Gelen matematik içgüdüsel olarak, bir dizinin limiti olan koşulları elemanıdır dizisi endeksleri çok büyük hale geldiğinde daha yakın bulunmaktadır. Bu sezgisel tanım pek kullanışlı değildir çünkü "yaklaşmak"ın anlamını tanımlayabilmek gerekir. Bu kavram bir varlığını ima mesafeye (neden olduğu mutlak değer içinde ℝ tarafından, modülü içinde ℂ tarafından, norm bir de normlu vektör alanı ) ama biz biz var şartıyla olmadan biz bile yapabiliriz göreceksiniz topoloji . Bu makalede, önce gerçek dizinin limiti , daha sonra karmaşık dizinin limiti ve ancak daha sonra, fazlalık anlamına gelse bile, bir topolojik uzayda limit kavramı sunulacaktır .
Bir süitin limitinin resmileştirilmesi oldukça geç gelirse, sezgisel kullanımı 2000 yıldan daha eskidir. In Elements of Euclid (X.1), okuruz: gerçi, ne kadar fazla olursa yarıdan çıkarılır iki eşitsiz büyüklükleri göz önüne alındığında", ve gerisi daha yarıdan kesilmiş ve her zaman bu şekilde devam, edeceğiz verilen en küçükten daha küçük bir miktarla sonuçlanır ” . Mevcut dilde, bu şunları verir:
ya (sadece not edin ) bir gerçek pozitif dizisi, öyle ki tüm n için , sonra gerçek her pozitif için , öyle bir indeks var ki . Bu neredeyse limiti 0 olan bir dizinin tanımıdır.Bazıları, Öklid'in onuncu unsurunun bu yorumunun yanıltıcı bir modernizasyon olduğuna inanabilir, Arşimet'in kareleme yöntemlerinde kullanımına bakarak onları çürütmek yeterlidir . Diskin alanını veya bir parabolün altındaki alanı hesaplamaya çalışırken, örneğin, çokgen alanları ile yaklaşmaya çalışır ve daha sonra aranan alan ile çokgenin alanı arasındaki farkı gözlemler. Her adımda bu farkın yarıdan fazla azaldığını gösteriyor ve bu şekilde süreci süresiz devam ettirerek aranan alana istediğimiz kadar yakın olacağımız sonucuna varıyor. Bu “ tükenme yöntemi ”dir.
Ancak, kötü biçimlendirilmiş sınırın bu sezgisi , Aşil ve kaplumbağa gibi Zeno'nun paradokslarını ortadan kaldırmayı mümkün kılmaz : Aşil bir A handikapıyla başlar ve kaplumbağadan iki kat daha hızlı koşar. Kaplumbağanın başlangıç noktasına geldiğinde, kaplumbağa zaten A/ 2 mesafesini katetmiştir, Aşil daha sonra A/ 2 mesafesini kat etmiştir ancak kaplumbağa A/ 4 mesafesini kat etmiştir , bu trende Aşil yetişmiyor kaplumbağa ile ancak sonsuz sayıda işlemden sonra, yani asla .
O zaman kusurlu bir biçimselleştirme girişimini, ardından Newton ve Leibniz'in sonsuz küçük hesabını görmek için 1600 yıl ve Grégoire de Saint-Vincent'in çalışmasını beklemek gerekliydi .
Gerçek bir dizinin aşağıdaki durumlarda bir gerçek ℓ limitini kabul ettiğini söylüyoruz:
ℓ içeren herhangi bir açık aralık, sonlu bir sayı dışında dizinin tüm terimlerini de içerir (yani, dizinin tüm terimlerini belirli bir rütbeden içerir).Ayrıca to'ye yakınsadığını da söylüyoruz. Bir dizinin gerçek bir limiti varsa, onun yakınsak olduğunu veya yakınsadığını söyleriz .
