Bir zaman serisinin durağanlığı
Zaman serileri (veya kronolojik seriler) çalışmasındaki en büyük sorulardan biri, bunların durağan bir süreci takip edip etmediğini bilmektir . Bu, varsayılan altta yatan sürecin yapısının zaman içinde değişip değişmediği anlamına gelir. Yapı aynı kalırsa, işlemin durağan olduğu söylenir.
Durağanlığın güçlü tanımı
Tanım - Gerçek değerli bir ayrık zamanlı zamansal süreci düşünün . Ölçülebilir herhangi bir fonksiyon f için ise güçlü anlamda durağan olduğu söylenir :
Z1,Z2,...,Zt{\ displaystyle \ textstyle Z_ {1}, Z_ {2}, ..., Z_ {t}}![\ textstyle Z_ {1}, Z_ {2}, ..., Z_ {t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/782a5b57c5ed807b5634714b6406da03f72394de)
f(Z1,Z2,...,Zt) et f(Z1+k,Z2+k,...,Zt+k){\ displaystyle \ textstyle f (Z_ {1}, Z_ {2}, ..., Z_ {t}) \ ve \ f (Z_ {1 + k}, Z_ {2 + k}, ..., Z_ {t + k})}![\ textstyle f (Z_ {1}, Z_ {2}, ..., Z_ {t}) \ ve \ f (Z_ {1 + k}, Z_ {2 + k}, ..., Z_ {t + k})](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10f7c47afedf207ac3ad195da22812a923d8b371)
aynı kanuna sahip.
Yorumlama
Burada, sürecin ortak olasılık dağılımı ile ilgileniyoruz. Mı eklem yoğunluk fonksiyonu biz ilk t değişkenleri dikkate veya aşağıdaki t + k almak ister aynı? Öyleyse, süreç kesinlikle durağandır. Diğer bir deyişle, süreç durağan ise, özellikleri bizim "zaman çerçevemizdeki" bir değişiklikten etkilenmez: ister t noktasına ister t + k noktasına bakalım, seri her zaman aynı davranışa sahip olacaktır.
Bir veri serisinin dağılımının olasılık yasasını tahmin etmek çok zor olduğundan, durağanlık için daha az katı bir tanım getirilmiştir.
Durağanlığın zayıf tanımı
Tanım - Gerçek değerli bir ayrık zamanlı zamansal süreci düşünün . Zayıf anlamda durağan olduğu söylenir (veya "ikinci derece" veya "kovaryans içinde"), eğer
Z1,Z2,...,Zt{\ displaystyle \ textstyle Z_ {1}, Z_ {2}, ..., Z_ {t}}![\ textstyle Z_ {1}, Z_ {2}, ..., Z_ {t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/782a5b57c5ed807b5634714b6406da03f72394de)
- E[Zben]=μ∀ben=1 ...t{\ displaystyle E [Z_ {i}] = \ mu \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ forall i = 1 ... t}
![E [Z_ {i}] = \ mu \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ forall i = 1 ... t](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/005ddc038f583e1939a2071ece848f9753dd8012)
- V-der[Zben]=σ2≠∞∀ben=1 ...t{\ displaystyle Var [Z_ {i}] = \ sigma ^ {2} \ neq \ infty \ qquad \ qquad \ forall i = 1 ... t}
![Var [Z_ {i}] = \ sigma ^ {2} \ neq \ infty \ qquad \ qquad \ forall i = 1 ... t](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/add4e606921bba7a1dc73cf4863171addced7c21)
- VSÖv[Zben,Zben-k]=f(k)=ρk∀ben=1 ...t,∀k=1 ...t{\ displaystyle \ textstyle Cov [Z_ {i}, Z_ {ik}] = f (k) = \ rho _ {k} \ qquad \ forall i = 1 ... t, \ quad \ forall k = 1 .. .t}
![\ textstyle Cov [Z_ {i}, Z_ {ik}] = f (k) = \ rho _ {k} \ qquad \ forall i = 1 ... t, \ quad \ forall k = 1 ... t](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/796ae48a1f3bf2ee9eaf02977bc007dcee0eb616)
Yorumlama
- İlk koşul, beklentinin zaman içinde sabit olduğunu, dolayısıyla eğilim olmadığını belirtir .
