Ulam teoremi
Ulamın teoremi ilişkin bir teoremi kabileleri içinde (ya da σ-cebir), ölçü teorisi ve olasılık . Bu teorem, kısmen bu kavramların girişini haklı çıkarır. Stefan Banach ve Kazimierz Kuratowski tarafından süreklilik hipotezi kullanılarak 1929'da yazılan bir makalede , daha sonra 1930'da Stanislaw Ulam tarafından zayıf hipotezler altında gösterildi.
Eyaletler
Yaygın ölçüm
Tanımı - Let olmak bir ölçülen boşluk . Bir elementin if için bir atom olduğunu söylüyoruz . Ölçü atomsuz ise dağınık olduğunu söylüyoruz.
(Ω,AT,μ){\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {A}}, \ mu)}
x∈XX'te {\ displaystyle x \}
μ{\ displaystyle \ mu}
μ({x})>0{\ displaystyle \ mu \ sol (\ sol \ {x \ sağ \} \ sağ)> 0}![{\ displaystyle \ mu \ sol (\ sol \ {x \ sağ \} \ sağ)> 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eef8596e03d26e4a48a9875b5267aa0a7a367788)
Örneğin, sıfır olmayan bir ölçü dağıtılamaz. Ölçer, daha sonra eğer sıfır değilse, gerçekten de tarafından σ-additif nedenle zorunlu olarak en az biri için, sıfır olmayan bir . Herhangi bir evren için, ayrık kabilesiyle birlikte en sayılabilir olana kadar aynı sonuca varıyoruz .
(Ω,AT)=(DEĞİL,P(DEĞİL)){\ displaystyle \ sol (\ Omega, {\ mathcal {A}} \ sağ) = \ sol (\ mathbb {N}, {\ mathcal {P}} \ sol (\ mathbb {N} \ sağ) \ sağ) }
μ(DEĞİL)=∑değil∈DEĞİLμ({değil})>0{\ textstyle \ mu \ sol (\ mathbb {N} \ sağ) = \ toplamı _ {n \ in \ mathbb {N}} \ mu \ sol (\ {n \} \ sağ)> 0}
μ({değil}){\ displaystyle \ mu \ sol (\ {n \} \ sağ)}
değil∈DEĞİL{\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}}![n \ in \ mathbb {N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d059936e77a2d707e9ee0a1d9575a1d693ce5d0b)
Ulam teoremi (1930)
Ulam teoremi (1930) - Üzerinde yayılma olasılığı yoktur .
(R,P(R)){\ displaystyle \ sol (\ mathbb {R}, {\ mathcal {P}} \ sol (\ mathbb {R} \ sağ) \ sağ)}![{\ displaystyle \ sol (\ mathbb {R}, {\ mathcal {P}} \ sol (\ mathbb {R} \ sağ) \ sağ)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3eb260796126d873c82898ee827407cb7350cdad)
Bu teorem, böyle bir uzaydaki olasılıkların zorunlu olarak ayrık olduğunu gösterir . Hakikaten öyle olsun . Böylece anlıyoruz ve her zaman en fazla kardinal oluyoruz . Bu nedenle, bir çoğu sayılabilir at . Ancak, olay olduğunu aksi takdirde, ihmal edilebilir bir yaygın olasılık olurdu Ulam teoreminin sayesinde mümkün değildir süreklilik, gücünü kimin. bu nedenle -neredeyse güvenlidir.
