Dirichlet teoremi (Fourier serisi)
Olarak analiz , teoremi Dirichlet (veya Ürdün-Dirichlet ) bir sonucudur noktası yakınsama için Fourier serisi .
Teoremin bir ilk sürümü tarafından ispat edildi Dirichlet içinde 1829 . Yeterli bir entegrasyon teorisinin yokluğunda, Dirichlet'in kanıtı yalnızca oldukça belirli işlevleri ( bir alt bölümün noktalarının dışında monoton) ele almaya izin verir .
Teorem , tüm “yerel olarak sınırlı varyasyon ” fonksiyonlarının durumunu kapsayacak şekilde 1881'de Jordan tarafından genelleştirilecektir .
Eyaletler
Ƒ bir olalım lokal integrallenebilir fonksiyonu üzerinde ve dönem ile 2n . Ya . Bunu düşündük :
R{\ displaystyle \ mathbb {R}}
x0∈R{\ displaystyle x_ {0} \ in \ mathbb {R}}![{\ displaystyle x_ {0} \ in \ mathbb {R}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4efa9cde595361b1ea89743b7080654c3c8614f7)
- ƒ, x 0'da sağda ve solda ƒ ( x 0 + ) ve ƒ ( x 0 - ) olarak gösterilen sınırları kabul eder ;
- aşağıdaki integrallerin yakınsaması için α> 0 vardır :
∫0α|f(x0+t)-f(x0+)|tdt,∫0α|f(x0-t)-f(x0-)|tdt{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ alpha} {\ frac {| f (x_ {0} + t) -f (x_ {0} ^ {+}) |} {t}} {\ mathrm { d}} t, \ qquad \ int _ {0} ^ {\ alpha} {\ frac {| f (x_ {0} -t) -f (x_ {0} ^ {-}) |} {t}} {\ mathrm {d}} t}![\ int _ {0} ^ {\ alpha} {\ frac {| f (x_ {0} + t) -f (x_ {0} ^ {+}) |} {t}} {\ mathrm {d}} t, \ qquad \ int _ {0} ^ {\ alpha} {\ frac {| f (x_ {0} -t) -f (x_ {0} ^ {-}) |} {t}} {\ mathrm {d}} t](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/292b34b11487c5bb0dc95c06d80fb7dac60fb152)
.
Daha sonra, ƒ Fourier serisi x 0 noktasında yakınsar ve limit olarak kabul eder.
limdeğil(Sdeğilf(x0))=f(x0+)+f(x0-)2{\ displaystyle \ lim \ limitler _ {n} (S_ {n} f (x_ {0})) = {\ frac {f (x_ {0} ^ {+}) + f (x_ {0} ^ {- })} {2}}}![{\ displaystyle \ lim \ limitler _ {n} (S_ {n} f (x_ {0})) = {\ frac {f (x_ {0} ^ {+}) + f (x_ {0} ^ {- })} {2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b87a6c5821bc8b99188099e1b48414a11276674d)
.
Özellikle, teorem fonksiyon, x 0'da sağda ve solda türevleri kabul ettiğinde (sürekli olmalarına gerek kalmadan: bunlar kısıtlamaların sağındaki ve solundaki türevlerdir) ve özellikle sınıf olduğunda geçerlidir. parçalar halinde.
VS1{\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {1}}![{\ mathcal {C}} ^ {1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9791a5c97f2cf7a4a7ab3559dc4968fc60590fe)
Gösteri
Teoremin kanıtı, Fourier serisinin, dikkat çekici özelliklere sahip bir trigonometrik polinom ile evrişim ürünü ile hesaplandığı gerçeğine dayanmaktadır : Dirichlet çekirdeği .