- İkinci koşul, varyansın zaman içinde sabit olmasını ve sonsuz olmamasını sağlar.
- Üçüncü koşul: Değişken ile değişken arasındaki otomatik korelasyon (veya oto-kovaryans, burada önemsiz olan) yalnızca k'nin kaymasının büyüklüğüne mi (elimizde :) veya t zamanındaki do pozisyonuna mı bağlıdır? bir rol oynar mı (o zaman )? Zaman içindeki pozisyon bir rol oynamıyorsa, üçüncü koşul yerine getirilir. K = 0 alırsak bunun saniyeyi de içerdiğine dikkat edin, çünkü o zaman otomatik kovaryans varyansa karşılık gelir.ρt,t-k{\ displaystyle \ textstyle \ rho _ {t, tk}}
Zt{\ displaystyle \ textstyle Z_ {t}}
Zt-k{\ displaystyle \ textstyle Z_ {tk}}
ρt,t-k=f(k){\ displaystyle \ textstyle \ rho _ {t, tk} \ scriptstyle = f (k)}
ρt,t-k=f(t,k){\ displaystyle \ textstyle \ rho _ {t, tk} \ scriptstyle = f (t, k)}![\ textstyle \ rho _ {t, tk} \ scriptstyle = f (t, k)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3bce12f9781aaeca509d0f599ec2164f86f971b)
Zayıf durağanlığın ikinci derece durağanlık olduğu söylenir, çünkü tanımı münhasıran rastgele değişkeninin ilk iki anına dayalıdır .
Zt{\ displaystyle \ textstyle Z_ {t}}![\ textstyle Z_ {t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcccf27f1506becfe4b5fb452e6c1ecf15dc5e3d)
Kavramın önemi
Durağanlık kavramı, zaman serilerinin modellenmesinde önemlidir, sahte regresyon problemi , durağan olmayan değişkenlerle doğrusal bir regresyonun geçerli olmadığını gösterir. Daha doğrusu, regresyon parametrelerinin dağılımı artık bir Öğrenci yasasını değil, bir Brown hareketini izler . Değişkenlerin durağan olmaması durumunda, çok yakın bir kavram olan eşbütünleşme , kullanılacak model tipinin belirlenmesini mümkün kılar.
Durağanlık, zaman serilerinin tahmininde de önemli bir rol oynar; tahmin aralığı, serinin durağan olup olmadığına bağlı olarak farklılık gösterir.
Durağan olmama türleri
Durağan koşullardan biri veya daha fazlası karşılanmadığında, serinin durağan olmadığı söylenir. Bununla birlikte, bu terim, ikisi burada açığa çıkarılan birçok durağanlık türünü kapsar.
Trendde durağanlık
Tanım - Orijinal diziden zaman eğilimini "kaldırarak" elde edilen dizi durağan ise, bir dizi durağandır.
Bir zaman serisinin zaman eğilimi , zaman bileşenidir.
Örnek: Aşağıdaki sürecini düşünün: ile bir beyaz gürültü .
Xt=1,2t+ϵt{\ displaystyle X_ {t} = 1,2t + \ epsilon _ {t} \ qquad}
ϵt{\ displaystyle \ epsilon _ {t}}![\ epsilon _ {t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1ff4ca7b5c076264ecd5bbc087863a23c4dfb9a)
Bu süreç durağan değildir çünkü beklentisi zamanla artar (koşul 1 ihlal edilmiştir). Ancak zaman trendinin etkisini çıkararak elde edilen seriler durağandır:
Yt{\ displaystyle Y_ {t}}
Yt=Xt-1,2t{\ displaystyle Y_ {t} = X_ {t} -1,2t}![Y_ {t} = X_ {t} -1,2t](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10c5601311aab7b965db61eea2df318d71879168)
Yt=1,2t+ϵt-1,2t=ϵt{\ displaystyle Y_ {t} = 1,2t + \ epsilon _ {t} -1,2t = \ epsilon _ {t} \ qquad}
Beyaz gürültüye eşdeğer olan, tanımı gereği durağan.