Önceki tanım resmi olarak şu şekilde tercüme edilmiştir:
.sonra yazarız
veya daha basit olarak, belirsizlik olmadığında veyaBu tanımdan şunu çıkarabiliriz:
ℝ'nin tamlık özellikleri de şunu belirtmemize izin verir:
yakınsak dizi örnekleri
Gerçek bir dizinin yakınsamıyorsa uzaklaştığını söylüyoruz. Bir farklı dizisi ya da bir olabilir sonsuz sınırı veya sahip sınır .
Bir dizinin , ] A , + ∞ [ biçimindeki herhangi bir aralık, sonlu bir sayı dışında dizinin tüm terimlerini içeriyorsa (yani dizinin belirli bir sıradan başlayarak tüm terimlerini içeriyorsa) + ∞ eğiliminde olduğunu söylüyoruz .
Bu tanım resmi olarak şu şekilde tercüme edilmiştir:
sonra yazarız
veya daha basit olarak, belirsizlik olmadığında veyaBir dizinin –∞ olma eğiliminde olduğunu söylüyoruz, eğer ] –∞, A [ biçimindeki herhangi bir aralık ise, dizinin sonlu bir sayısı dışında tüm terimlerini içerir.
Bu tanım resmi olarak şu şekilde tercüme edilmiştir:
sonra yazarız
veya daha basit olarak, herhangi bir belirsizlik veyaSonsuzluğa yönelen bir dizinin temel örneği, sabit işaretli ve 0'a eğilimli bir dizinin tersidir:
İki sonucu elde etmek oldukça kolaydır:
Bazı gerçek diziler ne gerçek bir diziye, ne + ∞'ye , ne de –∞'ye yönelir . Bu durum, örneğin:
Yakınsak dizilerdeki işlemlerin, işlemin bir anlamı olduğu sürece sınırlarına kadar iletildiğini kanıtlıyoruz. Matematiksel olarak konuşursak, bu, eğer ve öyleyse
Ayrıca, eğer f sürekli bir fonksiyon ise ve tanımlı ise o zaman
± ∞ yönüne yönelen dizilerin müdahalesi , hesaplamaları biraz daha karmaşık hale getirir:
Bir dizinin to kompleksine yakınsadığını söylüyoruz, eğer
Artık bir mutlak değer değil, modül meselesi olması dışında, bunun in'dekiyle aynı tanım olduğunu fark ediyoruz .
sonra yazarız
veya daha basit olarak, belirsizlik olmadığında,Yakınsak karmaşık diziler için, sıra ilişkisine bağlı olanlar hariç, gerçek dizilerle aynı özellikleri buluyoruz: limit benzersizdir, yakınsak bir dizinin sınırlı bir modülü vardır, herhangi bir Cauchy dizisi yakınsar (aslında, also da tamdır) , toplam, çarpım, bölüm gibi farklı işlemler sınıra kadar iyi iletilir.
Bir de normalize vektör alanı , söylediğimiz bir dizi olduğu ℓ için yakınsak ise
Karmaşık bir dizinin limitinin genelleştirilmesidir , karmaşık düzlemdeki olağan norm modüldür.
sonra yazarız
veya daha basit olarak, belirsizlik olmadığında,Bir skaler ile toplamanın ve çarpmanın limitine aktarımının yanı sıra limitin benzersizliği de korunur . Herhangi bir Cauchy dizisinin yakınsadığını ancak tam bir normalleştirilmiş vektör uzayında doğrulayabiliriz .
Bir metrik uzayda , bir dizinin ℓ'ye yakınsadığını söyleriz:
Bunun, artık bir farkın mutlak değeri değil, mesafe meselesi olması dışında, içindeki ile aynı tanım olduğuna dikkat edin.
sonra yazarız
veya daha basit olarak, belirsizlik olmadığında,Yalnızca sınırın benzersizliği korunur. Herhangi bir Cauchy dizisinin yakınsadığını söyleyebilmek için tam bir metrik uzayda olmak gerekecektir. Söz konusu uzayda bir işlem varsa limite iletilebilmesi için sürekli olması gerekecektir.
