Bézout teoremi

Bezout teoremi atfedilen Etienne Bezout bahsedilen iki cebirsel eğrileri yansıtmalı düzlem derece m ve n , cebirsel olarak kapalı bir gövde üzerinde tanımlı ve ortak bir indirgenemez bileşen tam olarak sahip mn sayıldı kesişme noktaları çokluğu . $CD$ $k$

Teoremin zayıf formu, kesişme sayısının (çokluklardan bağımsız olarak) sınırlı olduğunu söyler . Başka bir deyişle, ilgili derecelerde ( ve ) katsayıları olan ve ortak bir faktör olmayan iki homojen polinom ise , sistem $mn$ $F, G$ $k$ $C = V _ {+} (F)$ $D = V _ {+} (G)$ $m, n$

$F (x, y, z) = 0, \ G (x, y, z) = 0$

projektif düzlemde çoğu çözümü kabul eder . $mn$ $P ^ {2} (k)$

Menşei

Descartes'ın geometrisinde , bir noktadaki normal doğrunun bir eğrinin veya aynı şeye tekabül eden tanjantının hesaplanması , bu noktada salınımlı çemberi bularak yapılır . Descartes tarafından tarif edilen yöntem, eğrinin noktasından geçen çemberlerin denkleminin yazılması ve eğri ile sadece tek bir kesişme noktası olan çemberlerden birinin aranmasından ibarettir.

Başından XVIII inci yüzyılda , iki düzlemsel Kartezyen denklemler kapalı eğrinin kesişme noktalarının sayısını arama , P , Q, derece iki ilgili polinomları olan m , n, iki değişkenin bir uzaklaştırılması yöntemiyle yapılır . $P (x, y) = 0$ $S (x, y) = 0$

Gibi erken 1720 olarak, MacLaurin conjectured "genel olarak, kesişme noktalarının sayısı eşittir " $m \ kere n$ . Leonard Euler , soruyu birkaç özel vakada inceler, ancak birden çok kök vakasını genel bir gösteriye sığdırmada başarısız olur. Étienne Bézout , yalnızca basit köklerin olduğu durumda bu ifadeyi gösteren ilk kişidir ( 1764 ).

Kesişim çokluğu

Izin vermek sabit olmayan ve ortak bir indirgenemez çarpanı olmayan iki polinom olsun . O zaman ortak sıfırlarının kümesi sonludur. Ortak bir sıfırı sabitleyelim ve paydası P'de kaybolmayan rasyonel kesirlerden oluşan yerel halkayı ve bunun ürettiği ideal ile bölümünü ele alalım . İkinci bir olduğunu onun boyutu olarak adlandırılır, sonlu boyutlu vektör uzayı kesişme sayıda eğrileri de . $F, G$ $k [X, Y]$ $k ^ 2$ $P = (a, b)$ $O_ {P}$ $O_ {P} / (F, G)$ $F, G$ $k$ $V (F), V (G)$ $(a, b)$

Örnek : Tekil değilse , ( a , b ) ' deki kesişim çoklukları, ancak ve ancak teğetleri farklıysa 1'dir . $V (F), V (G)$ $(a, b)$

Özel bir durum

Bézout teoremi, eğrilerden biri düz bir çizgi olduğunda gösterilmesi çok basittir . Aslında, uçağın yansıtmalı bir otomorfizmi ile bunu varsayabiliriz . Dahası, doğrunun iki eğrinin herhangi bir kesişme noktasını içermediğini varsayabiliriz . Daha sonra, polinom ile afin düzlemde çalışmaya geri dönüyoruz . Bir kesişme noktası, ile bir noktadır . Not . Bu derece bir polinomdur ve kesişme çokluğu ve de sadece sıfır çokluğu olan bölgesindeki . Teorem, sıfırların çokluklarının toplamının derecesine eşit olduğu gerçeğinden kaynaklanır , bu nedenle . $V _ {+} (F)$ $F (X, Y, Z) = X$ $Z = 0$ $F (X, Y) = X$ $V (F) \ cap V (G)$ $(0, b)$ $G (0, b) = 0$ $P (Y) = G (0, Y)$ $değil$ $V (F)$ $V (G)$ $(0, b)$ $P (Y)$ $b$ $P (Y)$ $P (Y)$ $değil$

