Let E ve F arasında ölçülebilir boşluklar da donatılmış kabileler ilgili ℰ ve ℱ.
Bir fonksiyon f : e → F olduğu söylenir -measurable (ℰ, ℱ) halinde kabile karşılıklı görüntü ile f kabilesinin ℱ ℰ dahildir, yani, eğer:
İki ölçülebilir fonksiyonun bileşimi olan özdeşlik ölçülebilirdir. Bu nedenle ölçülebilir fonksiyonlar , ölçülebilir uzaylar sınıfına bir kategori yapısı sağlar .
Eğer F olduğu kümesi içinde gerçek sayılar ve ℱ onun ise Borelian kabile , biz sadece diyecekler f (üzerinde ölçülebilir fonksiyondur E , ℰ).
ℝ üzerindeki Borelian kabilesi (örneğin) ] a , + ∞ [ biçimindeki yarım çizgiler kümesi tarafından oluşturulmaktadır , taşıma lemması f'nin ölçülebilir bir fonksiyon olmasını sağlar ( E , ℰ) ancak ve ancak karşılıklı Bu yarım çizgilerin her birinin f tarafından görüntüsü ℰ içindedir. Örneğin: bir gerçek değişkenin monoton olan herhangi bir gerçek fonksiyonu Borelian'dır.
Tamamlanmış ℝ = ℝ ∪ {–∞, + ∞} satırındaki değerlere sahip fonksiyonlar için , benzer bir sonuç ] a , + ∞] aralıklarında geçerlidir .
Let e olmak ölçülebilir alanı ve ( f n ) n den ölçülebilir fonksiyonların bir sekans E ℝ için (ya da hatta ℝ ). Daha sonra fonksiyon f ile tanımlanan f = sup n- f N (değerler ile ℝ ) ölçülebilir. Gerçekten de, ile karşılıklı görüntü f ait ] bir + ∞] yazılabilir
ve bu küme ℰ elemanlarının sayılabilir bir birleşimidir, dolayısıyla ölçülebilir bir küme.
Karşıtların geçmeden, biz fonksiyonlar ise, bu anlamak f n içinde E yılında ℝ tüm ölçülebilir, daha sonra işlevi olan inf n f n da ölçülebilir .
Daha sonra alt ve üst limit fonksiyonlarının liminf n → ∞ f n ve limsup n → ∞ f n de ölçülebilir olduğunu gösterebiliriz .
Özellikle :
(Eğer D , ℰ) a, ayrılabilir metriklenebilir alan kendi Borelian oymak, üzerinde herhangi ölçülebilir bir fonksiyon ile donatılmış E (gerçek değerleri ile) ve sınırlı monoton sınırı sürekli sınırlı fonksiyonların .