Farklılıkta durağanlık
Tanım - Orijinal serinin değerlerinin farklılaştırılmasıyla elde edilen seri durağan ise, bir dizi durağandır.
Fark operatörü not edilir: ΔXt=Xt-Xt-1{\ displaystyle \ Delta X_ {t} = X_ {t} -X_ {t-1}}
Bir zaman serisinin entegrasyon sırası
Tanım - Bir zaman serisinin, d farklılaşmalarından sonra elde edilen seriler durağan ise, I (d) ile gösterdiğimiz d sırasına entegre olduğu söylenir.
Örnek: Let rastgele yürüyüş : Saf ile bir beyaz gürültü .
Xt=Xt-1+ϵt{\ displaystyle X_ {t} = X_ {t-1} + \ epsilon _ {t} \ qquad}
ϵt{\ displaystyle \ epsilon _ {t}}![\ epsilon _ {t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1ff4ca7b5c076264ecd5bbc087863a23c4dfb9a)
Rastgele bir yürüyüşün farklı olarak durağan olduğunu gösterebiliriz. Burada 1. sırayla entegre olduğunu görüyoruz, farklılıklar dizisi gerçekten durağan:
ΔXt=Xt-Xt-1=Xt-1+ϵt-Xt-1=ϵt{\ displaystyle \ Delta X_ {t} = X_ {t} -X_ {t-1} = X_ {t-1} + \ epsilon _ {t} -X_ {t-1} = \ epsilon _ {t} \ qquad}
beyaz gürültüye eşdeğer, tanımı gereği sabit.
Durağanlık testleri
Yoğunluk fonksiyonu bilinmiyorsa, ki bu genellikle durum böyledir, serinin durağan olup olmadığını test edebilmek yararlıdır. Durağanlığın sıfır hipotezi veya alternatif hipotez olduğu iki tür vardır:
Durağanlık testleri
Boş hipotez durağanlıktır.
- Leybourne ve McCabe testi
Birim kök testleri
Boş hipotez durağanlıktır.
-
Güçlendirilmiş Dickey Fuller'ı (inç) (ADF) test edin
- Phillips-Perron testi (PP)
Referanslar
- Hamilton (1994), Zaman Serisi Analizi, Princeton University Press
- Lardic, Mignon (2002), Ekonometri, makroekonomik ve finansal zaman serileri, Economica , Paris
- Maddala, Kim (1998), Birim kökleri, Eşbütünleşme ve Yapısal Değişim, Cambridge University Press
-
Kwiatkowski, D., PCB Phillips, P. Schmidt ve Y. Shin (1992), "Bir Birim Kökün Alternatifine Karşı Durağanlığın Boş Hipotezini Test Etmek", Journal
of Econometrics , 54, 159-178.
-
Leybourne, SJ ve BPM McCabe (1994), "Bir Birim Kökü için Tutarlı Bir Test", Journal of Business and Economic Statistics , 12, 157-166
-
Dickey, DA ve WA Fuller (1979), "Bir Birim Kökü ile Otoregresif Zaman Serileri için Tahmin Edicilerin Dağılımı," Amerikan İstatistik Derneği Dergisi , 74, s. 427–431
-
Said E. ve David A. Dickey (1984), 'Bilinmeyen Düzende Otoregresif Hareketli Ortalama Modellerde Birim Köklerinin Test Edilmesi', Biometrika , 71, s 599–607
-
Phillips, Perron (1988) Bir Zaman Serisi Regresyonunda Birim Kökü Testi, Biometrika , 75, s. 335-346
-
Elliott, G., Rothenberg, T. ve Stock, J. (1996). Otoregresif birim kökü için verimli testler. Ekonometrica , 64, 813-836
Dış bağlantı
Ayrıca görün
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">