Tavuk sayısı ve süper sayısı

Gelen aritmetik , bir asallık testi bir tek sayıya akım n ise teste olduğunu n böler 2 n aksi halde, altında: 2 - contrapositive ait Fermat'ın küçük teoremi , biz sonucuna n asal değildir. Bununla birlikte, bu testi başarıyla geçen bileşik sayılar vardır: 1926'da bazılarını listeleyen Paul Poulet onuruna Tavuk sayıları veya Sarrus sayıları , çünkü F. Sarrus bu sayılardan bazılarını (341 gibi) 1819'da keşfetti.

Bu nedenle bir bileşik sayı n , eğer n 2 n - 2'yi bölerse , başka bir deyişle, 2 tabanında zayıf bir sözde asal sayı ise bir Tavuk sayısıdır .
Bir Tavuk süper numarası, tüm bileşik bölenlerin Tavuk sayıları olduğu bileşik bir sayıdır (bu bölenler de Tavuk üst sayılarıdır) veya yine: her bölen d'nin 2 d - 2'yi böldüğü bileşik bir sayıdır .

Örnekler

341 tamsayısı, Chicken sayısının bir süper sayısıdır, çünkü 2 10 - 1, 341 = 11 × 31 ile bölünebilir, yani 2 10 k - 1 aynı zamanda (herhangi bir pozitif tam sayı k için ) ve 2 10 k +1 - 2 = 2 × (2 10 k - 1) ayrıca özellikle:

2 11 - 2 ila 11 ile bölünebilen;
2 31 - 2, 31'e bölünebilir;
2 341 - 2 341 ile bölünebilen.

Yarı asal Tavuk numaraları Tavuk supernumbers olmak, üçüncü noktayı kontrol etmek aslında yeterliydi.

Tavuk asal sayıları ve süper sayıları

Tavuğun asal sayıları ve süper sayıları ve ayrışmaları aşağıdaki tablolarda sunulmuştur:

Tavuk Numaraları

Numara	Ayrışma
341	11 × 31
561	3 × 11 × 17
645	3 × 5 × 43
1105	5 × 13 × 17
1387	19 × 73
1729	7 × 13 × 19
1905	3 × 5 × 127
2047	23 × 89
2465	5 × 17 × 29
2701	37 × 73
2821	7 × 13 × 31

Tavuk Süper Numaraları

Numara	Ayrışma
341	11 × 31
1387	19 × 73
2047	23 × 89
2701	37 × 73
3277	29 × 113
4033	37 × 109
4369	17 × 257
4681	31 × 151
5461	43 × 127
7957	73 × 109
8321	53 × 157

Hatta Tavuk Numaraları

Numara	Ayrışma
161038	2 × 73 × 1103
215326	2 × 23 × 31 × 151
2568226	2 × 23 × 31 × 1801
3020626	2 × 7 × 359 × 601
7866046	2 × 23 × 271 × 631
9115426	2 × 31 × 233 × 631
49699666	2 × 311 × 79903
143742226	2 × 23 × 31 × 100801
161292286	2 × 127 × 199 × 3191
196116194	2 × 127 × 599 × 1289
209665666	2 × 7 × 89 × 197 × 881

Burada sunulan Tavuk süper sayılarının hepsinin yarı asal olduğunu fark edebiliriz.

Yarı asal tavuk sayıları

Herhangi bir yarı asal Chicken numarası pq (burada p ve q iki asal sayıdır, ayrı olmak zorunda değildir) bir Chicken süper numarasıdır. Aslında, Fermat'ın küçük teoremine göre, ek koşullar 2 p ≡ 2 mod p ve 2 q ≡ 2 mod q otomatik olarak karşılanır.

Öte yandan, p ve q iki farklı asal sayı ise, pq bir Tavuk (süper) sayısıdır ancak ve ancak p 2'yi q - 2'yi ve q 2 p - 2'yi böler .

Gösteri

Fermat'ın küçük teoremine göre, 2 pq = (2 q ) p ≡ 2 q mod p ve benzer şekilde 2 pq ≡ 2 p mod q . "2 q ≡ 2 mod p ve 2 p ≡ 2 mod q " durumu bu nedenle "2 pq ≡ 2 mod p ve 2 pq ≡ 2 mod q " ile eşdeğerdir . Bu nedenle, Çin Kalan Teoremine göre, "2 pq by 2 mod pq " koşuluyla ima edilir ve hatta p ve q farklıysa ona eşdeğerdir .

P 2 formunun yarı asal bir sayısı, ancak ve ancak p bir Wieferich asal sayısı ise (yalnızca ikisi bilinmektedir: p = 1,093 ve p = 3,511 ) bir Tavuk (süper) sayısıdır .

Gösteri

2 Eğer p 2 ≡ 2 mod p 2 , sonra p ≠ 2 bu nedenle de (mod p 2 ) 2 tersinirdir ve çarpımsal düzeni bir bölen bir p 2 1. Ancak (- Euler teoremi ayrıca bir böleni olan) p 2 - s . Bu nedenle p - 1'in bölenidir .

Tersine, eğer 2 p –1 ≡ 1 mod p 2 ise o zaman (mod p 2 ) 2 p 2 = 2 1+ ( p –1) ( p +1) ≡ 2 × 1 p +1 = 2.

