Aritmetik bir dalıdır matematik olan bilim ait numaralar .
Aritmetik, doğal sayıların , tam sayıların ve rasyonel sayıların ( kesirler olarak ) özelliklerini ve bu sayılar üzerindeki işlemlerin özelliklerini araştırmaya başlamakla sınırlıdır . Geleneksel aritmetik işlemler toplama , bölme , çarpma ve çıkarmadır . Bu disiplin daha sonra, gerçekler ( sınırsız ondalık genişleme biçiminde) gibi diğer sayıların veya üs veya karekök gibi daha gelişmiş kavramların incelenmesinin dahil edilmesiyle genişletildi . Bir "kod" dir - - aritmetik resmen temsil eden bir yoldur sayılar (numara listesi şeklinde, örneğin); ve (bu gösterim sayesinde) temel işlemleri tanımlar: toplama, çarpma, vb.
Etimoloji kelimesi ait aritmetik dayanmaktadır antik Yunan ἀριθμός ( arithmos anlamına gelir), sayı .
Aritmetiğin kökeni bir Fenike icadı gibi görünüyor . Gelen Pisagor okulu ikinci yarısında VI inci yüzyıl M.Ö.. AD , aritmetik, geometri , astronomi ve müzikle birlikte dört nicel veya matematiksel bilimden ( Mathemata ) biriydi . Bu yedi gruba ayrıldı liberal sanatlar tarafından Martianus Capella ( V inci yüzyılın) ve daha kesin olarak belirlenmiş quadrivium tarafından Boethius . Diğer üç disiplinler edebi idi ( gramer , retorik , diyalektik ) ve çalışmalarının konu olan Cassiodorus üstü ve, Alcuin onlara adını verdi Trivium .
"Temel aritmetik" terimi bazen ilkokulda öğrenilen matematiğin en temel biçimini ifade eder . Bu aslında sayıların ve temel işlemlerin ( çıkarma , toplama , bölme , çarpma ) çalışmasıdır.
Bu terim aynı zamanda aritmetik tekniklerin temellerini de ifade eder. Kullanılan araçlar Öklid bölümü , Öklid'in lemması , Bachet-Bézout teoremi veya aritmetiğin temel teoremidir . Wilson veya Fermat'ın küçük teoremi gibi teoremleri göstermemize izin veriyorlar .
Terimin bu ikinci anlamı ayrıntılı makalede ele alınmaktadır.
Carl Friedrich Gauss ( 1777 - 1855 ) grubu çalışmalar ilgili tam sayı uyum sınıflarının, belirli bir tamsayı modulo . Her sınıf, bu tamsayı ile Öklid bölünmesinin geri kalanına karşılık gelir ve küme, doğal olarak bir toplama ve çarpma ile sağlanır.
Bu yapının çalışmasına modüler aritmetik denir. Temel aritmetiğin sonuçlarını genelleştirmeyi mümkün kılar. Euler teoremi , Fermat'ın küçük teoremi daha güçlü bir sonucu karşılık gelen bir genelleme göstermektedir.
Modüler aritmetik, kriptolojide veya bilgisayar bilimlerinde düzeltici kodların oluşturulmasında kullanılır .
Modüler aritmetik teknikleriyle bile birçok soru cevaplanamaz. Örnekler Diophantine denklemlerinden gelir , yani katsayıları tamsayı olan ve istenen çözümleri tamsayı olan denklemlerden. Yöntemlerden biri , tamsayılar kümesini , Gauss tamsayılarınınki gibi , cebirsel tamsayılar halkası adı verilen yeni bir yapıya genişletmekten ibarettir .
Öklid halkalarıyla sınırlı olan modüler aritmetikten daha genel olan bu yapıların incelenmesi, cebirsel sayı teorisinin ilk bölümünü oluşturur .
Tamsayılar anlamında aritmetik çalışması, teoremler kurmayı varsayar. Bu teoremler, tam sayılarla sınırlı olmayan teknikler kullanılarak gösterilmiştir. Aynı yaklaşımı polinomlar gibi diğer yapılarda da kullanmak mümkündür . Siklotomik polinomları inceleyerek Gauss , 17 kenardan bir cetvel ve bir pergel ile oluşturulabilen yeni bir düzgün çokgen bulmayı başarır .
Yaklaşımı aritmetik , bu nedenle polinom aritmetiğinden bahsediyoruz.
Sayıların toplamı çeşitli kümelere bölünmüştür . En ünlüleri:
Bu kümelerden bazıları diğerlerinin alt kümeleridir ; tüm öğeleri de aittir , örn. Ancak tersine, öğesinin öğesi mutlaka öğesinin öğesi değildir . Bu setler halkayla ile temsil edilebilir: En küçük olduğunu , ardından , , , ve .
Bir kümenin sadece bir kısmını düşünmek mümkündür. Böylece, pozitif sayılar kümesini gösteririz . Aynı şekilde 0'ın özel kümesini belirtiriz . Diğer şeylerin yanı sıra şunu ve şunu fark ederiz (bu bir "özel" sorusudur ).
Birçok tam sayının özel özellikleri vardır. Bu özellikler sayılar teorisinin konusudur . Bu özel sayılar arasında, asal sayılar tartışmasız en önemlisidir.
Bu sözde asal sayılar için geçerlidir . Bunlar, sadece iki farklı pozitif böleni, yani 1 ve kendileri olan doğal sayılardır. İlk on asal sayı 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 ve 29'dur. 1 tamsayısı asal değildir çünkü iki farklı pozitif böleni yoktur, sadece bir tane, yani kendisi vardır. Sonsuz sayıda asal sayı vardır. 10 × 10 boyutunda bir ızgarayı ilk 100 sıfır olmayan doğal tamsayı ile tamamlayarak ve asal olmayanların üzerini çizerek, Eratosthenes elek adı verilen bir işlemle {1,…, 100}'e ait asal sayıları elde ederiz . adını onu icat eden Yunan bilgininden almıştır .
Doğal sayılar çift ve tek olmak üzere ikiye ayrılır .
Bir hatta tamsayı 2 katı olduğu ve bu nedenle yazılabilir ile . Bir tek sayı 2 katı değil ve yazılabilir ile .
Herhangi bir tamsayının ya çift ya da tek olduğunu gösteriyoruz ve bu bir benzersiz için : şunu gösteriyoruz .
İlk altı çift tam sayı 0, 2, 4, 6, 8 ve 10'dur. İlk altı tek tam sayı 1, 3, 5, 7, 9 ve 11'dir.