D={ω∈Ω|P({ω})>0}{\ displaystyle D = \ sol \ {\ omega \ içinde \ Omega | \ mathbb {P} \ sol (\ sol \ {\ omega \ sağ \} \ sağ)> 0 \ sağ \}}
D=⋃değil∈DEĞİL∗{ω∈Ω|P({ω})>1değil}{\ textstyle D = \ bigcup _ {n \ in \ mathbb {N} ^ {*}} \ sol \ {\ omega \ in \ Omega | \ mathbb {P} \ sol (\ sol \ {\ omega \ sağ \ } \ sağ)> {\ frac {1} {n}} \ sağ \}}
{ω∈Ω|P({ω})>1değil}{\ textstyle \ sol \ {\ omega \ in \ Omega | \ mathbb {P} \ sol (\ sol \ {\ omega \ sağ \} \ sağ)> {\ frac {1} {n}} \ sağ \} }
değil{\ displaystyle n}
D{\ displaystyle D}
Ω′=Ω∖D{\ displaystyle \ Omega '= \ Omega \ setminus D}
P{\ displaystyle \ mathbb {P}}
PP(Ω′){\ textstyle {\ frac {\ mathbb {P}} {\ mathbb {P} (\ Omega ')}}}
(Ω′,P(Ω′)){\ Displaystyle \ sol (\ Omega ', {\ mathcal {P}} \ sol (\ Omega' \ sağ) \ sağ)}
D{\ displaystyle D}
P{\ displaystyle \ mathbb {P}}![\ mathbb {P}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1053af9e662ceaf56c4455f90e0f67273422eded)
Uyarılar
- Aşağıda sunulan kanıtın gösterdiği gibi, Ulam'ın sonucu daha geneldir:
Teorem - Yayılma olasılığının olduğu bir kardinal varsa, bu zayıf erişilebilir bir kardinalden daha büyüktür.
ℵα{\ displaystyle \ aleph _ {\ alpha}}
(ℵα,P(ℵα)){\ displaystyle (\ aleph _ {\ alpha}, {\ mathcal {P}} (\ aleph _ {\ alpha}))}![{\ displaystyle (\ aleph _ {\ alpha}, {\ mathcal {P}} (\ aleph _ {\ alpha}))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82f9c07313a170114107a3cdbf1a69201f2767dd)
Dolayısıyla , Ulam'ın teoreminin doğru olması için bunun , zayıf bir şekilde erişilemeyen kardinalden daha az olduğunu varsaymak yeterlidir .
2ℵ0{\ displaystyle 2 ^ {\ aleph _ {0}}}![2 ^ {\ aleph _ {0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/779da5db4ed54fa334dd92089cdf1c284e45febb)
- "Yaygın olasılık" ı "dağınık ölçü" ile değiştirirsek teorem yanlıştır. Aslında, uygulama bir ölçüdür, çünkü sayılabilir kümelerin sayılabilir bir birleşimi sayılabilir ve dağınıktır.μ:P(R)→[0;+∞]AT↦{0EğerkartAT⩽ℵ0+∞değilse{\ displaystyle \ mu: {\ begin {array} {ccl} {\ mathcal {P}} (\ mathbb {R}) & \ rightarrow & [0; + \ infty] \\ A & \ mapsto & {\ begin {case} 0 & {\ textrm {si}} \; {\ textrm {card}} \, A \ leqslant \ aleph _ {0} \\ + \ infty & {\ textrm {aksi}}} \ end {case} } \ end {dizi}}}
![{\ displaystyle \ mu: {\ begin {array} {ccl} {\ mathcal {P}} (\ mathbb {R}) & \ rightarrow & [0; + \ infty] \\ A & \ mapsto & {\ begin {case} 0 & {\ textrm {si}} \; {\ textrm {card}} \, A \ leqslant \ aleph _ {0} \\ + \ infty & {\ textrm {aksi}}} \ end {case} } \ end {dizi}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/718f757b9770da0c8caa63855613f1279582b060)
Gösteri
Yararlı lemmalar
Lemma (i) - Üzerinde yayılma olasılığı yoksa, sınırlı ve dağınık sıfırdan farklı bir ölçü de yoktur.
(Ω,AT){\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {A}})}![{\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {A}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/529e4b59b55bf6c1b052a0a3c51f90aaa175b912)
Eğer sınırlandırılmış bir sıfırdan farklı ve üzerinde dağınık ölçüsüdür , daha sonra üzerinde yaygın bir ihtimaldir .
