Bonnet-Schoenberg-Myers teoremi
Gelen Riemann geometrisi , Bonnet - Schoenberg - Myers teoremi (de) gösterileri yerel kısıtlamalar nasıl Riemann metrik manifoldunun geometri küresel koşullar empoze. Onun gösterimi, ikinci varyasyon formülünün klasik bir kullanımına dayanmaktadır .
Teorem (Bonnet, 1935) - Eğer tam bir Riemann manifoldu, kesin olarak pozitif bir sabit tarafından azaltılmış bir kesit eğriliğine sahipse, çapı şu şekilde sınırlandırılır :
δ{\ görüntü stili \ delta}
π/δ{\ displaystyle \ pi / {\ sqrt {\ delta}}}
∀x,k(x)≥δ>0⇒dbendemM≤πδ{\ displaystyle \ forall x, k (x) \ geq \ delta> 0 \ Rightarrow \ matrm {diam} M \ leq {\ frac {\ pi} {\ sqrt {\ delta}}}}
Özellikle kompakttır.
M{\ görüntü stili M}
gösteriler
Saçma sapan mantık
yürütelim . Let p ve q olduğu iki sayı M ile . Bir başlangıç ve bitiş jeodezik düşünün . 'ye ortogonal bir vektör alalım . Orijinal boyunca
paralel vektör alanını tanıtalım . Poz verelim:
L=d(p,q)>π/δ{\ displaystyle L = d (p, q)> \ pi / {\ sqrt {\ delta}}}
y:[0,L]→M{\ görüntü stili \ gama: [0, L] \ sağ ok M}![{\ görüntü stili \ gama: [0, L] \ sağ ok M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbf09948c0c512ecf24250e1093d74d412faeeb4)
y(0)=p{\ görüntü stili \ gama (0) = p}
y(L)=q{\ görüntü stili \ gama (L) = q}
v{\ görüntü stili v}
TpM{\ displaystyle T_ {p} M}
y′(0){\ görüntü stili \ gama '(0)}
Z{\ görüntü stili Z}
y{\ görüntü stili \ gama}
Z(0)=v{\ görüntü stili Z (0) = v}
Y(t)=günah[πtL].Z(t){\ displaystyle Y (t) = \ günah \ sol [{\ frac {\ pi t} {L}} \ sağ] .Z (t)}![{\ displaystyle Y (t) = \ günah \ sol [{\ frac {\ pi t} {L}} \ sağ] .Z (t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae9ebaf7965ae47315cc8d8857167ce165ba4855)
Temel bir hesaplama şunları verir:
Y′(t)=πLçünkü[πtL]Z(t){\ displaystyle Y '(t) = {\ frac {\ pi} {L}} \ cos \ sol [{\ frac {\ pi t} {L}} \ sağ] Z (t)}![{\ displaystyle Y '(t) = {\ frac {\ pi} {L}} \ cos \ sol [{\ frac {\ pi t} {L}} \ sağ] Z (t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a79ead15346653a611736a3daca97e77738c4788)
Göz önünde bir varyasyonu kökenli ve uç eğrileri ile ve . Vektör alanına uygulanan ikinci varyasyon formülü , ardından şunları verir:
{vss}{\ görüntü stili \ {c_ {s} \}}
[0,L]→M{\ displaystyle [0, L] \ sağ ok M}![{\ displaystyle [0, L] \ sağ ok M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96380706cf9fe5da4b3173fd1f56cb4a0945c6fa)
p{\ görüntü stili p}
q{\ görüntü stili q}
vs0=y{\ görüntü stili c_ {0} = \ gama}
∂svss|s=0=Y{\ displaystyle \ kısmi sc_ {s} | _ {s = 0} = Y}
Y{\ görüntü stili Y}
∂2benÖdeğilgvss∂s2=∫0L[π2L2çünkü2[πtL]-k(y′(t),Y(t))günah2[πtL]]dt≤π2-δL22L<0{\ displaystyle {\ frac {\ kısmi ^ {2} longc_ {s}} {\ kısmi s ^ {2}}} = \ int _ {0} ^ {L} \ sol [{\ frac {\ pi ^ { 2}} {L ^ {2}}} \ cos ^ {2} \ sol [{\ frac {\ pi t} {L}} \ sağ] -k (\ gamma '(t), Y (t)) \ sin ^ {2} \ sol [{\ frac {\ pi t} {L}} \ sağ] \ sağ] dt \ leq {\ frac {\ pi ^ {2} - \ delta L ^ {2}} { 2L}} <0}![{\ displaystyle {\ frac {\ kısmi ^ {2} longc_ {s}} {\ kısmi s ^ {2}}} = \ int _ {0} ^ {L} \ sol [{\ frac {\ pi ^ { 2}} {L ^ {2}}} \ cos ^ {2} \ sol [{\ frac {\ pi t} {L}} \ sağ] -k (\ gamma '(t), Y (t)) \ sin ^ {2} \ sol [{\ frac {\ pi t} {L}} \ sağ] \ sağ] dt \ leq {\ frac {\ pi ^ {2} - \ delta L ^ {2}} { 2L}} <0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4cf7f1099a9cf244eae97e87c1d6c8b3215e51a)
Riemann manifoldunun eksiksizliği varsayımıyla varlığı garanti edilen en aza indirgeyen jeodezik olduğunda bu saçmadır .
y{\ görüntü stili \ gama}
Eşitlik durumu incelenmiştir ( Shiu-Yuen Cheng , 1975):
Önceki gösterimler altında, çapı ise değerine eşit , daha sonra izometrik Öklid
küre yarıçapının .
M{\ görüntü stili M}π/δ{\ displaystyle \ pi / {\ sqrt {\ delta}}}(M,g){\ görüntü stili (M, g)}
1/δ{\ displaystyle 1 / {\ sqrt {\ delta}}}
Myers bu zayıf hipotezi altında aynı sonucu göstererek 1941'de Bonnet teoremini geliştirilmiş Ricci eğriliği ile azaltılır , burada manifold boyutudur.
(değil-1)δ{\ görüntü stili (n-1) \ delta}
değil{\ görüntü stili n}
Bonnet-Myers teoremi aşağıdaki sonuçlara sahiptir:
Temel grup ile kompakt bir Riemann manifoldu
kesinlikle olumlu eğrilik sonlu.
Şuna da bakın:
bibliyografya
-
(tr) Marcel Berger , Riemann Geometrisinin Panoramik Görünümü ,2003[ basımın detayı ], s. 243-246
İlgili makale
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">