Bir topolojik uzayda yakınsama tanımında önceki tüm tanımlar bir araya gelir .
Veya E topolojisine sahip bir uzay T .
Bu sekans söylemek için yakınsak herhangi eğer açık O ve T ℓ elemanı ihtiva eden, bir doğal sayı olduğu N , örneğin tüm için aittir O .
Sınırın benzersiz olduğunu teyit edebilmek için uzayın ayrılmış olması yeterlidir .
Bu bölüm yalnızca bir metrik uzaydaki değerlerin dizileri ve dolayısıyla sayılabilir komşuluk tabanları ile ilgilidir . Bu bağlamda aşağıda tanımlanan yapışma değeri kavramı, farklı olan genel kavramla örtüşmektedir.
Veya E metrik uzayında değerleri olan bir dizi .
Tam olarak artan bir fonksiyon ise (böyle bir fonksiyona çıkarıcı denir ), dizinin diziden çıkarılan bir dizi (veya alt dizi ) olduğunu söyleriz.
Kabaca söylemek gerekirse, sadece belirli terimleri tuttuğumuz (zaten bir sonsuzluk) devamıdır .
ℓ değerine yakınsayan bir çıkarılmış dizi varsa , ℓ değerinin dizinin bir bağlılık değeri olduğunu söyleriz .
Bir fikir edinmek için, bir yapışma değeri, "dizinin sıklıkla yakınından geçtiği" bir öğedir, yani, gittiğimiz sürece, dizinin her zaman bu öğeye yakın bir terimini bulacağız .
Mülk 1
Bir sekans ise değerleri D doğru yakınsak l ∈ E , L yapışma benzersiz bir değerdir tüm ekstre dizileri yani doğru yakınsamaktadır l .
E'nin bir kompakt uzay olması durumunda , bir resiproktalımız bile var. Bu değerlerle herhangi bir sekans, örneğin geçerli segmentin arasında ℝ (herhangi bir sınırlı gerçek sekansına başka bir deyişle), ya da gerçek bir sekansa, kompakt alınarak tamamlanmıştır gerçek hat (bu durumda, + ∞ ve - ∞ devamın yapışma değerlerinin envanterinden önceden hariç tutulmaz ):
Mülk 2
Bir dizi, küçük bir alanda değerine sahip olması halinde , E , o zaman bu yapışkanlıktaki en az bir değer kabul E ve ve sadece bir kabul halinde eğer yakınsar .
Mülk 3
E'deki bir değer dizisi , ancak ve ancak şu durumlarda l ∈ E'ye yakınsar :
Bu sonucun nasıl genelleştirileceğini de görebiliriz: düşünülen çıkarıcıların görüntülerinin ℕ'yi (örneğin, burada ve ) tamamen kapsaması yeterlidir , yani kullanılan çıkarılan dizilerin (sonsuz) indeks kümelerinin aşağıdaki gibi olması yeterlidir. tüm doğal olanların bir araya gelmesi .
Not
Bu özellik, E'deki bir dizi değerin yakınsama olmadığını göstermek için yararlıdır : eğer
sonra birleşmeyin.
Misal
Aşağıdakiler (-12, 23, -34, 45, -56,…) = ((–1) ndeğiln +1) n ∈ℕ * (bkz. şekil) iki alt diziye ayrılabilir:
İki alt dizi farklı limitlere yakınsamakta, ilk dizi yakınsamamaktadır.
E her zaman bir metrik uzay olduğunda, güçlü Bolzano-Weierstrass teoremine sahibiz :
Bir metrik alan E bu (ve sadece) ise kompakt sırayla kompakt olup, aşağıdaki değerler söylemek için olan E yapışkanlıktaki en az bir değere sahiptir E .