μ{\ displaystyle \ mu}
(Ω,AT){\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {A}})}
μμ(Ω){\ textstyle {\ frac {\ mu} {\ mu (\ Omega)}}}
(Ω,AT){\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {A}})}![{\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {A}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/529e4b59b55bf6c1b052a0a3c51f90aaa175b912)
Lemma, (ii) - diffüz olasılık var ise ilgili ve eğer olmayan bir olduğunu göz ardı edilebilir etkinlik , daha sonra mun diffüz olasılığı vardır ile kabile izi arasında ilgiliP{\ displaystyle \ mathbb {P}}
(Ω,AT){\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {A}})}
Ω′∈AT{\ mathcal {A}}} içinde {\ displaystyle \ Omega '\
P{\ displaystyle \ mathbb {P}}
Ω′{\ displaystyle \ Omega '}
AT{\ displaystyle {\ mathcal {A}}}
Ω′{\ displaystyle \ Omega '}
Q:{AT∩Ω′|AT∈AT}→[0;1]AT′↦P(AT′){\ displaystyle \ mathbb {Q}: {\ {diziye başla} {ccl} \ {A \ cap \ Omega '| A \ {\ mathcal {A}} \} & \ rightarrow & [0; 1] \\ A '& \ mapsto & \ mathbb {P} (A') \ end {dizi}}}
dağınık sınırlı sıfır olmayan bir ölçüdür, bu yüzden Lemma (i) 'ye göre iz kabilesinde dağınık bir olasılık vardır.
Süreklilik hipotezi ile
Bir dizi kardinal düşünüyoruz . Süreklilik hipotezine göre, süreklilik gücüne sahiptir , yani gerçek sayılar kümesine eşittir.
Ω{\ displaystyle \ Omega}
ℵ1{\ displaystyle \ aleph _ {1}}![\ aleph _ {1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78c211ce8badf4ffbf9417ecceb0ef7ab0a8caed)
Lemma - Bir söz konusudur iyi sırasını üzerindeki tüm başlangıç bölümleri söylemek en sayılabilen, altındadır şekilde:
⪯{\ displaystyle \ preceq}
Ω{\ displaystyle \ Omega}![\Omega](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24b0d5ca6f381068d756f6337c08e0af9d1eeb6f)
∀ω∈Ω,{x∈Ω|x≺ω}{\ displaystyle \ forall \ omega \ in \ Omega, \ sol \ {x \ in \ Omega | x \ Prec \ omega \ sağ \}}
en fazla sayılabilir.
Bu lemmasının aşağıdaki kanıtı hem kullanır sürekli hipotezi ve seçme aksiyomu aracılığıyla Zermelo teoremi .
Gösteri
Süreklilik hipotezine göre , en küçük sayılamayan kardinal ve dolayısıyla en küçük sayılamayan ordinal ile eş potansiyeldir . Bir bijeksiyon olalım . Sıra sayıları arasındaki katı düzen ilişkisini belirtirsek , sıra ilişkisini öyle tanımlarız . Yapım gereği artıyor ve iyi bir düzen. Her bir uygun başlangıç segmenti daha sonra uygun bir başlangıç segmentine izomorfiktir ve en fazla minimum ile sayılabilir .
Ω{\ displaystyle \ Omega}
ℵ1{\ displaystyle \ aleph _ {1}}
f:Ω→≈ℵ1{\ displaystyle f: \ Omega {\ taşması {\ yaklaşık} {\ ila}} \ aleph _ {1}}
<{\ displaystyle <}
x≺y⟺f(x)<f(y){\ displaystyle x \ prek y \ iff f (x) <f (y)}
f{\ displaystyle f}
⪯{\ displaystyle \ preceq}
(Ω,⪯){\ displaystyle (\ Omega, \ preceq)}
ℵ1{\ displaystyle \ aleph _ {1}}
ℵ1{\ displaystyle \ aleph _ {1}}![\ aleph _ {1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78c211ce8badf4ffbf9417ecceb0ef7ab0a8caed)
Not . Seçim aksiyomu bize bütün bir için, dikkate sağlayan enjeksiyon biz bir uygulamaya uzatmak olduğunu, ortaya atarak için . Öyleyse, ayarlayalım veS(z)={x∈Ω|x≺z}{\ textstyle S (z) = \ {x \ in \ Omega | x \ Prec z \}}
z∈Ω{\ textstyle z \ in \ Omega}
φz:S(z)↪DEĞİL{\ displaystyle \ varphi _ {z}: S (z) \ hookrightarrow \ mathbb {N}}
φz′:Ω→DEĞİL∪{+∞}{\ displaystyle \ varphi '_ {z}: \ Omega \ rightarrow \ mathbb {N} \ cup \ {+ \ infty \}}
φz′(x)=+∞{\ displaystyle \ varphi '_ {z} (x) = + \ infty}
x∉S(z){\ displaystyle x \ notin S (z)}
değil∈DEĞİL{\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}}
