından tanıtıldı .
Örneğin, faktör 10, 10 misafirin bir masa etrafına yerleştirilmesinin olası kombinasyonlarının sayısını ifade eder (misafirlerin permütasyonu diyoruz). İlk konuk emrindeki 10 yerden birinde oturuyor. 10 yerleşiminin her biri ikinci konuk için 9 yeni olasılık açar, bu 8 üçüncü konuk için vb.
Faktöriyel, kombinatoryal cebirde önemli bir rol oynar çünkü n var ! n nesneyi değiştirmenin farklı yolları . Matematikte binom formülü ve Taylor formülü gibi birçok formülde görünür .
değil | n ! |
---|---|
0 | 1 |
1 | 1 |
2 | 2 |
3 | 6 |
4 | 24 |
5 | 120 |
6 | 720 |
7 | 5.040 |
8 | 40.320 |
9 | 362.880 |
10 | 3.628.800 |
11 | 39 916 800 |
12 | 479 001 600 |
13 | 6 227 020 800 |
14 | 87178 291 200 |
15 | 1.307.674.368.000 |
16 | 20822 789888000 |
17 | 355 687 428 096 000 |
18 | 6402373705728000 |
19 | 121 645100408 832000 |
20 | 2.432.902.008 176.640.000 |
... | ... |
25 | 1.551 121004333098598 4 × 10 25 |
Notlar:
|
Let n olmak doğal bir sayı. Faktöriyel resmi olarak şu şekilde tanımlanır:
Sağdaki tablo ilk faktörleri verir; örneğin bizde
Bu tanım aynı zamanda
0! = 1çünkü geleneksel olarak boş ürün çarpmanın nötr unsuruna eşittir . Bu kural, kombinatoryal analizde elde edilen sayım formüllerinin sıfır boyutlar için hala geçerli olmasına izin verdiği için burada yararlıdır . Özel olarak, sayısı düzenlemeleri veya permütasyon arasında boş grubu 1'e eşittir.
Faktöriyelin tümevarım yoluyla (eşdeğer) bir tanımı da vardır :
Son olarak, faktöriyelı analitik olarak genişleten Gama işlevi tutarlı bir sonuç verir:
Çarpan işlevi, mutlak negatif tamsayılar dışındaki tüm karmaşık sayılara genişletmek zorundadır, z ↦ Γ ( z + 1) uygulaması burada E , Euler'in gama işlevini belirtir . Aslında, herhangi bir n doğal sayısı için elimizde:
Dahası, z ↦ Γ ( z + 1) fonksiyonu , faktöriyel ile aynı tekrarlama ilişkisini karşılar:
Faktöriyelin ayrıcalıklı bir uzantısı olarak (çevrilmiş) gama işlevinin bu vizyonu aşağıdaki nedenlerle doğrulanır:
Bununla birlikte, dolu olan " Gama fonksiyonu Hadamard (in) " gibi "iyi özelliklere" sahip başka uzantılar da vardır .
Stirling formülü bir verir eşdeğer ait n ! n büyük olduğunda :
nereden
.burada numarası E tabanını gösterir üstel .
Biz yaklaşık bir anlamak logaritmanın ait n ! :
.Gelen kombinatorik , vardır n ! n farklı nesneyi düzenlemenin farklı yolları (yani n ! permütasyonlar ). Ve bir n kümesinden k elemanı seçmenin yollarının sayısı iki terimli katsayı ile verilir :
Faktörler de analizde görünür . Örneğin, Taylor teoremi de değerini ifade, x bir gibi bir işlev ƒ ait tamsayı dizisi , faktöryel kapsar n ! n, karşılık gelen süre için inci türevi de ƒ ait x .
Bir hiperkürenin hacmi bile , n boyut ile ifade edilebilir:
Faktörler, olasılık teorisinde yaygın olarak kullanılmaktadır .
Faktöriyel bir örnek olarak sıklıkla kullanılmaktadır - ile Fibonacci dizisi - öğrenme için Özyinelemeyi içinde bilgisayar bilimi nedeniyle basit tekrarlayan tanımının.
Faktörlerin sayı teorisinde birçok uygulaması vardır .
Örneğin, Wilson teoremi n > 1 tamsayısının asal olduğunu gösterir, ancak ve ancak ( n - 1)! ≡ –1 (mod n ).
Özellikle, n asal ise , o zaman ( n - 1)! 'İ bölmez , bu da doğrudan Öklid lemasından çıkarılabilir ; tersi neredeyse doğrudur: eğer n bir olduğunu kompozit sayı daha sonra, 4 dışındaki ( n - 1)! ≡ 0 (mod n ).
Bu son ifade bir kanıtı bir ürün olduğunu kullanımlar P ait k ardışık tamsayılar tarafından daima bölünebilir k (çünkü biri k faktörleri olan ). Aslında P , k ile bölünebilir ! bunu P / k ifade ederek kanıtlayabiliriz ! Bir şekilde binom katsayısı , ya da herhangi bir asal sayı için, karşılaştırarak p , çokluğu p içinde asal faktör ayrısımlarla arasında P ve k !, sayesinde Legendre formülü .
Aynı zamanda asal sayı olan tek faktöriyel 2'dir, ancak n formunun asal sayıları vardır ! ± 1, faktöriyel asal sayılar olarak adlandırılır .
Pek çok yazar, daha da hızlı büyüyen benzer işlevleri ve yalnızca belirli tam sayılarla sınırlı ürünleri tanımlamıştır. Böylece literatürde ilkel , çok faktörlü, süper faktörlü, hiper faktöriyel vb. Fonksiyonları buluruz. Ancak, matematiğin çoğu dalında her yerde bulunan faktöryel olandan farklı olarak, bu diğer işlevlerin , ilkel olanlar dışında, eğlence dışında pek çok uygulaması olduğu görülmemektedir; Çok büyük sayıları belirtmek için kullanımlarına gelince , Knuth'un ve Conway'in notasyonları hem daha yönetilebilir hem de çok daha etkili olduğunu kanıtlıyor.
Faktöriyel hesaplama, sözde kodla yazılmış aşağıdaki özyinelemeli algoritma ile çevrilebilir :
Fonction factorielle (n: entier): entier Début Si n > 1 Retourner n * factorielle(n - 1) Sinon Retourner 1 Fin si Fin