İkiden fazla asal çarpana sahip (Süper) Tavuk sayısı

Tavuk sayılarını ve süper sayılarını ikiden fazla asal faktörle aşağıdaki gibi oluşturabiliriz:

Let n 1 , n 2 , ..., n k olmak ile prime k bütün halinde 3. ≥ n ı ve tüm n ı n j için i ≠ j sonra, Tavuk rakamlar veya asal olan n 1 n 2 ... n k bir sayıdır Tavuk (aynı şekilde "Tavuk sayısı" nın "Tavuk süper numarası" ile değiştirilmesiyle).

Gösteri

Tümevarım yoluyla, $k = 3$ durumunu düşünmek yeterlidir . Öyleyse $a$ , $b$ ve $c$ bu koşulları sağlayan üç sayı olsun. Hipotez ile,

${\ displaystyle 2 \ equiv 2 ^ {a} \ mod a \ quad {\ rm {et}} \ quad 2 ^ {ab} \ equiv 2 \ mod {ab}.}$

Modulo $a$ , bu nedenle elimizde:

${\ displaystyle 2 ^ {b} \ eşdeğeri (2 ^ {a}) ^ {b} = 2 ^ {ab} \ eşdeğeri 2}$

ve benzer şekilde, $2 c \equiv 2$ , yani

${\ displaystyle 2 ^ {abc} = (2 ^ {b}) ^ {ca} \ equiv 2 ^ {ca} = (2 ^ {c}) ^ {a} \ equiv 2 ^ {a} \ equiv 2. }$

Benzer şekilde, $2 abc \equiv 2$ modulo $b$ ve $c$ , bu nedenle modulo $abc,$ çünkü $a$ , $b$ ve $c$ eş asaldır.

Örneğin, yukarıdaki tablodan 37, 73 ve 109 asal sayılarının uygun olduğunu okumak kolaydır. Ürünleri: 294409 = 37 × 73 × 109, bir tavuk sayısıdır.

Yedi, sekiz asal faktör ve daha fazlası

Aşağıdaki asal sayı aileleri, yedi farklı asal çarpana kadar Tavuk sayılarının elde edilmesini mümkün kılar:

103, 307, 2143, 2857, 6529, 11119, 131071
709, 2833, 3541, 12037, 31153, 174877, 184081
1861, 5581, 11161, 26041, 37201, 87421, 102301 (*)
6421, 12841, 51361, 57781, 115561, 192601, 205441

Bu aileler, sekiz farklı ana faktöre kadar gitmeye izin verir:

1861, 5581, 11161, 26041, 37201, 87421, 102301, 316201 (*)
2383, 6353, 13499, 50023, 53993, 202471, 321571, 476401
2053, 8209, 16417, 57457, 246241, 262657, 279073, 525313
1801, 8101, 54001, 63901, 100801, 115201, 617401, 695701

Yukarıda (*) işaretli iki çizgi arasındaki ilişkiye dikkat edin! Bu asal sayılar listesi aslında yirmi iki farklı asal sayıya kadar devam ettirilebilir:

1861, 5581, 11161, 26041, 37201, 87.421, 102.301, 316.201, 4.242.661, 52.597.081, 364.831.561, 2903110321, 8973817381, 11292210661, 76712902561, 103.410.510.721.501, 29126056043168521, 3843336736934094661, 24865899693834809641, 57805828745692758010628581, 9767813704995838737083111101, 934679543354395459765322784642019625339542212601

Kare çarpanlar

1093 2 × 4 733 gibi kare faktörlere sahip Tavuk süper sayıları da vardır .

Hatta Tavuk Numaraları

Tavuk sayısı bile bilinmektedir; en küçüğü olan 161038 = 2 × 73 × 1103, 1950'de Derrick Lehmer tarafından keşfedildi .

Üstelik tavuk sayısının bile olmadığını göstermek de oldukça kolaydır. Gerçekten de, böyle bir numara formundan oluşan bir böleni itiraf ediyorum ile Tavuk bir dizi olacağını asal. Altın $2p$ $p$

{\ displaystyle 2 ^ {2p} -2 = (2 ^ {p} -2) (2 ^ {p} +2) +2.}

Tavuk sayısıysa, şu şekilde bölünebilir : $2p$

$p$ Bölünmüş ${\ displaystyle (2 ^ {p} -2) (2 ^ {p-1} +1) +1.}$

Şimdi, Fermat'ın küçük teoremine göre bölünüyor . Daha sonra saçma olan bölündük . Formun hiçbir Tavuk sayısı nedenle yoktur ile asal ve hiçbir daha ziyade bile Tavuk supernumber. $p$ ${\ displaystyle (2 ^ {p} -2)}$ $p$ $1$ $2p$ $p$

Notlar ve referanslar

Jean-Paul Delahaye , Harika asal sayılar ,2012, 2 nci baskı. ( ISBN 978-2-84245-117-2 ) , s. 213.

Dış bağlantılar

On tüm elektronik ansiklopedisi Sloane suit buluruz:

Tavuk sayılarının A001567 dizisi
Tavuk süper numaraları paketi A050217
Çift tavuk sayılarının dizisi A006935

Bu sayfa Tavuk sayıları ve süper sayıları hakkında birçok bilgi verir:

Sahte suçlar (Gérard Michon)