x∈Ω{\ displaystyle x \ in \ Omega}
Fxdeğil={z∈Ω|z≻x,φz′(x)=değil}{\ displaystyle F_ {x} ^ {n} = \ {z \ in \ Omega | z \ succ x, \ varphi '_ {z} (x) = n \}}
![{\ displaystyle F_ {x} ^ {n} = \ {z \ in \ Omega | z \ succ x, \ varphi '_ {z} (x) = n \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40867533ddca7166743b41abf0f68474967d7812)
Koleksiyonuna
Ulam Matrix adı verilir . Setlerimiz şu şekildedir:
(Fxdeğil){\ displaystyle (F_ {x} ^ {n})}![{\ displaystyle (F_ {x} ^ {n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9437a2a59a45517d2f5ff3236c95621278172a8)
Fx00Fx10⋯Fx01Fx11⋮⋱{\ displaystyle {\ begin {matrix} F_ {x_ {0}} ^ {0} & F_ {x_ {1}} ^ {0} & \ cdots \\ F_ {x_ {0}} ^ {1} & F_ {x_ {1}} ^ {1} \\\ vdots && \ ddots \ end {matrix}}}
![{\ displaystyle {\ begin {matrix} F_ {x_ {0}} ^ {0} & F_ {x_ {1}} ^ {0} & \ cdots \\ F_ {x_ {0}} ^ {1} & F_ {x_ {1}} ^ {1} \\\ vdots && \ ddots \ end {matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/741593d6e70b7bc4ffa54227726be56b025278b6)
Daha sonra şunu fark ederiz:
- her satırda, setler, enjekte edilebilirlik ile ikiye ikişer ayrıktır .φz{\ displaystyle \ varphi _ {z}}
![{\ displaystyle \ varphi _ {z}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1aa8ed44e6785b6603d2a497c81733e94188fb41)
- her sütunda şunlar var: ⋃değil∈DEĞİLFxdeğil={y∈Ω|y≻x}=Ω∖S(x+1){\ textstyle \ bigcup _ {n \ in \ mathbb {N}} F_ {x} ^ {n} = \ {y \ in \ Omega | y \ succ x \} = \ Omega \ setminus S (x + 1) }
Şimdi, her neyse ve sonlu, bu nedenle olduğunu
toplanabilir ve mutlaka en sayılabilir olan, bu nedenle çoğu sayılabilir seviyededir. Sonuç olarak, esas niteliği kesinlikle olduğundan daha büyük olduğu için , zorunlu olarak tümü sıfır olasılığa sahip bir indeks sütunu vardır. Yani σ-toplamsallıkla, dolayısıyla ve . Olarak en sayılabilir ve olan σ-katkı maddesi, ve bu yüzden, en azından bir atomu vardır .
değil∈DEĞİL{\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}}
J⊂Ω{\ displaystyle J \ altkümesi \ Omega}
P(⨄x∈JFxdeğil)=∑x∈JP(Fxdeğil)⩽1{\ textstyle \ mathbb {P} \ sol (\ biguplus _ {x \ J} F_ {x} ^ {n} \ sağda) = \ toplamı _ {x \ J} \ mathbb {P} (F_ {x } ^ {n}) \ leqslant 1}
(P(Fxdeğil))x∈Ω{\ textstyle \ sol (\ mathbb {P} \ sol (F_ {x} ^ {n} \ sağ) \ sağ) _ {x \ içinde \ Omega}}
{x∈Ω|P(Fxdeğil)>0}{\ displaystyle \ {x \ in \ Omega | \ mathbb {P} (F_ {x} ^ {n})> 0 \}}
⋃değil∈DEĞİL{x∈Ω|P(Fxdeğil)>0}{\ textstyle \ bigcup _ {n \ in \ mathbb {N}} \ {x \ in \ Omega | \ mathbb {P} (F_ {x} ^ {n})> 0 \}}
Ω{\ displaystyle \ Omega}
DEĞİL{\ displaystyle \ mathbb {N}}
x0∈Ω{\ displaystyle x_ {0} \ in \ Omega}
Fx0değil{\ displaystyle F_ {x_ {0}} ^ {n}}
P(⋃değil∈DEĞİLFx0değil)=0{\ textstyle \ mathbb {P} \ sol (\ bigcup _ {n \ in \ mathbb {N}} F_ {x_ {0}} ^ {n} \ sağ) = 0}
P(Ω∖S(x0+1))=0{\ displaystyle \ mathbb {P} \ sol (\ Omega \ setminus S (x_ {0} +1) \ sağ) = 0}
P(S(x0+1))=1{\ displaystyle \ mathbb {P} (S (x_ {0} +1)) = 1}
S(x0+1){\ displaystyle S (x_ {0} +1)}
P{\ displaystyle \ mathbb {P}}
P(S(x0+1))=∑x∈S(x0+1)P({x})=1{\ textstyle \ mathbb {P} \ sol (S (x_ {0} +1) \ sağ) = \ toplamı _ {x \ S (x_ {0} +1)} \ mathbb {P} (\ {x \}) = 1}
S(x0+1){\ displaystyle S (x_ {0} +1)}
Ulam'ın varsayımlarıyla
Ulam hipotezi zayıf: o daha herhangi kardinal az varsayar olduğunu
erişilebilir (zayıf anlamda). Daha doğrusu , dağınık bir olasılığın var olduğu en küçük kardinalin (sonsuzluk) varlığı varsayılırsa , o zaman zorunlu olarak zayıf bir şekilde erişilemezdir.
