Pascal'ın şeridi

Terimi, Pascal bant , özellikle de kullanılan bir teknik anlamına gelir bir tamsayıdır belirlemek K bir tam sayı ile bölünebilen D numaraları kullanılarak yazılı N üssü B . Bu yöntemin teorik temelleri , tamsayılar üzerindeki uygunluk teorisinden gelir . Bant, N modulo D' nin uygunluk sınıfının daha kesin bir şekilde hesaplanmasını sağlar .

Blaise Pascal , bu teori kurulmadan önce yöntemini De numeribus multiplicibus'ta önerdi .

Şerit yapımı

Makalenin geri kalanında, N , not edilen sayı ile bölünebilirliğini bilmek istediğimiz sayıyı, D ve B , N sayısının yazıldığı tabanı gösterir .

Bantların ilkesi, B tabanının her bir gücü için , Öklid bölümünün D'ye göre geri kalanını belirlemektir . B = 10 ve D = 7 tabanı için:

${\ displaystyle 10 ^ 0 = 0 * 7 + 1}$
${\ displaystyle 10 ^ 1 = 1 * 7 + 3}$
${\ displaystyle 10 ^ 2 = 14 * 7 + 2}$
${\ displaystyle 10 ^ 3 =? * 7 + 6}$
${\ displaystyle 10 ^ 4 =? * 7 + 4}$
${\ displaystyle 10 ^ 5 =? * 7 + 5}$
${\ displaystyle 10 ^ 6 =? * 7 + 1}$
${\ displaystyle 10 ^ 7 =? * 7 + 3}$
${\ displaystyle 10 ^ 8 =? * 7 + 2}$
${\ displaystyle 10 ^ 9 =? * 7 + 6}$

Bu, kendini tekrar ediyor gibi görünen 1,3,2,6,4,5,1,3,2,6… dizisini üretir. Aşağıdaki kökleri Pascal bant nokta B bölen için D . Bu, N'nin D ile bölünebilir olup olmadığını belirlemek için kullanılacak banttır .

Baz 10'daki ilk şeritler

10 tabanındaki ilk Pascal şeritleri şunlardır:

0…
1, 0 ...
1, 1 ...
1, 2, 0 ...
1, 0 ...
1, 4, 4 ...
1, 3, 2, 6, 4, 5, 1, 3, 2, 6 ...
1, 2, 4, 0 ...
1, 1 ...

Bölünebilirlik için şerit kullanımı

Bölünebilirliği test etmek için bir Pascal şeridinin kullanılması, D'ye bölündüğünde aynı kalanı olan daha küçük olarak sağlanan sayının dönüştürülmesini gerektirir .

Bir örnekle başlayarak, 123 456 789'un 3'e bölünebilir olup olmadığını bilmek istiyoruz.

3'ün Pascal şeridi 1, 1, 1, 1, 1… Yani yeni sayı 1 × 1 + 1 × 2 + 1 × 3 + 1 × 4 + 1 × 5 + 1 × 6 + 1 × 7 + 1 × 8 + 1 × 9 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45.

123 456 789, 7'ye bölünebilir mi? Sağdan başlayarak numarayı 7 şeridi ile hizalayarak başlamalısınız, bunun için 123 456 789 geriye doğru yazıyoruz:

9 8 7 6 5 4 3 2 1
1 3 2 6 4 5 1 3 2

Ardından, şeridin sayıları ve öğeleri arasındaki ürünleri toplarız: 9 × 1 + 8 × 3 + 7 × 2 + 6 × 6 + 5 × 4 + 4 × 5 + 3 × 1 + 2 × 3 + 1 × 2 = 134. İstenirse, baştan başlayabiliriz:

4 3 1
1 3 2

Bu da bize 4 × 1 + 3 × 3 + 1 × 2 = 15 verir. Tekrar deneyelim:

5 + 3 = 8, 7'nin katı değil, 123456789, 134 veya 15 gibi. Ayrıca, tüm bu sayılar, 7'ye bölmede aynı kalanlara sahiptir: bu kalan 1'dir.

Kolaylık sağlamak için, sağdaki bandı sola da yazabiliriz ve bu durumda N'nin yazısında sayıların doğal sırasını koruyabiliriz .

Bölünebilirlik kriterinin düzeltilmesi

Pascal şeritlerinin nasıl çalıştığının açıklaması doğal olarak eşlemeler aracılığıyla yapılır. Bu demek bir uyumlu için b modülo C ile Öklid bölünmesi için, eğer c , bir ve b aynı kalan (ya da hatta eğer A - B birden fazla olan c ). Bunu not ediyoruz . Örneğin : ${\ displaystyle a \ eşdeğeri b \ mod c}$

${\ displaystyle 8 \ equiv 13 \ equiv 3 \ mod 5}$

Uyumlarla ilgili iki sonuç önemlidir:

${\ displaystyle a \ equiv b \ mod m, c \ equiv d \ mod m \ Rightarrow a \ times c \ equiv b \ times d \ mod m.}$
${\ displaystyle a \ equiv b \ mod m, c \ equiv d \ mod m \ Rightarrow a + c \ equiv b + d \ mod m.}$

Buradaki amaç, ürünlerin toplamının (şerit öğesi × sayı) sayının kendisine uygun olduğunu göstermektir:

${\ displaystyle B ^ i \ eşdeğeri r_i \ mod D}$ inşaat tarafından
${\ displaystyle c_i \ times B ^ i \ equiv c_i \ times r_i \ mod D}$ kongrüansların ürünü,
${\ displaystyle N = \ sum_i c_i \ times B ^ i \ equiv \ sum_i c_i \ times r_i \ mod D}$ kongrelerin toplamına göre.

$bu}$ yazılı rakam , N baz B , şerit unsuru olan GE baz B . Son doğrunun doğrudan sonucu, eğer N , D' nin bir katı ise o zaman da öyledir. $ri$ ${\ displaystyle \ sum_i c_i \ times r_i}$

Şeritlerin bazı özellikleri

D' ye bölmedeki olası kalanların sayısı sonludur ve D'ye eşittir (0'dan D - 1'e); bu nedenle tekrar olması gerekir.
Çünkü eğer bant 0 mesajı belirirse, aşağıdaki öğelerin sıfır olduğunda B p bir katıdır D , katları olan aşağıdaki güçler, her B p da katlarıdır D . Bu durumda, p seviyesinden itibaren şerit sabittir, yani periyodik ve periyot 1'dir.
0 görünmezse, sıfır olmayan kalanlardan biri tekrar eder. O zaman B p , B m ile uyumludur, bu nedenle B p + k , B m + k ile uyumludur , bu da şeridin, p seviyesinden , periyodik ve m - p periyodunda olduğunu kanıtlar . Olmak dışında mümkün kalıntıların sayısı, 0, D - 1, nokta veya eşit en az bir D - 1.
İşlemi ( bir sayının modülo c uyum sınıfını belirleyen ), şeridin her sayısı modulo c ile uyumlu herhangi bir sayı ile değiştirildiğinde aynı derecede doğru olan bir şerit elde ederiz . Örneğin c = 7 için 1, 3, 2, 6, 4, 5… 'e eşdeğer bir şerit 1, 3, 2, –1, –3, –2…

Notlar ve referanslar

Blaise Pascal, Blaise Pascal'ın Çalışmaları, Cilt 5, (la) De Numeribus Multiplicibus , s. 117 .

Dış bağlantı

Jacques Sakarovitch, " Mösyö Pascal'ın bölme makinesi " - Şeritler ve bunların otomatlara dönüşümü üzerine bir tartışma.