Ddeğil(x)=∑k=-değildeğilebenkx=günah((değil+12)x)günah(x/2),{\ displaystyle D_ {n} (x) = \ toplamı _ {k = -n} ^ {n} e ^ {ikx} = {\ frac {\ sin \ sol (\ sol (n + {\ frac {1} {2}} \ sağ) x \ sağ)} {\ sin (x / 2)}},}
Sdeğil(f)(x)=12π∫-ππf(t)Ddeğil(x-t)dt=12π∫-ππDdeğil(t)f(x-t)dt{\ displaystyle S_ {n} (f) (x) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} f (t) D_ {n} (xt) dt = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} D_ {n} (t) f (xt) dt}
Dirichlet çekirdeğinin ikinci yazısını kullanıyoruz
Sdeğil(f)(x)=12π∫-ππgünah((değil+12)t)f(x-t)günaht2dt{\ displaystyle S_ {n} (f) (x) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} \ sin \ sol (\ sol (n + { \ frac {1} {2}} \ sağ) t \ sağ) {\ frac {f (xt)} {\ sin {\ frac {t} {2}}}} dt}![S_ {n} (f) (x) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} \ sin \ left (\ left (n + {\ frac { 1} {2}} \ right) t \ right) {\ frac {f (xt)} {\ sin {\ frac {t} {2}}}} dt](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e6b2054f202026599c04151e7d76c126a8cf9d4)
Bu yazı Riemann-Lebesgue teoreminin uygulamasına yakındır , ancak fonksiyon 0 komşuluğunda a priori integrallenemez . Bu nedenle , integralin yarısını katlamak için t '= - t değişkeninin değişimini kullanarak oluştururuz. [0, π] üzerinde)
t↦f(x-t)günah(t/2){\ displaystyle t \ mapsto {\ frac {f (xt)} {\ sin (t / 2)}}}![{\ displaystyle t \ mapsto {\ frac {f (xt)} {\ sin (t / 2)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c1e3372abbf27fb3897edd6aaabcefc8c8415dd)
Sdeğil(f)(x)-f~(x)=12π∫0πgünah((değil+12)t)f(x+t)+f(x-t)günaht2dt-12(f(x+)+f(x-)){\ displaystyle S_ {n} (f) (x) - {\ tilde {f}} (x) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {0} ^ {\ pi} \ sin \ left (\ left (n + {\ frac {1} {2}} \ sağ) t \ sağ) {\ frac {f (x + t) + f (xt)} {\ sin {\ frac {t} {2}}}} dt - {\ frac {1} {2}} (f (x ^ {+}) + f (x ^ {-}))}![{\ displaystyle S_ {n} (f) (x) - {\ tilde {f}} (x) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {0} ^ {\ pi} \ sin \ left (\ left (n + {\ frac {1} {2}} \ sağ) t \ sağ) {\ frac {f (x + t) + f (xt)} {\ sin {\ frac {t} {2}}}} dt - {\ frac {1} {2}} (f (x ^ {+}) + f (x ^ {-}))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a86842beb42420299932f82a42144949b850054)
Sonra, Dirichlet D n çekirdeğinin ortalama değerini kullanarak , sabitleri integrale girer:
Sdeğil(f)(x)-f~(x)=12π∫0πgünah((değil+12)t)f(x+t)+f(x-t)-f(x+)-f(x-)günaht2dt{\ displaystyle S_ {n} (f) (x) - {\ tilde {f}} (x) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {0} ^ {\ pi} \ sin \ left (\ left (n + {\ frac {1} {2}} \ sağ) t \ sağ) {\ frac {f (x + t) + f (xt) -f (x ^ {+}) - f (x ^ {-})} {\ sin {\ frac {t} {2}}}} dt}![{\ displaystyle S_ {n} (f) (x) - {\ tilde {f}} (x) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {0} ^ {\ pi} \ sin \ left (\ left (n + {\ frac {1} {2}} \ sağ) t \ sağ) {\ frac {f (x + t) + f (xt) -f (x ^ {+}) - f (x ^ {-})} {\ sin {\ frac {t} {2}}}} dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b59f09825339b0bcafdf8b26aaa6784d676b5e4)
Bu sefer teorem geçerlidir. Yani ifadenin sıfır sınırı var.
Başvurular
Teorem, Fourier serisinin süreksiz periyodik sinyallerin ( kare sinyal , testere dişi …) yakınsamasını tüm alan üzerinden serinin değerini vererek tedavi etmeyi mümkün kılar .
Notlar ve referanslar
-
Bay Lejeune-Dirichlet, "Verilen sınırlar arasında keyfi bir fonksiyonu temsil etmeye hizmet eden trigonometrik serilerin yakınsaması üzerine", Journal für die reine and angewandte Mathematik , cilt. 4, 1829, s. 157-169 , çevrimiçi okuyun: on arXiv : 0.806,1294 veya GDZ üzerinde .
-
Camille Jordan, "On the Fourier Series", CR Acad. Sci. Paris , cilt. 92, 1881, s. 228-230 , [ çevrimiçi okuyun ] .
Ayrıca görün
İlgili Makaleler
Kaynakça
Jean-Pierre Kahane ve Pierre-Gilles Lemarié-Rieusset, Fourier serileri ve dalgacıklar [ baskıların detayı ]
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">