Şimdi, eğer eğrilerden biri bir doğrunun bir katı ise , o zaman bir noktadaki ve bir noktadaki kesişme çokluğu çarpı, ve in kesişme çokluğunun çarpımına eşittir . Bu hala Bézout'u ima ediyor. Çizginin konumunun önemli olmadığını fark ediyoruz (içinde olmaması yeterlidir ). $VS$ $m$ $P$ $VS$ $D$ $p$ $m$ $P$ $D$ $p$ $P$ $D$

İspat ilkesi

Bu sonucun ilk deliller (ve diğer analoglar) kullanılmıştır bileşke . Bir daha modern kanıtı aşağıdaki fikrine dayanmaktadır: let bir çizgi yer almayan yukarıdaki durumun özelliğine göre, o göstermek için yeterli olduğu (çokluklar dahil) kavşaklarda aynı sayıda vardır ile . Bu, daha sonra bir yansıtmalı eğrisi üzerinde gösteren kaynar aşağı , toplam derecesi a başlıca bölen (rasyonel fonksiyonu kısıtlaması ile ilişkili bölen olacak kadar ) sıfırdır. $P$ $D$ $VS$ $mP$ $D$ $D$ $F / X ^ {m}$ $D$

Herhangi bir temel vücut durumu

Bézout'un herhangi bir alandaki teoremi (cebirsel olarak kapalı olması gerekmez) , koordinatları zorunlu olarak temel alanda olmayan bir noktanın derecesini doğru bir şekilde tanımlarsak geçerliliğini korur . Daha kesin olarak, bir kesişme noktasıysa ve artık alan ise ( k koordinatları tarafından üretilen k'nin uzantısı ise ), o zaman kesişme çokluğu artin halkasının uzunluğu ve noktanın derecesi uzatma derecesi . Bézout teoremi şu şekilde belirtilir: $k$ $P$ $k (P)$ $P$ $i_ {P} (F, G)$ $O_ {P} / (F, G)$ $[k (P): k]$

\ deg F \ deg G = \ toplam _ {P} i_ {P} (F, G) [k (P): k].

Bu not edilebilir . $i_ {P} (F, G) [k (P): k] = \ dim _ {k} O_ {P} / (F, G)$

Notlar ve referanslar

Cf. Étienne Bézout , " Cebirsel bir çözümü kabul eden her dereceden çeşitli denklem sınıflarına ilişkin hatıra ", Histoires de l'Académie Royale des Sciences de Paris ,1764.
ilk uygun delil olarak görünmektedir Bunun Georges-Henri Halphen 1870 yılında: (in) Robert Bix , Koniklerin ve üçüncü dereceli denklemlerin: Cebirsel Eğriler A Beton giriş , Springer,1998, 289 s. ( ISBN 978-0-387-98401-8 ) , 230.
X, Y, Z'de homojen olan F polinomu için, F'nin kaybolduğu projektif noktalar kümesini V + (F) ile gösteriyoruz. X, Y'deki F polinomu için, F'nin kaybolduğu afin nokta kümesini V (F) ile gösteriyoruz.
Bkz. Geometri (Descartes) , kitap II: “Verilen eğrileri veya bunların bileşenlerini dik açılarda kesen düz çizgileri bulmanın genel yolu. "
göre Jean Dieudonné (ed.), Abrégé d'çekilmesine des Mathématiques 1700-1900 [ sürümleri ayrıntılı ], Çatlak. IV “Analitik geometri ve geometrik analiz”, s. 78-79 .

Ayrıca görün

İlgili makale

Cramer paradoksu

Dış bağlantılar

Bézout'un cebirsel eğrilerin kesişimleri üzerine teoremi (1764) , çevrimiçi ve Bibnum'a yorum yaptı
[video] İki (iki?) için ... Bezout teoremi dakika üzerinde YouTube