2ℵ0{\ displaystyle 2 ^ {\ aleph _ {0}}}
ℵμ{\ displaystyle \ aleph _ {\ mu}}
P{\ displaystyle \ mathbb {P}}
ℵμ{\ displaystyle \ aleph _ {\ mu}}
Önerme I - sınırdır, yani formda değildir .
ℵμ{\ displaystyle \ aleph _ {\ mu}}
μ{\ displaystyle \ mu}
ν+1{\ displaystyle \ nu +1}![{\ displaystyle \ nu +1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b54e28ba40526fa2e4c6b5e4161dd80e1cdc0699)
Nitekim, tanımı gereği , ne de daha düşük kardinaller için sınırlanmış sıfır olmayan dağınık bir ölçü olmadığını varsayarsak . Biz o zaman aynı türde bir gösteri ile göstermek olduğunu yayılmış edilemez. Ayarladık ve herkes için bir enjeksiyon seçiyoruz , bu enjeksiyonun uygun başlangıç segmentleri kardinal olduğu için zorunludur . Sonra ayarlı : .μ=ν+1{\ displaystyle \ mu = \ nu +1}
ℵμ{\ displaystyle \ aleph _ {\ mu}}
(ℵν,P(ℵν)){\ displaystyle (\ aleph _ {\ nu}, {\ mathcal {P}} (\ aleph _ {\ nu}))}
μ=1{\ displaystyle \ mu = 1}
P{\ displaystyle \ mathbb {P}}
S(z)={x∈ℵμ|x<z}{\ displaystyle S (z) = \ {x \ in \ aleph _ {\ mu} | x <z \}}
φz:S(z)↪ℵν{\ displaystyle \ varphi _ {z}: S (z) \ hookrightarrow \ aleph _ {\ nu}}
z∈ℵμ{\ displaystyle z \ in \ aleph _ {\ mu}}
ℵμ{\ displaystyle \ aleph _ {\ mu}}
<ℵμ{\ displaystyle <\ aleph _ {\ mu}}
x∈ℵμ,değil∈ℵν{\ displaystyle x \ in \ aleph _ {\ mu}, n \ in \ aleph _ {\ nu}}
Fxy={değil∈ℵμ|z>x,φz(x)=değil}{\ displaystyle F_ {x} ^ {y} = \ {n \ in \ aleph _ {\ mu} | z> x, \ varphi _ {z} (x) = n \}}![{\ displaystyle F_ {x} ^ {y} = \ {n \ in \ aleph _ {\ mu} | z> x, \ varphi _ {z} (x) = n \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8094ca4c1fa96448b5428845a528d150f3b9847d)
F00F10⋯F01F11⋮⋱{\ displaystyle {\ begin {matrix} F_ {0} ^ {0} & F_ {1} ^ {0} & \ cdots \\ F_ {0} ^ {1} & F_ {1} ^ {1} \\ \ vdots && \ ddots \ end {matris}}}
Her satırda, kümeler ayrıktır ve her sütun . İçin sonlu, bu nedenle toplanabilir ve mutlaka bu nedenle, en çok sayılabilir olan en önemli olduğu (aslında, bu set içine enjekte edilir , bu nedenle içine ). Gibi , öyle var . O zaman poz verelim . Bunun dağınık sınırlı bir ölçü olduğunu kontrol ederiz, bu yüzden Lemma (i) 'ye göre zorunlu olarak sıfırdır, dolayısıyla ve . Lemma (ii) 'ye göre, üzerinde en çok kardinal olan ve asgari düzeyiyle çelişen dağınık bir olasılık vardır .
