Sınırlı süit

Gelen matematik , bir dizi olduğu söylenen sınırlı olmadığını , değerlerini grubu a, sınırlı parça .

Örnekler

Bir gerçek dizi ( u n ), iki sabit değer m ve M arasında kalırsa sınırlanır :

{\ displaystyle \ var (m, M) \ \ mathbb {R} ^ {2} \ quad \ forall n \ içinde \ mathbb {N} \ quad m \ leq u_ {n} \ leq M}

(diğer bir deyişle, eğer üst sınırı ve düşük bağlı olarak, eğer, bir eşdeğer bir şekilde, kendi açısından kümesinin sonlu) ya da mutlak değeri olan artmış bir tarafından sürekli M :

{\ displaystyle \ M \ mathbb {R} \ quad \ forall n \ içinde \ mathbb {N} \ quad | u_ {n} | \ leq M.}

Bir dizinin sınırlandırılması için “belirli bir dereceden” olması yeterlidir. Gerçekten, eğer | x n | Tüm n > N için ≤ K sonra | x n | ≤ M herkes için n ayarlayarak, M = max (| x 0 |, | x 1 |, ..., | x N |, K ).

Herhangi bir yakınsak dizi sonuç olarak sınırlandırılır (örneğin, 0'a yakınsayan u n = (–1) n / ( n + 1) dizisi u 1 = –1/2 ve u 0 = 1 arasında kalır ).
$\pm \infty'a$ eğilimli herhangi bir gerçek dizi sınırsızdır (örneğin: u n = 2 n , $+ \infty'a$ meyillidir ).
Monoton olmayan bir dizi için karşılıklılar yanlıştır:
- sınırlı bir dizinin yakınsak olması gerekmez ( karşı örnek : u n = (–1) n sınırlıdır - 1 artırılır ve –1 azaltılır - ancak bir sınır kabul etmez);
- Bir dizi doğru eğilimi için $\pm \infty$ bu sınırsız olmak için, yeterli değildir (karşı-: 0 değer dizisi n hatta ve n için n tek).

Karmaşık sayılar dizisi u n = x n + $i$ y n , modülü bir sabitle sınırlandırılmışsa veya eşdeğer bir şekilde, iki gerçek dizi ( x n ) ve ( y n ) gerçek kısmından oluşuyorsa sınırlanır. ve hayali kısmı sınırlandırılmıştır.

Gerçek sınırlı bir dizi için yapışma değerleri

Herhangi sınırlı gerçek dizisinden, bir ayıklayabileceğinden aslında sınırlandırılmış diziler kahntılannin harika çıkarları biri yakınsak altdizisi . Borel-Lebesgue özelliği ile yakından bağlantılı olan bu mülk , bazen “Bolzano-Weierstrass özelliği” olarak adlandırılır. Bolzano-Weierstrass teoremi makalesinde çeşitli ispatlar bulunabilir .

Örnekler :

Eğer x , n = (1) , n , o zaman dizisini ( x 2 , n 1, hatta sıra yakınsak şartları) ve dizisini ( x 2 , n + 1 -1 tek seviye yakınsak şartları);
böyle bir alt diziyi açıklamak mümkün olmayabilir. Örneğin, sin ( n k ) yakınsaması için kesin olarak artan tamsayılar vardır n 1 , n 2 , ..., n k , ... , ancak bir ifademiz yok .
en basit durum, sınırlı dizinin daha monoton olduğu durumdur: bu durumda, monotonik limit teoremine göre zaten yakınsaktır.

İlgili makale

Boşluk ℓ ∞