Sürekli güç

Bu makalede ise anahat ilişkin matematik .

İlgili projelerin tavsiyelerine göre bilginizi geliştirerek ( nasıl ? ) paylaşabilirsiniz .

In matematik , daha doğrusu seti de teori , bir demek seti E sahiptir sürekliliğinin gücünü (bazen veya sürekliliğinin kardinal o ise) , eş değerde set ℝ için gerçek sayılar yani bir varsa söylemek bijection dan E'den ℝ'ye.

Kardinal ℝ bazen belirtilmektedir atfen, süreklilik (tr) , verilen isim sıralı kümesi (ℝ, ≤). Bu düzen (ve a fortiori altta yatan kümenin kardinali) tamamen ( izomorfizme kadar ) bazı klasik özellikler tarafından belirlenir . ${\ matfrak {c}}$

Aynı zamanda, yaygın biçimde 2 gösterilir ℵ₀ ℝ için eş değerde olduğu için, resim , P parçalarının (ℕ) grubu ℕ ait doğal tamsayı önem düzeyi ( sayılabilir ) gösterilir ℵ₀ ve herhangi bir grubu için bu E , Cardinal olup burada E'nin kardinalini belirtir . ${\ matematiksel {P}} (E)$ ${\ displaystyle 2 ^ {\ matematik {Kart} \ E}}$ ${\ displaystyle \ matematik {Kart} \ E}$

Tarih

Bu düşünceyi , 1874'te yayınlanan bir makalesinde, sürekliliğin sayılabilir ile eşpotansiyel olmadığını ve dolayısıyla birkaç "sonsuzluğun" varlığını gösteren Georg Cantor'a borçluyuz .

Cantor, gerçeklerin herhangi bir alt kümesinin ya sayılabilir olduğunu ya da sürekliliğin gücünün olduğunu göstermek için boşuna uğraştı. Süreklilik hipotezi olarak bilinen bu hipotez, Cantor'un teorisinin oldukça sadık bir formalizasyonu olduğuna inanılan ZFC kümeleri teorisinde ne doğrulanabilir ne de geçersiz kılınabilir .

Sürekliliğin gücü, ℕ'nin tüm parçalarının kardinalitesidir.

Aynı şey aşağı gelir - onun ile ℕ her parçası belirleyerek karakteristik fonksiyonu - için Assert bu ot eş değerde için set {0, 1} ℕ ait sekansları sıfirlar ve birler. Bunu kanıtlamanın ana fikri, böyle bir diziyi ( k 0 , k 1 ,…) 0 ile 1 arasında bir reelin n tabanında 0, k 0 k 1 … açılımı olarak düşünmektir .

Taban n > 2'de, herhangi bir sıfır ve bir dizisini temsil ettiği gerçeği ilişkilendiren harita , [0, 1'de [dolayısıyla ℝ'de ] {0, 1} ℕ enjeksiyonudur , böylece kart ( P (ℕ) ) ≤ kart (ℝ). Ayrıca, herhangi bir gerçek harita x ortakları kesinlikle daha rasyonel grubu x de birebir ve bu nedenle kart (ℝ) ≤ kartı ( P (ℚ)) = kartı ( P (ℕ)). Cantor-Bernstein teoremi bize sonuçlandırmak için izin verir.
Baz 2 (örn = 0,0111 ... 0.1000 ...), ama Cantor-Bernstein teoremi dayanmayan ifade vermek çünkü "uygunsuz gelişme" nin olasılıklar, dikkat gerektirir.

DC gücüne sahip düzenek örnekleri

Herhangi bir sayılabilir sonsuz D kümesi için, D' nin bölümlerinin P ( D ) kümesi sürekliliğin gücüne sahiptir;
Eğer iki küme sürekliliğin gücüne sahipse, o zaman onların Kartezyen çarpımı da, A ve B sayılabilir olan P ( A ) × P ( B ) ile , dolayısıyla P ( C ) ile eşpotansiyel olduğundan , burada C ayrık birliği ifade eder (sayılabilir) ) A ve B .
Bu nedenle ℝ n kümesi yalnızca n = 1 için değil, herhangi bir n ≥ 1 tamsayı için de sürekliliğin gücüne sahiptir .
Öklid uzayı ℝ n : kendi boyutu, orada bir plan olduğu kadar, bir hak olarak, doğru parçasının üzerindeki birçok noktaya gibidir ve bir bütün olarak uzayda olduğu kadar.
Gerçek dizilerin ℝ ℕ kümesi bile “yalnızca” süreklinin gücüne sahiptir .
Daha ziyade , set ℕ ℕ ait doğal sayılar dizileri de. Daha belirgin bir fikir kullanmaktır devam fraksiyonlar ile bir eşleşme bu set koymak irrasyonellerde Üstelik, izin verilen bu yöntem, 0 ve 1 arasında Cantor göstermek için, 1878, bu [0, 1] n, sürekli gücüne sahiptir , yukarıdaki argümanı atlayarak. Daha doğrudan bir varyasyon, "negatif olarak düzenli" kesirler kullanmaktır .
Herhangi bir sonsuz E kümesi için, kesişmeleri ikişer ikişer sonlu olan E'nin sonsuz parçalarından oluşan, sürekliliğin gücüne sahip bir küme vardır.

DC gücünün kardinalitesinin kararsızlığı

ℝ'nin kardinalitesi 2 ℵ₀'dir . ℵ 1 olduğu ifadesine süreklilik hipotezi denir . Olağan küme teorisinde karar verilemez .

Notlar ve referanslar

Notlar

Bir değişken, n = 3 için Cantor kümesini dikkate almalıdır .
0 ve 1'lik sonlu diziler kümesine E'nin sabit sayılabilir bir kısmını tanımlayarak ve her sonsuz 0 ve 1 dizisi için, E'nin başlangıç bölümlerinden oluşan kısmını seçerek .

Referanslar

örnek için bakınız "sayılamayan kümeler" Vikiversite üzerinde .
(içinde) Fernando Q. Gouvêa, " Cantor Şaşırdı mı? " , American Mathematical Monthly ,2011( çevrimiçi okuyun )
(içinde) Julian F. Fleron, " Cantor kümesi ve Cantor işlevinin tarihi üzerine bir not " , Mathematics Magazine , cilt. 67,1994, s. 136-140 ( çevrimiçi okuyun ).