⋃değil∈ℵνFxdeğil={y∈ℵμ|y>x}=ℵμ∖S(x+1){\ textstyle \ bigcup _ {n \ in \ aleph _ {\ nu}} F_ {x} ^ {n} = \ {y \ in \ aleph _ {\ mu} | y> x \} = \ aleph _ { \ mu} \ setminus S (x + 1)}
değil∈ℵν,J⊂ℵμ{\ displaystyle n \ in \ aleph _ {\ nu}, J \ altküme \ aleph _ {\ mu}}
P(⨄x∈JFxdeğil)=∑x∈JP(Fxdeğil)⩽1{\ textstyle \ mathbb {P} \ sol (\ biguplus _ {x \ J} F_ {x} ^ {n} \ sağda) = \ toplamı _ {x \ J} \ mathbb {P} (F_ {x } ^ {n}) \ leqslant 1}
(P(Fxdeğil))x∈ℵμ{\ textstyle \ sol (\ mathbb {P} \ sol (F_ {x} ^ {n} \ sağ) \ sağ) _ {x \ içinde \ aleph _ {\ mu}}}
{x∈ℵμ|P(Fxdeğil)>0}{\ displaystyle \ {x \ in \ aleph _ {\ mu} | \ mathbb {P} (F_ {x} ^ {n})> 0 \}}
⋃değil∈ℵν{x∈ℵμ|P(Fxdeğil)>0}{\ textstyle \ bigcup _ {n \ in \ aleph _ {\ nu}} {\ displaystyle \ {x \ in \ aleph _ {\ mu} | \ mathbb {P} (F_ {x} ^ {n})> 0 \}}}
ℵν{\ displaystyle \ aleph _ {\ nu}}
ℵ0×ℵν{\ displaystyle \ aleph _ {0} \ times \ aleph _ {\ nu}}
ℵν2≈ℵν{\ textstyle \ aleph _ {\ nu} ^ {2} \ yaklaşık \ aleph _ {\ nu}}
ℵν<ℵμ{\ displaystyle \ aleph _ {\ nu} <\ aleph _ {\ mu}}
x0∈ℵμ{\ displaystyle x_ {0} \ in \ aleph _ {\ mu}}
∀değil∈ℵν,P(Fx0değil)=0{\ displaystyle \ forall n \ in \ aleph _ {\ nu}, \ mathbb {P} (F_ {x_ {0}} ^ {n}) = 0}
μ:P(ℵν)→[0;1]AT↦P(⨄değil∈ATFx0değil){\ displaystyle \ mu: {\ begin {array} {ccl} {\ mathcal {P}} (\ aleph _ {\ nu}) & \ rightarrow & [0; 1] \\ A & \ mapsto & \ mathbb { P} \ left (\ biguplus _ {n \ içinde A} F_ {x_ {0}} ^ {n} \ sağ) \ end {dizi}}}
P(ℵμ∖S(x0+1))=0{\ displaystyle \ mathbb {P} (\ aleph _ {\ mu} \ setminus S (x_ {0} +1)) = 0}
P(S(x0+1))=1{\ displaystyle \ mathbb {P} (S (x_ {0} +1)) = 1}
S(x0+1){\ displaystyle S (x_ {0} +1)}
ℵν{\ displaystyle \ aleph _ {\ nu}}
ℵμ{\ displaystyle \ aleph _ {\ mu}}![{\ displaystyle \ aleph _ {\ mu}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ad69ef90054dccb218289e9f885de8b42a7be1a)
Önerme II - düzenlidir, yani bir ve dizisi yoktur , kardinal öyle ki .
