Erdős-Stone teoremi
Gelen Ekstremal grafik teorisi , erdos-taş teoremi bir bir asimptotik sonuç genelleştirici turan teoremi bir üst yoksun bir grafik kenarların sayısı bağlanmış veren , H, H , bir varlık olmayan tam bir grafiktir . Adını 1946'da kanıtlayan ve "aşırı grafik teorisinin temel teoremi" olarak tanımlanan Paul Erdős ve Arthur Stone'dan almıştır .
Turan grafiklerinin aşırı fonksiyonları
Ekstrem fonksiyon , H. Turán teoremine izomorfik bir alt grafik içermeyen n mertebesindeki bir grafikteki maksimum kenar sayısı olarak tanımlanır , Turan grafiğinin sırası ve Turan grafiğinin benzersiz uç grafik olduğunu belirtir. Erdős-Stone teoremi bunu Turán grafiklerine genişletir :
ex(değil;H){\ displaystyle ex (n; H)}
ex(değil;Kr)=tr-1(değil){\ displaystyle ex (n; K_ {r}) = t_ {r-1} (n)}
T(rt,r){\ displaystyle T (rt, r)}![{\ displaystyle T (rt, r)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7691d73d7bc0af683f6778c686669b24ee7f6915)
eski(değil;Kr(t))=(r-2r-1+Ö(1))(değil2).{\ displaystyle {\ mbox {ex}} (n; K_ {r} (t)) = \ sol ({\ frac {r-2} {r-1}} + o (1) \ sağ) {n \ 2} seçin.}![{\ displaystyle {\ mbox {ex}} (n; K_ {r} (t)) = \ sol ({\ frac {r-2} {r-1}} + o (1) \ sağ) {n \ 2} seçin.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8ae86a1b8d036247947726ce44f3d5fbbdb5c56)
Sonuçlar
Teoremin birkaç versiyonu kanıtlanmıştır. Let (için büyük olması) t gibi olduğu için, her grafik n ve boyut
sr,ε(değil){\ displaystyle s_ {r, \ varepsilon} (n)}
0<ε<12(r-1){\ displaystyle 0 <\ varepsilon <{\ frac {1} {2 (r-1)}}}![{\ displaystyle 0 <\ varepsilon <{\ frac {1} {2 (r-1)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ed14bd1cca02e53e4c6411397c9a6df274ded47)
(r-22(r-1)+ε)değil2{\ displaystyle \ sol ({\ frac {r-2} {2 (r-1)}} + \ varepsilon \ sağ) n ^ {2}}![{\ displaystyle \ sol ({\ frac {r-2} {2 (r-1)}} + \ varepsilon \ sağ) n ^ {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c24989cca9d7537e17b887f36d1e04a1a531f33)
bir .
Kr(t){\ displaystyle K_ {r} (t)}![{\ displaystyle K_ {r} (t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8cf594adf108d6a1dd4c8f6189b1a258cd753f0)
Erdős ve Stone bunu kanıtladı
sr,ε(değil)≥(günlük⋯günlük⏟r-1değil)1/2{\ displaystyle s_ {r, \ varepsilon} (n) \ geq \ sol (\ underbrace {\ log \ cdots \ log} _ {r-1} n \ sağ) ^ {1/2}}![{\ displaystyle s_ {r, \ varepsilon} (n) \ geq \ sol (\ underbrace {\ log \ cdots \ log} _ {r-1} n \ sağ) ^ {1/2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7938458127003189098e88510bd2de927cc781b9)
için n adet büyük yeterince. Sırası ile saptanmıştır Bollobás ve Erdös: tüm r ve e, sabit vardır ve bu gibi . Chvátal ve Szemerédi, r ve'deki bağımlılığın doğasını belirttiler :
sr,ε(değil){\ displaystyle s_ {r, \ varepsilon} (n)}
vs1(r,ε){\ displaystyle c_ {1} (r, \ varepsilon)}
vs2(r,ε){\ displaystyle c_ {2} (r, \ varepsilon)}
vs1(r,ε)günlük(değil)<sr,ε(değil)<vs2(r,ε)günlük(değil){\ displaystyle c_ {1} (r, \ varepsilon) \ log (n) <s_ {r, \ varepsilon} (n) <c_ {2} (r, \ varepsilon) \ log (n)}![{\ displaystyle c_ {1} (r, \ varepsilon) \ log (n) <s_ {r, \ varepsilon} (n) <c_ {2} (r, \ varepsilon) \ log (n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/876524ae0734dbe3ea57aef753f16cc2b648c9fb)
1500günlük(1/ε)günlükdeğil<sr,ε(değil)<5günlük(1/ε)günlükdeğil{\ displaystyle {\ frac {1} {500 \ log (1 / \ varepsilon)}} \ log n <s_ {r, \ varepsilon} (n) <{\ frac {5} {\ log (1 / \ varepsilon )}} \ log n}![{\ displaystyle {\ frac {1} {500 \ log (1 / \ varepsilon)}} \ log n <s_ {r, \ varepsilon} (n) <{\ frac {5} {\ log (1 / \ varepsilon )}} \ log n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ec80d4e02cf6079a1a86cab11c4a8bf04526b42)
için n adet büyük yeterince.
Referanslar
Erdős ve Stone, AH, “ Doğrusal grafiklerin yapısı üzerine ”, Amerikan Matematik Derneği Bülteni , cilt. 52, n o 12,1946, s. 1087–1091 ( DOI 10.1090 / S0002-9904-1946-08715-7 )
Béla Bollobás , Modern Çizge Teorisi , New York, Springer-Verlag ,1998, 120 p. ( ISBN 0-387-98491-7 )
Béla Bollobás , Kombinatorik El Kitabı , Elsevier ,1995, 1244 s. ( ISBN 0-444-88002-X ) , "Aşırı grafik teorisi"
Bollobás ve Erdős, P., " Kenar grafiklerinin yapısı hakkında ", Londra Matematik Derneği Bülteni , cilt. 5, n o 3,1973, s. 317–321 ( DOI 10.1112 / blms / 5.3.317 )
Chvátal ve Szemerédi, E., " Erdős-Stone teoremi Üzerine ", Journal of the London Mathematical Society , cilt. 23, n o 2bin dokuz yüz Seksen bir, s. 207–214 ( DOI 10.1112 / jlms / s2-23.2.207 )
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">