ℵμ{\ displaystyle \ aleph _ {\ mu}}
ν<μ{\ displaystyle \ nu <\ mu}
(ATdeğil)değil∈ℵν{\ displaystyle (A_ {n}) _ {n \ in \ aleph _ {\ nu}}}
ATdeğil{\ displaystyle A_ {n}}
<ℵμ{\ displaystyle <\ aleph _ {\ mu}}
⋃değil∈ℵνATdeğil=ℵμ{\ displaystyle \ bigcup _ {n \ in \ aleph _ {\ nu}} A_ {n} = \ aleph _ {\ mu}}![{\ displaystyle \ bigcup _ {n \ in \ aleph _ {\ nu}} A_ {n} = \ aleph _ {\ mu}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0051adb49664895e49026cd09180d89c5a1d0da9)
Aslında, varsayalım ki , her biri öyle bir kardinal olan bir dizi dizi var . Bir sonra sormak olabilir ve , . Böylece inşa edilmiş, ikişer ikişer ayrıktır. en az bir atoma sahip olan bir olasılıktır, aksi takdirde minimumluğu ile çelişir . Bu nedenle var olan bu tür bu nedenle üzerinde yaygın bir olasılık, lemma uygun ve (II) 'in minimality Bu false .
ν<μ{\ displaystyle \ nu <\ mu}
(ATdeğil)değil∈ℵν{\ displaystyle (A_ {n}) _ {n \ in \ aleph _ {\ nu}}}
<ℵμ{\ displaystyle <\ aleph _ {\ mu}}
⋃değil∈ℵνATdeğil=ℵμ{\ textstyle \ bigcup _ {n \ in \ aleph _ {\ nu}} A_ {n} = \ aleph _ {\ mu}}
AT0′=AT0{\ displaystyle A '_ {0} = A_ {0}}
değil∈ℵμ{\ displaystyle n \ in \ aleph _ {\ mu}}
ATdeğil′=ATdeğil∖(⋃k<değilATk){\ textstyle A '_ {n} = A_ {n} \ setminus \ sol (\ bigcup _ {k <n} A_ {k} \ sağ)}
ATdeğil′{\ displaystyle A '_ {n}}
Q:P(ℵν)→[0;1]AT↦P(⨄değil∈ATATdeğil′){\ displaystyle \ mathbb {Q}: {\ begin {array} {ccl} {\ mathcal {P}} (\ aleph _ {\ nu}) & \ rightarrow & [0; 1] \\ A & \ mapsto & \ mathbb {P} (\ biguplus _ {n \ in A} A '_ {n}) \ end {dizi}}}
(ℵν,P(ℵν)){\ displaystyle (\ aleph _ {\ nu}, {\ mathcal {P}} (\ aleph _ {\ nu}))}
ℵμ{\ displaystyle \ aleph _ {\ mu}}
değil0∈ℵν{\ displaystyle n_ {0} \ in \ aleph _ {\ nu}}
P(ATdeğil0′)>0{\ displaystyle \ mathbb {P} (A '_ {n_ {0}})> 0}
(ATdeğil0′,P(ATdeğil0′)){\ displaystyle (A '_ {n_ {0}}, {\ mathcal {P}} (A' _ {n_ {0}}))}
ℵμ{\ displaystyle \ aleph _ {\ mu}}![{\ displaystyle \ aleph _ {\ mu}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ad69ef90054dccb218289e9f885de8b42a7be1a)
Referanslar
-
Stefan Banach ve Casimir Kuratowski , " Ölçüm probleminin genelleştirilmesi üzerine ", Fundamenta Mathematicae , cilt. 14,1929, s. 127–131 ( ISSN 0016-2736 ve 1730-6329 , DOI 10.4064 / fm-14-1-127-131 , çevrimiçi okuma , 3 Şubat 2020'de erişildi )
-
Stanisław Ulam , " Zur Masstheorie in der allgemeinen Mengenlehre ", Fundamenta Mathematicae , cilt. 16, n o 1,1930, s. 140–150 ( ISSN 0016-2736 , çevrimiçi okuma , 4 Şubat 2020'de erişildi )
-
Daniel Saada, " Olasılık hesabının temelleri ", APMEP Konferansı ,23 Ekim 2005( çevrimiçi okuyun )
-
Daniel SAADA , Kabileler ve Olasılıklar sonsuz evrenler: ikinci baskı , Rambouillet, Art et Poésie,25 Şubat 2014, 340 p. ( ISBN 978-2-9525437-5-0 , çevrimiçi okuyun ) , s. Bölüm 3
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">